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1、课堂总结课堂总结最新考纲最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题些简单的实际问题.第第1讲讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理课堂总结课堂总结1分分类加法加法计数原理数原理完成一件事有完成一件事有n类不同的方案，在第一不同的方案，在第一类方案中有方案中有m1种不种不同的方法，在第二同的方法，在第二类方案中有方案中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方案中有方案中有mn种不同的方法，
2、种不同的方法，则完成完成这件事情，共件事情，共有有N_种不同的方法种不同的方法2分步乘法分步乘法计数原理数原理完成一件事情需要分成完成一件事情需要分成n个不同的步个不同的步骤，完成第一步有，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，完成第完成第n步有步有mn种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事情共有件事情共有N_种不同的方法种不同的方法知知 识识 梳梳 理理m1m2mnm1m2mn课堂总结课堂总结3分分类加法加法计数原理与分步乘法数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它件事情的不同
3、方法的种数它们的区的区别在于：分在于：分类加法加法计数原理与分数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成一种方法都可以完成这件事；分步乘法件事；分步乘法计数原理与分步数原理与分步有关，各个步有关，各个步骤相互依存，只有各个步相互依存，只有各个步骤都完成了，都完成了，这件事才算完成件事才算完成课堂总结课堂总结1判断正判断正误(请在括号中打在括号中打“”或或“”) 精彩精彩PPT展示展示(1)在分在分类加法加法计数原理中，两数原理中，两类不同方案中的方法可以不同方案中的方法可以相同相同( )(2)在分在分类加法加法计数原理中，每数原理中，每类
4、方案中的方法都能直接方案中的方法都能直接完成完成这件事件事( )(3)在分步乘法在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个何一个单独的步独的步骤都不能完成都不能完成这件事，只有各个步件事，只有各个步骤都都完成后，完成后，这件事情才算完成件事情才算完成( )(4)如果完成一件事情有如果完成一件事情有n个不同步个不同步骤，在每一步中都有若，在每一步中都有若干种不同的方法干种不同的方法mi(i1，2，3，n)，那么完成，那么完成这件件事共有事共有m1m2m3mn种方法种方法( )诊诊 断断 自自 测测课堂总结课堂总结2从集合从集合1，2，3，10中任意中任
5、意选出三个不同的数，使出三个不同的数，使这三个数成等比数列，三个数成等比数列，这样的等比数列的个数的等比数列的个数为 ()A3 B4 C6 D8解析解析以以1为首项的等比数列为为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以以2为首项的等比数列为为首项的等比数列为2，4，8；以以4为首项的等比数列为为首项的等比数列为4，6，9；把这四个数列顺序颠倒，又得到把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，个数列，所求的数列共有所求的数列共有2(211)8(个个)答案答案D课堂总结课堂总结3所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有()A45个个 B36个个C3
6、0个个 D50个个答案答案B课堂总结课堂总结4现有有4种不同种不同颜色要色要对如如图所示的四个部所示的四个部分分进行着色，要求有公共行着色，要求有公共边界的两界的两块不不能用同一种能用同一种颜色，色，则不同的着色方法共不同的着色方法共有有 ()A24种种 B30种种C36种种 D48种种解析解析按按ABCD顺序分四步涂色，共有顺序分四步涂色，共有432248(种种)答案答案D课堂总结课堂总结5(人教人教A选修选修23P13B2改编改编)5位同学位同学报名参加两个名参加两个课外活外活动小小组，每位同学限，每位同学限报其中一个小其中一个小组，则不同的不同的报名方名方法有法有_种种解析解析每位同学都
