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1、概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 2021/6/161Venn图演示集合的关系与运算事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 u 结合律结合律 u 分配律分配律 u 摩根律摩根律 2021/6/162 设试验结果共有设试验结果共有n个基本事件个基本事件1，2，.，n ，而且这些事件的发生，而且这些事件的发生具有相同的可能性具有相同的可
2、能性古典概型的概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数2021/6/163几何概型几何概型 Geometric Probabilityu 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。能性，就得到几何概型。n事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可度量图形A中中 u 几何度量几何度量-指长度、面积或体积指长度、面积或体积 u 特点特点n 有一个可度量的几何图形有一
3、个可度量的几何图形Sn试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点中随机地投掷一点2021/6/164 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数，如果如果满足下列三条公理足下列三条公理，u非非负性性：u 规范性范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：那么，称 为事件的概率概率的公理概率的公理 化定义化定义()0 两两互不相容时（1 2 ）=（1）+（2）+ 2021/6/165若 A B，则 P (B A) = P(B) P(A)2021/6/166 设，为同一个随机试验中的两个随机事件设，为同一个随机试验
4、中的两个随机事件 , 且（），且（）， 则称则称为在事件发生的条件下，事件发生的为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率条件概率 n定义定义条件概率条件概率 Conditional Probability2021/6/167乘法法则乘法法则 n推广2021/6/168 设设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，构成一个完备事件组，且且(i )0，i1，2，.，n，则对任一随机，则对任一随机事件，有事件，有 全概率公式全概率公式2021/6/169 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则
5、有则有( k =1 , 2 , , n)证明证明 贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem2021/6/1610 设、为任意两个随机事件，如果设、为任意两个随机事件，如果（）（）（）（）即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立对于事件独立 显然，对于独立，则对于也独立显然，对于独立，则对于也独立，故称故称与相互独立与相互独立 事件的独立性事件的独立性 independencen定义定义2021/6/1611事件的独立性事件的独立性 判别判别n事件与事件独立的充分必要条件是事件与事件独立的充分必要条件是证明证明n实际问题中，事件的独
6、立性可根据问题的实实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断际意义来判断 如甲乙两人射击，如甲乙两人射击，“甲击中甲击中”与与“乙击中乙击中”可以可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立2021/6/1612 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的若各次试验的结果互不影响结果互不影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独次试验是相互独立的立的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次
7、独立次独立试验试验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验重贝努利试验，简称简称贝努利试验贝努利试验( (Bernoulli trialsBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验2021/6/1613贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ， 则在则在n次贝努里试验中次贝努里试验中恰好发生恰好发生 k k次次的概率为的概率为 ( k 0，1，2，.，n )其中其中 n定理定理2021/6/1614 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
