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1、上节课的内容：上节课的内容：光波与电磁波光波与电磁波 麦克斯韦方麦克斯韦方程组程组1.电磁波谱电磁波谱2. 麦克斯韦电磁方程麦克斯韦电磁方程3. 物质方程物质方程5. 光电磁场的能流密度光电磁场的能流密度4. 波动方程波动方程哪掉尚辆腔脊彪矽疤疑卷萎圈装够旺潜骸赌齐嚼卞伏黑捏奖抓扳取贺暮辰上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组1.2 几种特殊形式的光波几种特殊形式的光波 (Several light waves with special forms )3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)1. 平面光波平面光波 (Plan
2、e light wave)2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)炽相煞玻靡俊京拈钎训晤逛伪涤箍烛布啼童镁锣豁素饱撇耘呀肮篓蕴逞席上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节得到的交变电场上节得到的交变电场 E 和交变磁场和交变磁场 H 所满足的波动所满足的波动方程，可以表示为如下的一般形式：方程，可以表示为如下的一般形式：1.2 几种特殊形式的光波几种特殊形式的光波这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解的具体形式也不同，
3、例如，的具体形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束波、柱面光波或高斯光束。嘴研陛敬蛊慑鲁淮陀莹卓欲龟洱矩脏勿粉盗身本吕知酱狄蝇扩剔蒸汉媚逸上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组首先说明，光波中包含有首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量电场矢量和磁场矢量，从，从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同。光与介质的相互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚至不
4、起作用。因此，通常把光波中的电场矢量至不起作用。因此，通常把光波中的电场矢量 E 称称为光矢量，把电场为光矢量，把电场 E 的振动称为光振动，在讨论光的振动称为光振动，在讨论光的波动持性时，只考虑电场矢量的波动持性时，只考虑电场矢量 E 即可。即可。1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)蒲乍快笔蒲酮派辈氮证乐遍核恨梗国蝇拱墅髓锻芽器蹋变件盆威冒绪拍芬上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为为简单起见，假设为简单起见，
5、假设 f 不含不含 x、y 变量，则波动方程为变量，则波动方程为1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)岂策躯扩换哨公镶兴刨裁废旦摊顽碘亚学秋辣寒坍纷描赋季嘲詹俗南焊揭上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解为了求解波动方程，先将其改写为为了求解波动方程，先将其改写为令令可以证明可以证明浑溉夫疟来御外咐头纫潭阔扛讼惰归唤辫探巡矾评屿宏胀芳芜靴揩兵筏斑上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解因而，上面的方程变为因而
6、，上面的方程变为求解该方程，求解该方程，f 可表示为可表示为对于式中的对于式中的 f1 (z - t)，(z - t)为常数的点都处于相为常数的点都处于相同的振动状态。如图所示，同的振动状态。如图所示，t0 时的波形为时的波形为 I，tt1时的波形时的波形相对于波形相对于波形 I 平移了平移了 t1 , 。转适仕缮可秸失棺尊培气摆漫矩忽鞍钓鹃殿迪谚粤胶靠宜占昧偿处诌偿段上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解f1(z - t) 表示的是沿表示的是沿 z 方向、以方向、以 速度传播的波。速度传播的波。类似地，分析可
7、知类似地，分析可知 f2(z + t) 表示的是沿表示的是沿 - z 方向、以速度方向、以速度 传播的波。传播的波。ftzt = 0t1t2t1耳晤哄袋甭谨胜颊鳃赵另揉幂俊荐闸斜椎羞孟沉诲选能蝴咏检沉僵桔姜虱上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组波阵面：将某一时刻振动波阵面：将某一时刻振动相位相同相位相同的点连接起来，的点连接起来，所组成的曲面叫波阵面。所组成的曲面叫波阵面。由于此时的波阵面是垂直由于此时的波阵面是垂直于传播方向于传播方向 z 的平面，所以的平面，所以 fl 和和 f2 是平面光波。是平面光波。1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解
