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1、10.不变子群、商群不变子群、商群10.1 定义定义10.2 例子例子10.3 等价条件等价条件10.4 商群商群10.1 定义定义这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例里已经看到一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么?不变子群又称为正规子群注1.注2.注3.注4. 定义定义一个群 的一个子群 叫做一个不变子不变子群群,假如对于 的每一个元 来说,都有 10.2 例子例子例例一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因为对于任意 的元
2、 来说，例例 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 的哪一个元证明: 是 的一个不变子群证明证明: (2) . 的每一个元 可以同 的每一个元 (3) 交换，所以 ，即 是不变子群(1) 是子群.因为 ，所以 是非空的这就是说， 是一个子群 ， 又这个不变子群 叫做 的中心中心例例 一个交换群 的每一个子群 都是不变子群因为 的每一个元 可以和任意一元 交换， ，所以对于一个子群 来说， 例例 那么， ， 是一个不变子群从这个例子可以总结出一般性结论吗?注5.10.3 等价条件等价条件现在复习一下群 的子集的乘积: 设A，B是群 的两个非空子集,规定，容易证明:，由于结合律成立,
3、， ， 的乘积用符号 来表示定理定理 一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是：对于 的任意一个元 都对证明证明 证完 注5. 可以换成 ?证明证明这个条件的必要性是显然的，是定理的直接结果我们证明它也是充分的定理定理一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是：，条件 意味着（） 因为 也是 的元，在（）中以 代 ,证完 要测验一个子群是不是不变子群，用定理的条件一般比较方便注6.用定理的条件可以改写成，注7.等价于 注8.等价于？注9.小结:群 的一个子群 , ， .下面条件等价:1. 2.3. 4.注意: 不变子群不具有传递性.10.4 商群商群 不变子群所以重要
4、，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群 我们看一个群 的一个不变子群 的所有陪集作成一个集合(1) 相对 :是一个元素, 相对 :是一 个子集.(2) 有不同的表示方式.(3) 的子集的乘积,计算两个陪集 和 的 成绩 定理定理一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群证明证明我们证明群定义的条件， 能被满足显然 是单位元,因为 有逆元 ,因为证完 定义定义一个群 的一个不变子群 的陪集所作成的群叫做一个商群商群这个群我们用符号 来表示 因为 的指数就是 的陪集的个数，我们显然有，商群 的元的个数等于 的指数当 是有限群的时候，从商群的角度重新认识剩余类加群第一，回忆剩余类加群。第二，重新认识 。设作业:P74: 2,3,4
