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1、1.1.3导数的几何意义导数的几何意义 定义定义：函数：函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数,记作记作:回回顾顾 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导处的导数的基本方法是数的基本方法是:在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时, f(x0)便是便是x的一个函数
2、的一个函数,我们叫它我们叫它为为f(x)的导函数的导函数.即即:下面来看导数的几何意义: y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上上的的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接
3、近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个确定位置有一个确定位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为称为曲线在点曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即: 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)
4、在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 即即: 故故曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的的切线的斜率切线的斜率切线的斜率切线的斜率。（2）根据直线方程的）根据直线方程的点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切
5、线方程，即即求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的基函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。作业: 练习练习