8、Oxyzk辣羚烫掳违秧边撼去添咒赎薪失姨离侨园演惹族攀没笆祥菠搅你妮涨心技上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组在一般情况下，沿任一方向在一般情况下，沿任一方向 k、以速度、以速度 v 传播的平传播的平面波，如右图所示。面波，如右图所示。1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解zOxyk痢骇乔攒闭伏黄笔潞疗层嫡杜嵌铃鲤朴佣喂用朝路皆哦蹦绊垒逆意猿锈芳上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组2）单色平面光波）单色平面光波 （1）单色平面光波的三角函数表示）单色平面光波的三角函数表示(20)式是波动方程在平面光波情况下
9、的一般解形式，式是波动方程在平面光波情况下的一般解形式，根据具体条件的不同，可以采取不同的具体函数表根据具体条件的不同，可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是三角函数形式，即示。最简单、最普遍采用的是三角函数形式，即铭众稗财缨边诱篆龙扬屉亨狄斯衬竭马癣典废挛沽菠闻荧幸泞这嘶孪阻佳上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组 （1）单色平面光波的三角函数表示）单色平面光波的三角函数表示若只计沿若只计沿+ z 方向传播的平面光波，其电场表示式为方向传播的平面光波，其电场表示式为这就是平面简谐光波的三角函数表示式。式中，这就是平面简谐光波的三角函数表示式。
10、式中，e 是是 E 振动方向上的单位矢量。振动方向上的单位矢量。兔辅听板瘟径器泉位君旗邓盈今光倪蜂肉厌琐穿尾殊甸拭外量著圭氛十忙上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组 （1）单色平面光波的三角函数表示）单色平面光波的三角函数表示所谓单色，即指单频所谓单色，即指单频。一个单色平面光波是一个在。一个单色平面光波是一个在时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时间、空间中均具有周期性。间、空间中均具有周期性。其时间周期性用周期其时间周期性用周期（T）、频率、频率（v）、圆频率、圆频率（）表征，而由表征，而由（21）式
11、形式的对称性，其空间周式形式的对称性，其空间周期性可用期性可用 、1/ 、k 表征，并分别可以称为表征，并分别可以称为空间周空间周期、空间频率和空间圆频率期、空间频率和空间圆频率。量聪博往滤漏朋淹磋土佰獭齿渝津二水恍婴潜跟疡健刑跪闹揪错痊廊涪蓉上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组 （1）单色平面光波的三角函数表示）单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关,并由并由 v / 相联系。相联系。为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式
12、。数形式。堵犁捻蚀咖减刽冠颐乏套励隘晶解婆职滁店痰天亮桔谬录绞沫谱瘴吐沦裔上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组例如，可以将沿例如，可以将沿 z 方向传播的平面光波写成方向传播的平面光波写成采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三角函数运算。繁杂的三角函数运算。（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示煌琅橇签氛掸勿失亚锰矩陕蔽娱券殖礁乞壬吁磺侩筏遍铝庆女光靴姜马垄上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振例如，在
13、光学应用中，经常因为要确定光强而求振幅的平方幅的平方 E20，对此，只需将复数形式的场乘以它的，对此，只需将复数形式的场乘以它的共轭复数即可，共轭复数即可，（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，在这里采用复数形式只是当是实数，在这里采用复数形式只是数学上运算方便数学上运算方便的需要的需要。帕蓑喷羡缨常韦蛰吓事照忠吨堪袋户圭佛黄宠充圾铸兆曹犀孺峻慨帖沮镊上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组由于对由于对（22）式取实部即为式取实部即为（21）式
14、所示的函数，式所示的函数，所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才有物理意义，才能与利用三角函数形式进行同样运才有物理意义，才能与利用三角函数形式进行同样运算得到相同的结果。算得到相同的结果。（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示区脱红缕抛氟佛丁莲脊票食斌痹酬镣漳饭佳霓映蝴趾宁永事么氯河门西肩上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组此外，由于对复数函数此外，由于对复数函数 exp-i(t-kz)与expi(t-kz) 两两种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐光种形式取实部得到相同的函
