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1、2.2 2.2 广义矩估计广义矩估计（GMM, Generalized Method of Moments）一、广义矩估计的概念一、广义矩估计的概念 二、二、广义矩估计及其性质广义矩估计及其性质 三、三、正交性条件和过度识别限制的检验正交性条件和过度识别限制的检验 四、四、关于关于2SLS2SLS与与GMMGMM关系的讨论关系的讨论 关于关于GMMGMM的主要文献的主要文献关于关于GMM最早的系统的描述最早的系统的描述L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054关于
2、关于GMM 的总结的总结A.Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025关于关于GMM发展的讨论发展的讨论R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press一、广义矩估计的概念一、广义矩估计的概念1 1、概念、概念广义矩估计方法广义矩估计方法是基于模型满足的一些矩条件而是基于模
3、型满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般形成的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般化。如果模型的设定是正确的，则总能找到该模化。如果模型的设定是正确的，则总能找到该模型实际满足的若干矩条件而采用型实际满足的若干矩条件而采用GMM估计。估计。广义矩估计方法发展的导向广义矩估计方法发展的导向:解释变量的内生性问题。解释变量的内生性问题。 模型的过度识别问题模型的过度识别问题。 模型随机项分布的设定问题模型随机项分布的设定问题。 GMM估计包容了许多常用的估计方法估计包容了许多常用的估计方法，普通最小，普通最小二乘法、工具变量法、最大似然法，甚至二阶段二乘法、工具变量法、最大似
4、然法，甚至二阶段最小二乘法都是它的特例最小二乘法都是它的特例。 技术方面的优越性技术方面的优越性无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列相关。相关。 无须进行高阶矩阵的求逆运算。无须进行高阶矩阵的求逆运算。参数的矩估计（补充）参数的矩估计（补充）参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。用样本的二阶中心矩作
5、为方差的估计量。从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。算总体参数（期望和方差）的估计量。 样本的一阶矩样本的一阶矩和二阶矩和二阶矩 总体一阶矩和总体总体一阶矩和总体二阶矩的估计量二阶矩的估计量 总体参数（期总体参数（期望和方差）的望和方差）的估计量估计量 参数的广义矩估计参数的广义矩估计 如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。使得欧氏距离函数使得欧氏距离函数 达到
6、最小：达到最小：矩条件数等于待矩条件数等于待估参数数目估参数数目二、计量经济学模型的广义矩估计二、计量经济学模型的广义矩估计及其性质及其性质 估计方法的原理估计方法的原理 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。工具变量估计的工具变量估计的正规方程组。正规方程组。工具变量估计正规方程组的解就是工具变量估计正规方程组的解就是一阶极值条件的解。一阶极值条件的解。如果工具变量如果工具变量Jk，并且对不同的矩条件加权，并且对不同的矩条件加权，考虑随机项存在异方差和序列相关考虑随机项存
7、在异方差和序列相关Arg , Argument, 自变量、宗数W矩阵的阶数：矩阵的阶数：JJ2、以多元线性模型为例、以多元线性模型为例如果满足所有基本假设，如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：的正规方程组为：该方程组该方程组是如何得是如何得到的？到的？如何从矩条如何从矩条件出发得到件出发得到该方程组？该方程组？如何求如何求解该方解该方程组？程组？如果如果x2为随机变量，为随机变量，z1为它的工具变量，为它的工具变量，IV的正的正规方程组为：规方程组为：为什么将为什么将x2换为换为z1？如何求如何求解该方解该方程组？程组？该方程组是如该方程组是如何得到的？何得到的？4个等于0的矩条件，求
8、解4个参数如果如果x2为随机变量，为随机变量，z1、z2 为它的工具变量，为它的工具变量，GMM关于参数估计量的矩条件为：关于参数估计量的矩条件为：如何求如何求解该方解该方程组？程组？5个等于0的矩条件，求解4个参数该方程组是如何该方程组是如何得到的？得到的？3 3、GMMGMM估计量估计量 min Q()=(1/n)Z(Y-X)W(1/n)Z(Y-X)的的1阶极值条件（偏导为0）： -2XZWZY+2XZWZX=0 XZWZX=XZWZY这是一个有K个未知参数，K个方程的线性方程组。当lK时，ZX是一个列满秩于K的矩阵。从而(XZWZX)K K非奇异，于是有： =(XZWZX)-1XZWZY
