《高中全程复习方略配套课件11.3二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件11.3二项式定理（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 二项式定理二项式定理 三年三年1010考考 高考指数高考指数:1.1.能用计数原理证明二项式定理；能用计数原理证明二项式定理；2.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. .1.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数特定项的系数，或已知某项，求指数n n等是考查重点；等是考查重点；2.2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；也是高考考查
2、的热点；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主为主. .1.1.二项式定理二项式定理它表示第它表示第_项项 二项式定理二项式定理 二项式通项二项式通项 二项式系数二项式系数 ( (a+b)a+b)n n=_=_(_(nNnN* *) )T Tr+1r+1=_,=_,二项展开式中各项的系数为二项展开式中各项的系数为 _(r=0,1,2,_(r=0,1,2,n) ,n) 【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考:(a+b):(a+b)n n展开式中，二项式系数展开式中，二项式系数 (r=0,1,2,(r=0,1,2,n)
3、,n)与展与展开式中项的系数相同吗开式中项的系数相同吗? ?提示：提示：不一定不一定. .二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念, ,二项式系数是指二项式系数是指 , ,它只与各项的项数有关，它只与各项的项数有关，而与而与a,ba,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,ba,b所代表的项有密切所代表的项有密切关系关系. .(2) =_.(2) =_.【解析解析】原式原式=(1-2)=(1-2)1111=-1.=-1.答案：答案
4、：-1-1(3) (3) 的展开式中，的展开式中，x x3 3的系数等于的系数等于_._.【解析解析】 的通项为的通项为令令得得r r2 2， ，故，故x x3 3的系数为的系数为答案：答案：15152.2.二项式系数的性质二项式系数的性质(1)(1)对称性：与首末两端对称性：与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等，即的两个二项式系数相等，即_._.(2)(a+b)(2)(a+b)n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于_，即即_. .(3)(3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数
5、的和，即式系数的和，即2 2n n【即时应用即时应用】(1)(1)若若 的展开式中第的展开式中第3 3项的二项式系数是项的二项式系数是1515，则展开式，则展开式中所有项的系数之和为中所有项的系数之和为_._.(2)(2)已知已知(3-x)(3-x)4 4=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+a4 4x x4 4，则，则a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 4等于等于_._.(3)(3)已知已知(1(1x)x)5 5a a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a a3 3x x3 3a a4 4x x4
6、4a a5 5x x5 5，则，则(a(a0 0 a a2 2a a4 4)(a)(a1 1a a3 3a a5 5) )的值等于的值等于_【解析解析】(1)(1)依题意，得依题意，得 1515，即，即 1515，n(nn(n1)1)30(30(其中其中n2)n2)，由此解得，由此解得n n6 6，因此展开式中所有项的系数之，因此展开式中所有项的系数之和为和为(2)(2)由题意可知，令由题意可知，令x x1 1，代入式子，可得，代入式子，可得a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a4 43 3( (1)1)4 4256.256.(3)(3)分别令分别令x x1 1、x x
7、1,1,得得a a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 50,a0,a0 0a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 53232，由此解得，由此解得a a0 0a a2 2a a4 41616，a a1 1a a3 3a a5 51616，所以，所以(a(a0 0 a a2 2a a4 4)(a)(a1 1a a3 3a a5 5) )256.256.答案：答案：(1) (2)256 (3)-256(1) (2)256 (3)-256 求二项展开式中特定的项或特定项的系数求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛方法点睛】1.1.理解二项式定理应注
8、意的问题理解二项式定理应注意的问题(1)T(1)Tr+1r+1通项公式表示的是第通项公式表示的是第“r+1r+1”项，而不是第项，而不是第“r r”项；项；(2)(2)通项公式中通项公式中a a和和b b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)(3)展开式中第展开式中第r+1r+1项的二项式系数项的二项式系数 与第与第r+1r+1项的系数在一般项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心对根式和指数的运算要细心, ,以防出差错以防出差错. .2.2.求特定项的步骤求特定项的步骤第一步第一步:
9、 :根据所给出的条件根据所给出的条件( (特定项特定项) )和通项公式建立方程来确定和通项公式建立方程来确定指数指数( (求解时要注意二项式系数中求解时要注意二项式系数中n n和和r r的隐含条件，即的隐含条件，即n n为正整为正整数，数，r r为非负整数，且为非负整数，且rn)rn)；第二步第二步: :根据所求项的指数特征求所要求解的项根据所求项的指数特征求所要求解的项. . 【例例1 1】(1)(2012(1)(2012宁波模拟宁波模拟) )在在 的展开式中，系数为的展开式中，系数为有理数的项共有有理数的项共有_项项. .(2)(2012(2)(2012六安模拟六安模拟) )如果如果(1+