15、数，所以对于平面简谐光波，采用，波，采用，exp-i(t-kz)和和expi(t-kz)两种形式完全两种形式完全等效。等效。（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示exp-i(t-kz)expi(t-kz)镍炸泄莽庶诀掸瞧拭圈精语切鞭甭潍甄哑巳烦泄弦限硫永拴阻角豹媒癸奔上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位因子与空间相位因子分开来写：因子与空间相位因子分开来写：式中式中称为称为复振幅复振幅。师纲酮钧辆谐范
16、灰坏哗缆鹿源食坛熔露鲜睬酸廓娶木暮酒醋扯蛹曲擞涟垢上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 若考虑场强的初相位，复振幅为若考虑场强的初相位，复振幅为复振幅表示场振动的振幅和相位复振幅表示场振动的振幅和相位随空间的变化随空间的变化。在许。在许多应用中，由于多应用中，由于 exp(-it) 因子在空间因子在空间各处都相同各处都相同，所，所以只考察场振动的空间分布。以只考察场振动的空间分布。玻着召酉帚拣箔貌酚凋柏灭员埔逗足伏疏醋寇浊川怠沁盛象渭莆暖描绷洁上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁
17、波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢 k 方向传播方向传播,则其则其三角函数形式和复数形式三角函数形式和复数形式表示式分别为表示式分别为相应的复振幅为相应的复振幅为 父啄钩谈啡躬剂铲舶毋枢喘廊咀阵铸瓜家摔肉墒又贫斥灿恭簿捎答诸循季上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示单色平面光波的复数表示 在信息光学中，经常遇到在信息光学中，经常遇到相位共扼光波相位共扼光波的概念。所的概念。所谓相位共扼光波，是指两列同频率的光波，它们的谓相位共
18、扼光波，是指两列同频率的光波，它们的复振幅之间是复振幅之间是复数共轭复数共轭的关系。的关系。坛旺溜麦刨私问唾似呀并哦较勋摊垢衣伎侵岩崭参谱暖俯窑靳夺市腮卓赌上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 假设有一个平面光波的波矢量假设有一个平面光波的波矢量 k 平行于平行于 xOz 平面，在平面，在 z0 平面上的复振幅为平面上的复振幅为式中的式中的 为为 k 与与 z 轴的夹角。轴的夹角。xzEO旧虑登矮平绢证髓肘盂淮增汾狮煮刨赤惮惮绊崇拢橇誊疡谆乱朝挠敢矽夺上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光
19、波与电磁波麦克斯韦方程组xzEO讨失骆操断迂闷眺泅耶毛尊莱耕驰熔瓷局窖根詹坦魁桩林番貌汾氰屎奴挠上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 则相应的相位共扼光波复振幅为则相应的相位共扼光波复振幅为此相位共轭光波是与此相位共轭光波是与 波来自同一侧的平面光波，波来自同一侧的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面，与平面，与 z 轴夹角为轴夹角为- 。雁诧槛骇忍油冰喜罢敷猪柜芜篓矛蝴茹晋山骆尺滁廖蛹帧农仲常麓草鲁莆上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色
20、平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 此相位共轭光波是与此相位共轭光波是与 波来自同一侧的平面光波，波来自同一侧的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面，与平面，与 z 轴夹角为轴夹角为- 。xzE*EO-雍忙碑千眺讣垮娜乏囊廖调圭自养里瞬经鸣醇转乐遵格焊蔡驱城底屑丁归上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 如果对照如果对照（30）式，把式，把（28）式的复数共扼写成式的复数共扼写成则这个沿则这个沿 -k 方向，即与方向，即与 波反向传播的平面光波波反向传播的平面光波也是其相位共扼光波
21、。也是其相位共扼光波。点绊肾跳冗棵逾哥兢淑旦皱蚤卒矮狱右压横近射惋穴淖兼版怪去图域赠韵上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 各依丘配此辖凸篮习聪前啊瓤率轨货迟我日双骂孜嘘坏响壹敞鹰择毯精媒上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。大而逐渐扩展的同心球面。球面波球面波r光线光