9、即为原模型Y=X + 的一个广义矩估计量。广义矩估计量。如果如果l=K，这时ZX为KK方阵且可逆。于是： =(ZX)-1W-1(XZ)-1XZWZY =(ZX)-1ZY 可见，可见，GMM=IV, 这时这时W的选择对结果无影响。的选择对结果无影响。如果如果lK，这时根据这时根据W选取的不同，有不同的解选取的不同，有不同的解GMM，但只要，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满是对称正定矩阵，估计结果都满足一致性。足一致性。尽管不同的权矩阵尽管不同的权矩阵W都可得到都可得到 的一致估计量，但的一致估计量，但估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选择最佳的
10、择最佳的W，以使估计量更有效，以使估计量更有效(有小的方差有小的方差)。4、权矩阵的选择、权矩阵的选择关于权矩阵的选择，是关于权矩阵的选择，是GMM估计方法的一个核心估计方法的一个核心问题。问题。权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条件给予较大的权重，对估计较不精确的矩条件给予件给予较大的权重，对估计较不精确的矩条件给予较小的权重。较小的权重。如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。权矩阵调整的是权矩阵调整的是J个
11、矩条件之间的关系，而不是个矩条件之间的关系，而不是n个样本点之间的关系。个样本点之间的关系。W应是应是(1/n)Var(Z )-1的一致估计。的一致估计。权矩阵的阶权矩阵的阶Hansens(1982)提出最佳的权矩阵为：提出最佳的权矩阵为： L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054若随机误差项存在异方差且不存在自相关，若随机误差项存在异方差且不存在自相关，White(1980)提出权矩阵的估计量为：提出权矩阵的估计量为： White, 1980: A heter
12、oskedasticity-consistent convariance matrix and direct test for heteroskedaticity, Econometrica 48, 817-838Eviews 中中GMM方程设定页面选择方程设定页面选择“cross section”，即为该情况。，即为该情况。L=0若随机误差项存在自相关，若随机误差项存在自相关，Newey和和West(1987)提出权矩阵的估计量为：提出权矩阵的估计量为： Newey and West, 1987: A Simple positive semi-definite, heteroskedasti
13、city and Autocorrelation consisitent covariance matrix, Econometrica 55,703-708 Eviews 中中GMM方程设定页面选择方程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons的的Kernel options中中选择选择Bartlett，然后在然后在Bandwidth selection中中选择选择 Fixed，再填写，再填写NW即为该情况。即为该情况。 其中其中Kernel options选择选择Bartlett，即是：，即是：其它选择的含义其它选择的含义 Eviews 中中GMM方程设定页面选择方
14、程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons的的Kernel options中选择中选择Bartlett，然后在然后在Bandwidth selection中选择中选择 Fixed，如果填写，如果填写1个具体的数字，例如个具体的数字，例如2，表示，表示L=2。 Eviews 中中GMM方程设定页面选择方程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons的的Kernel options中选择中选择Bartlett，然后在然后在Bandwidth selection中选择中选择 Andrews，表示采用，表示采用Andrews1991年论文中提出年论文中提
15、出的选择方法。的选择方法。 Andrews,1991: Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation, Econometrica 59, 817-858 Eviews 中中GMM方程设定页面选择方程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons的的Kernel options中选择中选择Bartlett，然后在然后在Bandwidth selection中选择中选择 Variable-Newway-West，表示采用，表示采用Newey-West 1994年论文中