10、x(1+x2 2) )n n+(1+x)+(1+x)2n2n(nN(nN* *) )的展开式中的展开式中x x项的系数与项的系数与x x2 2项的系数之和为项的系数之和为4040，则，则n n的值等于的值等于_._.(3)(2012(3)(2012黄山模拟黄山模拟) ) 展开式中展开式中x x2 2的系数为的系数为_._.【解题指南解题指南】(1)(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数展开式的通项找出符合条件的项的个数. .(2)(2)分别写出分别写出(1+x(1+x2 2) )n n与与(1+x)(1+x)2n
11、2n的通项，再分别求出的通项，再分别求出x x项与项与x x2 2项的项的系数进而求出系数进而求出n.n.(3)(3)先明确先明确(1-x)(1-x)4 4与与 的通项，再让通项相乘，可得的通项，再让通项相乘，可得(1-(1-x)x)4 4 的通项，最后分情况讨论即可的通项，最后分情况讨论即可. .【规范解答规范解答】(1)(1)要求系数为有理数的项，则要求系数为有理数的项，则r r必须能被必须能被4 4整除整除. .由由0r200r20且且rNrN知，当且仅当知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数时所对应的项系数为有理数. .答案
12、：答案：6 6(2)(1+x(2)(1+x2 2) )n n的通项的通项(1+x)(1+x)2n2n的通项的通项令令r=1r=1，r=1r=1，r=2r=2得：得：nn2 2+n-20=0,n=4.+n-20=0,n=4.答案：答案：4 4 (3)(1-x) (3)(1-x)4 4的通项的通项r0r0，1 1，2 2，3 3，44 的通项的通项T Tr+1r+1= = ，r0r0，1 1，2 2，33 的通项的通项令令 , , 或或当当 时时,x,x2 2的系数为的系数为当当 时，时，x x2 2的系数为的系数为x x2 2的系数为的系数为-6-6答案：答案：-6-6【反思反思感悟感悟】解决有
13、理项是字母指数为整数的项的问题必须解决有理项是字母指数为整数的项的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解再根据数的整除性来求解. .若求二项展开式中的整式项，则其通若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致的方式一致. . 二项式系数和或各项的系数和二项式系数和或各项的系数和【方法点睛方法点睛】赋值法的应用赋值法的应用(1)(1)对形如对形如(ax+b)(ax+b)n n、(ax(ax
14、2 2+bx+c)+bx+c)m m(a,b,cR)(a,b,cR)的式子求其展开式的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1x=1即可；对形如即可；对形如(ax+by)(ax+by)n n(a,bR)(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1x=y=1即可即可. .(2)(2)若若f(x)=af(x)=a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a an nx xn n，则，则f(x)f(x)展开式中各项系数展开式中各项系数之和为之和为f(1)f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为a
15、 a0 0+a+a2 2+a+a4 4+ += =偶数项系数之和为偶数项系数之和为a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+ += =【提醒提醒】“赋值法赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意. . 【例例2 2】设设(3x-1)(3x-1)4 4=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+a4 4x x4 4. .(
16、1)(1)求求a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4; ;(2)(2)求求a a0 0+a+a2 2+a+a4 4; ;(3)(3)求求a a1 1+a+a3 3; ;(4)(4)求求a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4; ;(5)(5)求各项二项式系数的和求各项二项式系数的和. .【解题指南解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令或部分项系数和，可用赋值法，即令x x取特殊值来解决取特殊值来解决. .【规范解答规范解答】(1)(1)令令x=1,x=1,得得 a
17、 a0 0+ a+ a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4=(3-1)=(3-1)4 4=16.=16.(2)(2)令令x=-1x=-1得得 a a0 0- a- a1 1+ a+ a2 2- a- a3 3+ a+ a4 4=(-3-1)=(-3-1)4 4=256,=256, 而由而由(1)(1)知知 a a0 0+ a+ a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4=(3-1)=(3-1)4 4=16.=16. 两式相加，得两式相加，得 a a0 0+ a+ a2 2+ a+ a4 4=136.=136.(3)(3)由由(1)(1)、(2)(2)
18、得得( a( a0 0+ a+ a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4)-( a)-( a0 0+ a+ a2 2+ a+ a4 4) )= a= a1 1+ a+ a3 3=-120.=-120.(4)(4)令令x=0x=0得得a a0 0=1=1，亦得，亦得a a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4= a= a0 0+ a+ a1 1+ a+ a2 2+ a+ a3 3+ a+ a4 4-a-a0 0=16-1=15.=16-1=15.(5)(5)各项二项式系数的和为各项二项式系数的和为 【反思反思感悟感悟】1.1.在求解本例第在求解本例第(