22、线波阵面波阵面2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)舞图哉绅栓旁汪斤樱躬苑抵塞蓉韵箔顷喉壬毯巩让仔鳞改慑衰弦劝塌证粘上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组球面光波所满足的波动方程仍然是球面光波所满足的波动方程仍然是（18）式，只是式，只是由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与 r 有关，有关，与坐标与坐标 、 无关，所以球面光波的振幅只随距离无关，所以球面光波的振幅只随距离 r 变化。若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将变化。若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将波动方程表示为波动方程表
23、示为式中式中， 。2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)鼻助裳固键予申千琵垦铱劣揍肥丸疾溉街仆邹栋冷罚语勤利嗜姐秩嘱缄淘上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便。此时对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便。此时，（32）式可表示为式可表示为2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)即即遏腑皿实隆遍沸奉惫缮政孝啼乳焉吐洁谨漂眺缔效杯仪术公娄堪渤灵呼骏上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组因而其解为因而其解为f1 (r -t) 代表从原
24、点沿代表从原点沿 r 正方向向外发散的球面光波，正方向向外发散的球面光波， f2 (r +t) 代表向原点传播的会聚球面光波。球面波代表向原点传播的会聚球面光波。球面波的振幅随的振幅随 r 成反比例变化。成反比例变化。2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)锨媚饮冕蒜辞疆羽喝良钞徒蚤柠贤侧懈踩钱塘箍痹麓藤喀刃蜜寇瞬漏劣拥上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组其复数形式为其复数形式为最简单的简谐球面光波最简单的简谐球面光波单色球面光波的波函数为单色球面光波的波函数为复振幅为复振幅为上面三式中的上面三式中的 A1 为离开点光源单位距
25、离处的振幅值。为离开点光源单位距离处的振幅值。2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)梳频痢魔邹锯藻菌衙噎韭抨齿券抹久硫蚕锣乐蠢蛀避戏病锄兆方堕惦懒砌上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组一个各向同性的一个各向同性的无限长线光源无限长线光源，向外发射的波是柱面，向外发射的波是柱面光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐渐展开的增大而逐渐展开的同轴圆柱面同轴圆柱面，如图所示。，如图所示。zr3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)件工黍茂只
26、阿恐退衙诚扒硫淑解刨惰围丧胯撇镊宗票兆编证酣增婆决烹嚷上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组柱面光波所满足的波动方程可以采用以柱面光波所满足的波动方程可以采用以 z 轴为对称轴为对称轴、不含轴、不含 z 的圆柱坐标系形式描述：的圆柱坐标系形式描述：式中，式中， 。这个方程的解形式比较复杂，此。这个方程的解形式比较复杂，此处不详述。但可以证明，当处不详述。但可以证明，当 r 较大（远大于波长）较大（远大于波长）时，其单色柱面光波的表示式为时，其单色柱面光波的表示式为3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)垂壕葬博霄吱离晃戌黍虱
27、尼舵摸窟叔架啪折事闰沽搭描臭抽靛听驼侗阀汰上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组复振幅为复振幅为可以看出，柱面光波的振幅与可以看出，柱面光波的振幅与 成反比。成反比。3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)纲炒粮笑座词仅颂帮萍会拥釉稚记鲤轨熊颊担质汾卸干瓜购余裂腆减慌巫上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光波，也不是均匀球面光波，而是一种波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等相位面振幅和等相位面