16、提出的选择方法。年论文中提出的选择方法。 Newey and West,1994: Automatic lag selection in covariance matrix estimation, Review of Economic Studies 61, 631- Eviews 中中GMM方程设定页面选择方程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons的的Kernel options中选择中选择Quadratic，然后在然后在Bandwidth selection中进行中进行选择。表示采用选择。表示采用Quadratic 核函数。核函数。 Eviews 中中GMM方程
17、设定页面选择方程设定页面选择“time series”，在，在HAC optons中选择中选择Prewhitening,然后在然后在Kernel options中和中和Bandwidth selection中进行中进行选择。表示在权矩阵计算之前，设置简单的选择。表示在权矩阵计算之前，设置简单的AR(1)模型，加到估计的模型中。模型，加到估计的模型中。5 5、估计方法的步骤、估计方法的步骤 采用采用OLS估计模型，求得参数的一组估计量，目估计模型，求得参数的一组估计量，目的在于求得权矩阵的估计量。的在于求得权矩阵的估计量。计算权矩阵的估计量。如果采用计算权矩阵的估计量。如果采用Newey和和We
18、st(1987)提出的权矩阵估计量，则要首先选择提出的权矩阵估计量，则要首先选择L的值。当模型不存在序列相关时，取的值。当模型不存在序列相关时，取L=1；当模；当模型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断L的的取值。权矩阵为取值。权矩阵为JJ阶矩阵。阶矩阵。将权矩阵的估计量代入二次型表达式，得到参数将权矩阵的估计量代入二次型表达式，得到参数的的GMM估计量。估计量。迭代迭代 6、例题（、例题（GMM的演示）的演示）居民消费居民消费(用用X表示表示)由由GDP(用用Y表示表示)和和X(-1)解释。解释。因为因为GDP和居民消费互为因果，具有内生性，宜和居民
19、消费互为因果，具有内生性，宜采用采用IV或者或者GMM估计。估计。采用采用OLS估计模型估计模型以常数项、以常数项、Y、X(-1)作为工具变量构造矩条件，进行作为工具变量构造矩条件，进行GMM估计估计以以Y(-1)作为作为Y的工具变量，进行的工具变量，进行IV估计估计以常数项、以常数项、Y(-1)、X(-1)作为工具变量构造矩条件，进作为工具变量构造矩条件，进行行GMM估计估计以常数项、以常数项、Y、Y(-1)、政府消费、政府消费G作为工具变量构造矩作为工具变量构造矩条件，进行条件，进行GMM估计估计数据数据年份GDP资本形成(I)居民消费(C)政府消费+净出口(G)19783605.6137
20、7.91759.1468.619794092.61478.92011.5602.219804592.91599.72331.266219815008.81630.22627.9750.7198255901784.22902.9902.919836216.220393231.1946.119847362.72515.137421105.619859076.73457.54687.4931.8198610508.53941.95302.11264.5198712277.444626126.11689.3198815388.65700.27868.11820.3198917311.36332.788
21、12.62166199019347.867479450.93149.9199122577.4786810730.63978.8199227565.210086.313000.14478.8199336938.115717.716412.14808.3199450217.420341.121844.28032.1199563216.925470.128369.79377.1199674163.628784.933955.911422.8199781658.52996836921.514769199886531.631314.239229.315988.119999112532951.541920
22、.416253.120009874934842.845854.618051.62001108972.439769.449213.219989.82002120350.34556552571.3222142003136398.85596356834.423601.42004160280.469168.463833.527278.52005188692.180646.371217.536828.32006221651.39440280476.946772.42007263242.5111417.493317.258507.9采用采用OLS估计模型估计模型 采用采用GMM估计，以常数项、估计，以常数
23、项、Y和和X(t-1)构造矩条件构造矩条件 采用采用IV估计，以估计，以Y(t-1)作为作为Y(t)的工具变量的工具变量 采用采用GMM估计，以常数项、估计，以常数项、Y(t-1)和和X(t-1)构造矩条件构造矩条件 采用采用GMM估计，以常数项、估计，以常数项、Y(t-1)、X(t-1)和和G构造矩条件构造矩条件 估计结果讨论估计结果讨论以常数项、以常数项、Y、X(-1)作为工具变量构造矩条件进行作为工具变量构造矩条件进行GMM估计，与估计，与OLS估计等价，估计等价，OLS是是GMM的特例；的特例；以常数项、以常数项、Y(-1)、X(-1)作为工具变量构造矩条件进行作为工具变量构造矩条件进