7、有每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法原理，总的报名方法共名同学报名，由分步乘法原理，总的报名方法共2222232(种种)答案答案32课堂总结课堂总结考点一分类加法计数原理的应用考点一分类加法计数原理的应用【例例1】 (1)某同学有同某同学有同样的画册的画册2本，同本，同样的集的集邮册册3本，从本，从中取出中取出4本本赠送送给4位朋友，每位朋友位朋友，每位朋友1本，本，则不同的不同的赠送送方法共有方法共有 ()A4种种 B10种种 C18种种 D20种种(2)满足足a，b1，0，1，2，且关于，且关于x的方程的方程ax22xb0有有
8、实数解的有序数数解的有序数对(a，b)的个数的个数为 ()A14 B13 C12 D9课堂总结课堂总结课堂总结课堂总结当当a0时，则方程有实根，时，则方程有实根，44ab0，所以，所以ab1.(*)()当当a1时，满足时，满足(*)式的式的b1，0，1，2有有4种种()当当a1时，时，b1，0，1，有，有3种可能种可能()当当a2时，时，b1，0，有，有2种可能种可能由分类加法计数原理，有序数对由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有共有443213(个个)答案答案(1)B(2)B课堂总结课堂总结规律方法规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，
9、重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏即标准明确，不重不漏)课堂总结课堂总结【训练训练1】 在某种信息在某种信息传输过程中，用程中，用4个数字的一个排列个数字的一个排列(数字允数字允许重复重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有若所用数字只有0
10、和和1，则与信息与信息0110至多有两个至多有两个对应位位置上的数字相同的信息个数置上的数字相同的信息个数为 ()A10 B11 C12 D15课堂总结课堂总结答案答案B课堂总结课堂总结考点二分步乘法计数原理的应用考点二分步乘法计数原理的应用【例例2】 有六名同学有六名同学报名参加三个智力名参加三个智力竞赛项目，在下列情目，在下列情况下各有多少种不同的况下各有多少种不同的报名方法？名方法？(不一定六名同学都能不一定六名同学都能参加参加)(1)每人恰好参加一每人恰好参加一项，每，每项人数不限；人数不限；(2)每每项限限报一人，且每人至多参加一一人，且每人至多参加一项；(3)每每项限限报一人，但每
11、人参加的一人，但每人参加的项目不限目不限解解(1)每人都可以从每人都可以从这三个比三个比赛项目中目中选报一一项，各有，各有3种不同种不同选法，由分步乘法法，由分步乘法计数原理，数原理，知共有知共有选法法36729(种种)课堂总结课堂总结(2)每每项限限报一人，且每人至多参加一一人，且每人至多参加一项，因此可由，因此可由项目目选人，第一个人，第一个项目有目有6种种选法，第二个法，第二个项目有目有5种种选法，法，第三个第三个项目只有目只有4种种选法，由分步乘法法，由分步乘法计数原理，得共有数原理，得共有报名方法名方法654120(种种)(3)由于每人参加的由于每人参加的项目不限，因此每一个目不限，
12、因此每一个项目都可以从目都可以从这六人中六人中选出一人参出一人参赛，由分步乘法，由分步乘法计数原理，得共有数原理，得共有不同的不同的报名方法名方法63216(种种)课堂总结课堂总结规律方法规律方法利用分步乘法计数原理解决问题：利用分步乘法计数原理解决问题：(1)要按事要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)分分步要做到步要做到“步骤完整步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数乘，得到总数课堂总结课堂总结
13、【训练训练2】 (1)(2014商洛一模商洛一模)某体育彩票某体育彩票规定：从定：从01至至36共共36个号中抽出个号中抽出7个号个号为一注，每注一注，每注2元某人想从元某人想从01至至10中中选3个个连续的号，从的号，从11至至20中中选2个个连续的号，从的号，从21至至30中中选1个号，从个号，从31至至36中中选1个号个号组成一注，成一注，则这人把人把这种特殊要求的号种特殊要求的号买全，至少要花全，至少要花 ()A3 360元元 B6 720元元C4 320元元 D8 640元元(2)用用0，1，2，3，4，5可可组成无重复数字的三位数的个成无重复数字的三位数的个数数为_个个课堂总结课堂
14、总结解析解析(1)从从01至至10中选中选3个连续的号共有个连续的号共有8种选法；从种选法；从11至至20中选中选2个连续的号共有个连续的号共有9种选法；从种选法；从21至至30中选中选1个号个号有有10种选法；从种选法；从31至至36中选一个号有中选一个号有6种选法，由分步乘种选法，由分步乘法计数原理知共有法计数原理知共有891064 320(种种)选法，至少需花选法，至少需花4 32028 640(元元)(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字共共5种放法；第二步：十位数字有种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个种放法；第三