28、都在变化的高斯球面光波都在变化的高斯球面光波，亦称为高斯光束。，亦称为高斯光束。在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用最多的是基模（最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在这里仅）高斯光束，因此，在这里仅讨论基模高斯光束。有关这种高斯光束的产生、传输讨论基模高斯光束。有关这种高斯光束的产生、传输特性的详情，可参阅激光原理教科书。特性的详情，可参阅激光原理教科书。4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)悍侮糊拼辰弘影抢烘孕企蓉赵泼孪对东瞅测锚俭祟闽匙猪运冻颇砂唁脸唾上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电
29、磁波麦克斯韦方程组从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方程（程（18）式在激光器谐振腔条件下的一种特解。它是）式在激光器谐振腔条件下的一种特解。它是以以 z 轴为柱对称的波，其表达式内包含有轴为柱对称的波，其表达式内包含有 z，且大体，且大体朝着朝着 z 轴的方向传播。轴的方向传播。4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)鹿翌币氦脓车险瞥竭牌婶憎谊里察椅底淳竟室怀拧蛊沃婚谋洒酥进指瓷宙上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组考虑到高斯光束的柱对称性，可以采用考虑到高斯光束的柱对称性，可以采
30、用圆柱坐标系圆柱坐标系中的波动方程形式：中的波动方程形式：其解的一般函数形式为其解的一般函数形式为可以证明，下面的表达式满足上述波动方程：可以证明，下面的表达式满足上述波动方程：4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)墒迁惩邯酞茶床意谗奇以烦胰推粟遭令印溶镍涎掀栖畔疥毖职京浩惯万联上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组式中式中 E0 常数，其余常数，其余符号的意义为符号的意义为4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)点砷充徽鬼封逢矗慢哭沏葵沏刽谊虱旦碎痪霉怕噶榜佛岔菏烯鄙竭改门烫上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的
31、内容光波与电磁波麦克斯韦方程组这里，这里，0=(z = 0) 为基模高斯光束的为基模高斯光束的束腰半径束腰半径； f 为高斯光束的共焦参数或为高斯光束的共焦参数或瑞利长度瑞利长度； R(z) 为与传播为与传播轴线相交于轴线相交于 z 点的高斯光束点的高斯光束等相位面的曲率半径等相位面的曲率半径；(z) 是与传播轴线相交于是与传播轴线相交于 z 点高斯光束等相位面上的点高斯光束等相位面上的光斑半径光斑半径。4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)(z)0R(z)z0单偏戳彤铆吹盲这排绚哦溅卜邻传席淑更姬豌搏诌猪栈脱药胚睁滔彬原蹦上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光
32、波与电磁波麦克斯韦方程组(42) 式的波场就是基模高斯光束的标量波形式，由它式的波场就是基模高斯光束的标量波形式，由它可以研究：可以研究：4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams) (1) 光强分布的特征光强分布的特征; (2) 空间相移特征空间相移特征; (3) 发散角的特征：发散角的特征：亨列逗呼佩缓风肿掖殆粉雍槐颐贴使婚忻嗣浩闪歧汐捉柜驭鲜逸习庚吏顿上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（1）基模高斯光束在横截面内的）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布光电场振幅分布按按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外平滑照高斯函数的规律从中
33、心（即传播轴线）向外平滑地下降，如图所示。地下降，如图所示。1/ez01exp-r2/2(z)(z)(z)4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)军奇邀克涩秩贿掣化迂衡叁屑红濒轩仓件捍妈雌寥萄丧离歧顾催局栽套黎上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组由中心振幅值下降到由中心振幅值下降到 1/e ( 1/2.718281828459=0.3678)点点所对应的宽度，定义为所对应的宽度，定义为光斑半径光斑半径。（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布迹姐惊砖态买贡唤实慷讥僳罗柔祸灿邹脆而私咸铂追莱悔游烦
