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1、3 32 2一元二次不等式一元二次不等式不等式 某项体育活动中，甲小组有n人(n5)，游戏规则是每人在规定时间内从A地跑到B地可得(n4)分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？你能解决这个问题吗？学完一元二次不等式后你将很容易地解决这类问题1一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为_的整式不等式，叫做一元二次不等式2设f(x)ax2bxc(a0)，则一元二次方程f(x)0的解集，就是使二次函数值_0时自变量x的取值的集合3设f(x)ax2bxc(a0)，则一元二次不等式f(x)0的解集，就是使二次函数值_0时自变量的取值的
2、集合4若二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴无交点，则说明方程f(x)0无_，此时，一元二次方程的判别式的值_0.1二次2.等于3.4.实数解，5若一元二次方程ax2bxc0(a0)判别式的值0，则说明一元二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴没有交点，若a0，则意味着不等式ax2bxc0的解集是_；不等式ax2bxc0的解集是_6若一元二次方程ax2bxc0(a0)判别式的值0，则说明一元二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴有两个交点x1，x2，设x1x2，若a0，则使yf(x)的函数值为负值的自变量x的取值的集合为x|_，此集合即为不等式ax2bxc0的_7若ax2b
3、xc0的解集是空集，则二次函数f(x)ax2bxc的图象开口向_，且与x轴_交点5.全体实数，空集6.x1xx2，解集7.下，没有8若ax2bxc0的解集是实数集R，则二次函数f(x)ax2bxc的图象开口向_，且二次三项式的判别式_0.9应用不等式解实际问题的步骤：_，_，_，_，_.10周长为l的矩形的面积的最大值为_，对角线长的最小值为_11b克糖水中含有a克糖(ba0)，糖水的浓度为_，若再加入m克糖，则糖水更甜了，此时糖水的浓度为_8.上， 9建立数学模型，设变量，建立数学关系式，解不等式，检验12若一元二次方程ax2bxc0(a0)判别式的值0，则说明二次函数yax2bxc(a0)
4、的图象与x轴相切于 ；若a0，则不等式ax2bxc0的解集是_，不等式ax2bxc0的解集是_13若函数f(x)ax2bxc(a0)与x轴有两个交点，要求出不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)的解集，只要求出方程_的根即可14若一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1xx2，则可以判定a_0，方程ax2bxc0的根分别为_几种不等式的解法几种不等式的解法1一元一次不等式的解法步骤：(1)化标准形axb或axb；(2)求解集2一元二次不等式的解法步骤：(1)化标准形：ax2bxc0或ax2bxc0.(2)判断，进一步求方程的根(3)根据及a的正负，写出解集3一元高次不等式的解法这里只研究
5、能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式，其步骤如下：(1)化为标准型：设f(x)(xx1)(xx2)(xxn)则化成f(x)0(0)或f(x)0(0)(2)在序轴(简化的数轴)上标根(n个)，将序轴分成n1个区间(3)判断f(x)在这n1个区间上的正负，从而得到解集这种方法叫做穿根法4分式不等式的解法步骤：(1)化标准形式：g(x)是关于x的代数式)(2)同解变形为f(x)g(x)0或f(x)g(x)0.(3)通过一元高次不等式的求解步骤完成 和一元二次不等式间的主要关系和一元二次不等式间的主要关系 二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程判别式
6、判别式b24ac000二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象的图象一元二次方程一元二次方程ax2bcc0(a0)的根的根有两相异实根有两相异实根x1,2(x1x2)有两相等实根有两相等实根没有实没有实根根一元二一元二次不等次不等式的解式的解集集ax2bxc0(a0)x|xx1，或或xx2x|xR，实数集实数集Rax2bxc0(a0)x|x1xx2 一元二次不等式及简单分式高次不等式解法解下列不等式：(1)x25x6；(2)3x25x40.分析：先把不等式变成标准形式，然后利用一元二次不等式的解法进行求解解析：(1)原不等式变形为：x25x60，因为(5)241610，解方程x25x60，
7、得x12，x23，原不等式的解集为x|2x3(2)因为(5)2434230，而a30，故原不等式的解集为R.名师点评：(1)解不等式是求不等式解集的过程，求得的结果要用集合(如本例的结果用集合表示)或区间表示，要避免错误的写法，如(1)的解写成：xx|2x3(2)解二次不等式，要注意熟练掌握一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系变式迁移变式迁移1解不等式：(x2)(x1)3(x1)2x0.解析：令y(x2)(x1)3(x1)2x各因式的根分别为2，1,1,0.其中1为3重根，1为2重根，结合图形(如下图)，可得原不等式的解集为(，2)(1,0)含有字母参数的不等式解法含有字母参数的不
8、等式解法设mR，解关于x的不等式m2x22mx30.名师点评：解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当m0时，原不等式化为30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两种情况来讨论变式迁移变式迁移2已知Ax|x2x60，Bx|x22x80， Cx|x24ax3a20若(AB)C，求实数a的取值范围解析：由x2x60得2x3，Ax|2x3由x22x80得x4，或x2，Bx|x4，或x2ABx|2x3由x24ax3a20，得(xa)(x3a)0.二次方程根的分布问题二次方程根的分布问题 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围分析：因为2x0，故
9、问题等价于关于2x的二次方程有正根时，求实数a的取值范围，故可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解解析：设t2x，f(t)t2ata1，问题转化为求函数f(t)在t轴的正方向上至少有一个交点的条件，所以名师点评：(1)对于含字母的一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根分布的问题，通常可根据图象具有的特征列出字母参数应满足的条件求解(2)注意换元法及转化法的运用变式迁移变式迁移3设aR，关于x的一元二次方程7x2(a13)xa2a20有两实根x1、x2，且0x11x22，求a的取值范围综合应用综合应用 已知Ax|x25x40，Bx22axa20，且BA，求实数a的取值范围分析：根据一元
10、二次不等式解法，先求出集合A，再由BA确定集合B的情况，即不等式x22axa20解的情况，最后由二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者间关系确定系数的条件，列出不等式组即可解析：Ax|x25x40x|(x4)(x1)0x|1x4，又BA，当B时，即4a24(a2)0，即1a2时，满足BA；当B时，BA，设方程x22axa20的两根为x1，x2(x1x2)， 则Bx1，x21,4设f(x)x22axa2，其图象与x轴的交点在区间1,4之内，如下图，结合图象知，必须满足名师点评：(1)对于BA易丢掉B导致出错(2)借助数形结合使问题浅显易懂，同时一元二次不等式的解集与一元二次方程的根和二次函数图象的相互转化是至关重要的变式迁移变式迁移4设aR，二次函数f(x)ax22x2a，设不等式f(x)0的解集为A，又知集合Bx|1x3，AB.求a的取值范围 基础巩固基础巩固1不论x为何值，二次三项式ax2bxc恒为正值的条件是( )Aa0，b24ac0 Ba0，b24ac0Ca0，b24ac0 Da0，b24ac0C解析：需a0且0.解析：结合三个二次的关系B