15、步：个位数字有位数字有4种放法根据分步乘法计数原理，三位数个数种放法根据分步乘法计数原理，三位数个数为为554100(个个)答案答案(1)D(2)100课堂总结课堂总结考点三两个计数原理的综合应用考点三两个计数原理的综合应用【例例3】 将一个四棱将一个四棱锥SABCD的每个的每个顶点染上一种点染上一种颜色，色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种种颜色可供使色可供使用，那么不同的染色方法的用，那么不同的染色方法的总数是多少？数是多少？解解法一法一设想染色按想染色按SABCD的的顺序序进行，行，对S，A，B染色，有染色，有54360(种种)染色方法染色方法
16、由于由于C点的点的颜色可能与色可能与A同色或不同色，同色或不同色，这影响到影响到D点点颜色的色的选取方法数，故分取方法数，故分类讨论：课堂总结课堂总结C与与A同色同色时(此此时C对颜色的色的选取方法唯一取方法唯一)，D应与与A(C)，S不同色，有不同色，有3种种选择；C与与A不同色不同色时，C有有2种可种可选择的的颜色，色，D也有也有2种种颜色可供色可供选择从而从而对C、D染色有染色有13227(种种)染色方法染色方法由乘法原理，由乘法原理，总的染色方法有的染色方法有607420(种种)课堂总结课堂总结规律方法规律方法(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一注意在综合应用两个原理解决问题时，
17、一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理原理(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化化课堂总结课堂总结【训练训练3】 如果一个三位正整数如如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足足a1a3，则称称这样的三位数的三位数为凸数凸数(如如120，343，275等等)，那么所有凸数的个数那么所有凸数的个数为 ()A240 B204 C729 D920解析解析若若a22，则，则“凸数凸数”为为120与与1
18、21，共，共122个若个若a23，则，则“凸数凸数”有有236个若个若a24，满足条件的，满足条件的“凸凸数数”有有3412个，个，若，若a29，满足条件的，满足条件的“凸数凸数”有有8972个个所有凸数有所有凸数有26122030425672240(个个)答案答案A课堂总结课堂总结思想方法思想方法1应用分用分类加法加法计数原理要注意以下三点：数原理要注意以下三点：(1)明确明确题目中所指的目中所指的“完成一件事完成一件事”指的是什么事，完成指的是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎件事可以有哪些方法，怎样才算是完成才算是完成这件事件事(2)完成完成这件事的件事的n类办法是相互独立的，无法是相
19、互独立的，无论哪种哪种办法都法都可以可以单独完成独完成这件事，而不需要再用到其他件事，而不需要再用到其他办法法(3)确立恰当的分确立恰当的分类标准，准确地准，准确地对“这件事件事”进行分行分类，要求每一种方法必属于某一要求每一种方法必属于某一类办法，不同法，不同类的任意两种的任意两种方法是不同的方法，方法是不同的方法，这是分是分类问题中所要求的中所要求的“不重复不重复”、“不不遗漏漏”课堂总结课堂总结2使用分步乘法使用分步乘法计数原理的关注点数原理的关注点(1)明确明确题目中的目中的“完成完成这件事件事”是什么，确定完成是什么，确定完成这件事件事需要几个步需要几个步骤，且每步都是独立的，且每步
20、都是独立的(2)将完成将完成这件事划分成几个步件事划分成几个步骤来完成，各步来完成，各步骤之之间有有一定的一定的连续性，只有当所有步性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才都完成了，整个事件才算完成，算完成，这是分步的基是分步的基础，也是关，也是关键从从计数上来看，数上来看，各步的方法数的各步的方法数的积就是完成事件的方法就是完成事件的方法总数数(3)解决分步解决分步问题时一定要合理一定要合理设计步步骤、顺序，使各步序，使各步互不干互不干扰、互不影响，、互不影响，还要注意元素是否可以重复要注意元素是否可以重复选取取课堂总结课堂总结易易错防范防范1切切实理解理解“完成一件事完成一件事”的含的含义，以确定需要分，以确定需要分类还是需是需要分步要分步进行行2分分类的关的关键在于要做到在于要做到“不重不漏不重不漏”，分步的关，分步的关键在于要在于要正确正确设计分步的程序，即合理分分步的程序，即合理分类，准确分步，准确分步3确定确定题目中是否有特殊条件限制目中是否有特殊条件限制.