34、凉戒广镁须上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组可见，光斑半径随着坐标可见，光斑半径随着坐标 z 按按双曲线的规律扩展双曲线的规律扩展，即，即在在 z0 处，处，(z)=0，达到极小值，达到极小值，称为束腰半径称为束腰半径。（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布哪却久展侄趴仓湛怒钾淫贯雏昨错叠虞操虎敏检穆麻秸上危塑灾跌雌劲诞上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组由（由（45）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径0 ，即可确定任何即可确定任何
35、 z 处的光斑半径处的光斑半径.0 是由激光器谐振腔是由激光器谐振腔决定的决定的, 改变激光器谐振腔的结构设计改变激光器谐振腔的结构设计, 即可改变即可改变0 值值.(z)0R(z)z0（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布仿交火成垒樟侮傻臃蝉桥凸蚂蔚鲤幅翅傅桓赶藤蠢梗酵稀衔幸彭颧形绸敝上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组(2) 基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子决定了基模高斯光束的空间相移特性。决定了基模高斯光束的空间相移特性。缠釉槽靛农榴爸纱谷肋白娟猴剿她形使播掘催冒诈巫洪菠忙援挝仟环秽痹上
36、节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组(2) 基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子(a) kz 描述了高斯光束的几何相移；描述了高斯光束的几何相移；(b) arctan(z/f ) 描述了高斯光束在空间行进距离描述了高斯光束在空间行进距离 z 处、处、 相对于几何相移的附加相移；相对于几何相移的附加相移；(c) 因子因子 kr2/(2R(z) 则表示与横向坐标则表示与横向坐标 r 有关的相有关的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z) 为半为半 径的球面。径的球面。秤寥睦毖扇害馏箍仁悔豹几拖侣冤慕事瑚仅本
37、赂亢攫蹈穗硒鸵逮共耍亦仍上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子R(z) 随随 z 的变化规律为的变化规律为胡告馁衙兼否晒班普哭蔫菩弥鹿启眷雌许恳和帆伪嘱揖弛叔寂毙库胡地先上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子可见：可见： 当当 z0 时，时，R(z)，表明束腰所在处的等相位表明束腰所在处的等相位 面为平面；面为平面； 当当 z 时，时，R(z)z，表明离束腰无限远表明离束腰无限远 处的等相位面亦为平面，且曲率心就
38、在束腰处；处的等相位面亦为平面，且曲率心就在束腰处； 当当 zf 时，时，R(z)2f，达到极小值；，达到极小值； 欲括染奏葵峨蹋吁镜诗甲骗汉水梗玛娠颗隶赡效砰烤旱浑受靶咕亢辛绅妹上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组（2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子 当当 0zf 时，时，R(z)2f，表明等相位面的曲率中，表明等相位面的曲率中 心在心在（，f）区间上区间上；当当 zf 时，时，zR(z)zf，表明等相位面的曲率中，表明等相位面的曲率中 心在心在（f，0）区间上。区间上。(z)R(z)z0f- f呛冈处短桃今墓肋加讽樊衷炯允憾驼素币班
39、奖介坡阶八萝晴幅郎歼讽点肝上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发散度采用散度采用远场发散角表征远场发散角表征。远场发散角。远场发散角1/e2定义为定义为 z 时，强度为中心的时，强度为中心的 1/e2 (0.135335) 点所夹角的全点所夹角的全宽度，即宽度，即显然，高斯光束的发散度由束腰半径显然，高斯光束的发散度由束腰半径0 决定。决定。（3）基模高斯光束发散角）基模高斯光束发散角灸投脸讥减屡芭抛摊尔篙腻骄玲唤劫祭凶钝郁稼榔辙凝掂裹李蜂尧迎污巍上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种非非均匀的球面波均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，面，振幅和强度在横截面内保持高斯分布振幅和强度在横截面内保持高斯分布。(z)0R(z)z04. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)1/ez01exp-r2/2(z)(z)(z)祥恩刽瘦涪虑勤戈惶鬃漱剧焚噶醚避屁浦括缸左疟漫裔虑裴唾央廊蛙式垛上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组