19、4)(4)题时容易忽略题时容易忽略a a0 0的值导致错的值导致错解解. .2.2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构特殊值代入构造相应的结构. . 二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用【方法点睛方法点睛】二项式定理的综合应用二项式定理的综合应用(1)(1)利用二项式定理做近似计算：当利用二项式定理做近似计算：当n n不很大，不很大，|x|x|比较小时，比较小时，(1+x)(1+x)n n1+nx.1+nx.(2)(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:
20、 :在证明整除问在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式( (数数) )展开后的展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧. .(3)(3)利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式: :由于由于(a+b)(a+b)n n的展开式共有的展开式共有n+1n+1项，项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的. . 【例例3 3】(1)(1)求证：求证：4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2
21、)(2)根据所要求的精确度，求根据所要求的精确度，求1.021.025 5的近似值的近似值.(.(精确到精确到0.01).0.01).【解题指南解题指南】(1)(1)将将6 6拆成拆成“5+15+1”，将，将5 5拆成拆成“4+14+1”, ,进而利用进而利用二项式定理求解二项式定理求解. .(2)(2)把把1.021.025 5转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可要的几项即可. .【规范解答规范解答】(1)4(1)46 6n n5 5n n1 19 94(64(6n n1)1)5(55(5n n1)1)4 4(5(51)1)n
22、n1 15 5(4(41)1)n n1 12020(5(5n n1 1 是是2020的倍数，的倍数，所以所以4 46 6n n5 5n n1 19 9能被能被2020整除整除. .(2)1.02(2)1.025 5=(1+0.02)=(1+0.02)5 5= =当精确到当精确到0.010.01时，只要展开式的前三项和，时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.1041+0.10+0.004=1.104，近似值为，近似值为1.10.1.10.【反思反思感悟感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a(ab)b)n n中，中，a a，b
23、b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚律，余项是什么，必须清楚. .【易错误区易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误对展开式中的项考虑不全面致误【典例典例】(2011(2011新课标全国卷新课标全国卷) ) 的展开式中各的展开式中各项系数的和为项系数的和为2 2，则该展开式中常数项为，则该展开式中常数项为( )( )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40【解题指南解题指南】用赋值法求各项系数和，确定用赋值法求各项系数和，确定a a的值，然后再求常的值，然后再求常数项
24、数项. .【规范解答规范解答】选选D.D.令令x=1x=1，可得，可得 的展开式中各项的展开式中各项系数和为系数和为1+a1+a，1+a=21+a=2，即，即a=1. a=1. 的通项公式的通项公式 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时有两点容易出错：在解答本题时有两点容易出错：(1)(1)各项系数的和与二项式系数和混淆，不能准确求各项系数的和与二项式系数和混淆，不能准确求出出a a的值；的值；(2)(2
25、)对展开式中的常数项的构成考虑不全面，造成计对展开式中的常数项的构成考虑不全面，造成计算错误算错误. .备备考考建建议议解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，在备解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，在备考时要高度关注：考时要高度关注：(1)(1)二项展开式的通项二项展开式的通项T Tr+1r+1中项数与中项数与r r的关系搞不清；的关系搞不清；(2)(2)不能正确写出二项式通项公式导致错误；不能正确写出二项式通项公式导致错误；(3)(3)对于二项式定理的应用不会逆用公式而导致错误；对于二项式定理的应用不会逆用公式而导致错误；(4)(4)在展开在展开(a-b)(a-b)n n时忽略
26、中间的时忽略中间的“- -”号号. .在解决这些问题时，一定要准确理解题意，正确运用二在解决这些问题时，一定要准确理解题意，正确运用二项展开式的通项进行运算，才能避免此类错误项展开式的通项进行运算，才能避免此类错误. .1.(20111.(2011陕西高考陕西高考)(4)(4x x-2-2-x-x) )6 6(xR)(xR)展开式中的常数项是展开式中的常数项是( ( ) )(A)-20 (B)-15(A)-20 (B)-15(C)15 (D)20(C)15 (D)20【解析解析】选选C. C. = = =令令12x-3xr=012x-3xr=0，则，则r=4r=4，所以，所以 =15=15，故
27、选，故选C.C.2.(20112.(2011山东高考山东高考) )若若 展开式的常数项为展开式的常数项为6060，则常数，则常数a a的值为的值为_._.【解析解析】由二项式定理由二项式定理 的展开式的展开式T Tk+1k+1= = =令令6-3k=06-3k=0，则，则k=2,k=2,答案：答案：4 43.(20113.(2011浙江高考浙江高考) )设二项式设二项式 (a(a0)0)的展开式中的展开式中x x3 3的的系数为系数为A A，常数项为，常数项为B B，若，若B=4AB=4A，则，则a a的值是的值是_._.【解析解析】令令r=2,r=2,得得令令r=4,r=4,得得由由B=4AB=4A可得可得a a2 2=4=4，又，又a a0 0，所以，所以a=2.a=2.答案：答案：2 2