24、行GMM估计，与以估计，与以Y(-1)作为作为Y的工具变量进行的工具变量进行IV估计等估计等价，价， IV是是GMM的特例；的特例；以常数项、以常数项、Y、Y(-1)、政府消费、政府消费G作为工具变量构造矩作为工具变量构造矩条件，进行条件，进行GMM估计，矩条件多于待估参数数目，是估计，矩条件多于待估参数数目，是真正意义的真正意义的GMM估计，估计结果与权矩阵有关。估计，估计结果与权矩阵有关。三、正交性条件和过度识别限制的检验三、正交性条件和过度识别限制的检验1、提示、提示对于对于GMM，关键是两项检验：，关键是两项检验：一是检验过度识别限制是否有效。即一是检验过度识别限制是否有效。即Jk的那
25、部分是否的那部分是否有效。如果经过检验无效，那么有效。如果经过检验无效，那么GMM在这个意义上就在这个意义上就没有优越性。没有优越性。二是检验构造的矩条件是否成立。如果矩条件不成立，二是检验构造的矩条件是否成立。如果矩条件不成立，就要从模型设定方面寻找原因。就要从模型设定方面寻找原因。2 2、矩条件和过度识别约束的检验、矩条件和过度识别约束的检验 如果拒绝原假设，意味着并非所有的总体矩条件如果拒绝原假设，意味着并非所有的总体矩条件都成立。都成立。在应用软件中，被称为J统计量，但应该是nJ2(l-K)检验步骤检验步骤得到参数的一个一致估计得到参数的一个一致估计计算残差计算残差 计算检验统计量计算
26、检验统计量如果如果Test小于临界值，将小于临界值，将不拒绝不拒绝过度识别限制有过度识别限制有效的假设。效的假设。如果拒绝原假设，而且没有进一步的信息，就不如果拒绝原假设，而且没有进一步的信息，就不能判断哪个矩条件不成立，或者说哪个工具变量能判断哪个矩条件不成立，或者说哪个工具变量无效。无效。当当l=K时，称模型参数时，称模型参数“恰好识别恰好识别” ，这时不论，这时不论总体矩条件是否真的成立，都存在唯一解，意味总体矩条件是否真的成立，都存在唯一解，意味着当着当l=K时，总体矩条件不可检验。时，总体矩条件不可检验。当当lK时，称模型参数时，称模型参数“过度识别过度识别” ，该检验称该检验称为为
27、过渡识别约束检验。过渡识别约束检验。过渡识别约束检验过渡识别约束检验也称为也称为Sargan检验。检验。当随机误差项同分布且序列不相关时，检验统计当随机误差项同分布且序列不相关时，检验统计量具有特别简单的形式：量具有特别简单的形式： 首先求出首先求出GMM估计量，计算残差项估计量，计算残差项ei，再用残差项，再用残差项ei对所对所有的工具变量有的工具变量Zi做做OLS回归，称为回归，称为辅助回归辅助回归；然后用上述；然后用上述辅助回归的可决系数辅助回归的可决系数R2乘以样本容量乘以样本容量n。直观上看很清楚，如果直观上看很清楚，如果0 0假设成立，则工具变量应假设成立，则工具变量应该与残差项正
28、交。于是从辅助回归得到的该与残差项正交。于是从辅助回归得到的R2将很将很小，此时将不拒绝过度识别限制有效的假设。小，此时将不拒绝过度识别限制有效的假设。 四、关于四、关于2SLS2SLS与与GMMGMM关系的讨论关系的讨论 1 1、OLSOLS是是GMMGMM的特例的特例 选择解释变量作为工具变量构造矩条件，权矩阵选择解释变量作为工具变量构造矩条件，权矩阵为单位阵，为单位阵，GMM即为即为OLS。参数估计值相同参数估计值相同参数估计量的方差参数估计量的方差协方差矩阵一般不相同协方差矩阵一般不相同2 2、MLML是是GMMGMM的特例的特例 用对数似然函数的导数构造等于用对数似然函数的导数构造等
29、于0的矩条件时，所的矩条件时，所表示的表示的GMM等价于等价于ML 。3 3、IVIV是是GMMGMM的特例的特例 GMM中方程个数等于参数个数时，即等价于工具中方程个数等于参数个数时，即等价于工具变量估计法。变量估计法。4 4、2SLS2SLS是是GMMGMM的特例的特例 2SLS是工具变量估计方法的特殊情形，而工具变是工具变量估计方法的特殊情形，而工具变量估计是量估计是GMM估计的特殊情形。估计的特殊情形。当模型误差项是同方差且序列不相关时，当模型误差项是同方差且序列不相关时，如果如果GMM中中利用了所有先决变量，利用了所有先决变量， 2SLS与与 GMM估计等价。估计等价。2SLS估计估
30、计第1阶段估计第2阶段估计GMM估计估计大括号部分的一阶极值条件 联立方程模型理论的地位问题联立方程模型理论的地位问题如果对模型系统中的每个方程采用如果对模型系统中的每个方程采用GMM，联立方程模，联立方程模型的识别理论、估计理论就失去价值。型的识别理论、估计理论就失去价值。在新的教科书中出现淡化联立方程模型理论的趋势。在新的教科书中出现淡化联立方程模型理论的趋势。VAR类模型的发展，使得联立方程结构模型的预测地类模型的发展，使得联立方程结构模型的预测地位下降。位下降。联立方程结构模型依据经济系统行为关系构建，联立方程结构模型依据经济系统行为关系构建，其结构分析和政策评价的功能是不可替代的。其结构分析和政策评价的功能是不可替代的。
