南邮概率与数据分析原理习题册答案

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1、1第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。(2)将将a,b两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。中球的个数。A表示表示“甲盒中至少有一个球甲盒中至少有一个球”(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。A表表示示“点数之和小于点数之和小于6”，B表示事件表示事件“两次出现的点数之和为两次出现的点数之和为7”。（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。）测量一辆汽车通过给定点的速度。A表示表

2、示“汽车速度在汽车速度在60至至80之间之间”(单位：公里单位：公里/小时小时)练习一练习一(3)记录南京市记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。在一小时内收到的呼叫次数。A表示表示“南南京市京市110在一小时内收到的呼叫次数在在一小时内收到的呼叫次数在6至至10间间”。2021/6/412.2.设设A、B、C 为三个事件试用为三个事件试用A、B、C 表示下列事件表示下列事件(2)A，B，C 都不发生都不发生(1)A与与B 不不发生，而发生，而C 发生发生(3)A、B、C 至少有一个发生至少有一个发生(4)A、B、C中恰有一个发生中恰有一个发生(6) A、B、C 中至多有两个发生中至多有两

3、个发生(5)A、B、C 中恰有两个发生中恰有两个发生(7) A、B、C 中中至少有两个发生至少有两个发生22021/6/423 3. 3.设设A、B、C为三个事件为三个事件, ,且且 ， 求求A，B，C都不发生的概率。都不发生的概率。 由由 知知 2021/6/434(2)A、B互不相容互不相容 4. 4.设设A、B是两个事件且是两个事件且 ，试在，试在三种情况下求三种情况下求(3)A、B有包含关系有包含关系2021/6/4455. .设设A、B、C是三个事件是三个事件 求求 ， 。2021/6/456解：以解：以A表示事件表示事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”练习二练习二 1.把

4、把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定本不同的书任意放在书架上，求其中指定的的3本书放在一起的概率。本书放在一起的概率。10本书任意放置的情况共有本书任意放置的情况共有3个作整体放置的情况共个作整体放置的情况共3本书的排列共有本书的排列共有2021/6/466以以A表示事件表示事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”以事件以事件A表示表示“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”把事件把事件“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”表示为表示为A把把“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”表示为事件表示为事件A2021/6/477 2.在房间里有在房间里有10个人，分别佩戴从个人，

5、分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章，任选纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。人记录企纪念章的号码。(1)求最小号码为求最小号码为5的概的概率率解：以解：以A表示事件表示事件“最小号码为最小号码为5”(2)求最大号码为求最大号码为5的概的概率率解：以解：以B表示事件表示事件“最大号码为最大号码为5”2021/6/4883.某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆桶油漆，其中白漆10桶，黑漆桶，黑漆4桶，红漆桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，红漆桶，红漆

6、2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？的概率是多少？解：以解：以A表示事件表示事件“白漆白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，红漆桶，红漆2桶桶”2021/6/4994.已知在已知在10只晶体管中有只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)两只都是正两只都是正品品解：以解：以A表示事件表示事件“两只都是正品两只都是正品”(4)第二次取出的是次品第二次取出的是次品解：以解：以C表示事件表示事件“一只是正品，一只是次品一只是正品，一只是次品”(

7、2)两只都是次两只都是次品品(3)一只是正品，一只是次品；一只是正品，一只是次品；解：以解：以B表示事件表示事件“两只都是次品两只都是次品”解：以解：以D表示事件表示事件“第二次取出的是次第二次取出的是次品品”2021/6/41010解：以解：以A表示事件表示事件“该方程有重根该方程有重根”。5.考虑一元二次方程考虑一元二次方程 ，其中，其中B,C分别分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。程有重根的概率。样本空间样本空间S中共有中共有36个元素满足判别式的样本点只有个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和和(4,4)20

8、21/6/41111练习三练习三1. (1)已知已知 求求 。解：解：(2)已知已知 求求 。解：解：2021/6/412122.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为核的概率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。解：以解：

9、以A表示事件表示事件“确实患肺结核确实患肺结核”，以，以B表示事件表示事件“通过透视被确诊通过透视被确诊”。2021/6/413133.已知男子有已知男子有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则(1)此人是色盲患者的概此人是色盲患者的概率率解：以解：以A表示事件表示事件“色盲患者色盲患者”，以，以B表示事件表示事件“所所取为男子取为男子”。(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？少？解：解：2021/6/414144

10、.有两箱同类的零件，第一箱装有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中只，其中10只一等品，第二箱只一等品，第二箱装装30只，其中只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。也是一等品的概率。解：以解：以 表示事件表示事件“第第i次从零件中取到一等次从零件中取到一等品品”以以

11、 表示事件表示事件“取到第取到第i箱箱”2021/6/41515解：解：5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏有三种：损坏2%，(这一事件记为这一事件记为 )，损坏，损坏10 %(事件事件 )，损坏损坏90%（事件（事件 ）。且知）。且知 现现在从已被运输的物品中随机地取在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这件，发现这3件都是好的件都是好的(这一事这一事件记为件记为B)。试求条件概率。试求条件概率 （这里设物（这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）品数量很多，取出一件后不影响后一

12、件是否为好品的概率。）2021/6/41616练习四练习四1. 口袋里装有口袋里装有a+b枚硬币，其中枚硬币，其中b枚硬币是废品枚硬币是废品(两面两面都是国徽都是国徽)。从口袋中随机地取出。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独枚硬币，并把它独立地抛掷立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。枚硬币是废品的概率。解：以解：以A表示事件表示事件“n次出现都是国徽次出现都是国徽”，B表示事件表示事件“取到废品取到废品”2021/6/41717证明：证明：2. 设设 且且 。 证明证明A与与B相互独立。相互独立。2021/6/418183

13、. 设某工厂生产的每台仪器以概率设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；可以直接出厂；以概率以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出可以出厂，以概率厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了了n(n2)台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。解：以解：以Ai表示事件表示事件“第第i件仪器能出厂件仪器能出厂”，以，以B表示事表示事件件“第第i件仪器需要进一步调试件仪器需要进一步调试”，以，以C表示事件：表示事件：“所有仪器都能出厂所有仪器都能出厂”2021/6/419184

14、. 设有设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。解：以解：以A表示事件表示事件“系统的可靠性系统的可靠性”2021/6/4201第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1. 一个袋内装有一个袋内装有6个红球和个红球和4个白球，从中任取个白球，从中任取3个，个，设设X为取到的红球的个数，求为取到的红球的个数，求X的分布律。的分布律。解：解：X的可能取值为：的可能取值为：练习一练习一XP2021/6/42122. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率

15、为进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p（0p2Y其它其它解：解：2021/6/43963.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度其它其它其它其它求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度其它其它其它其它其它其它2021/6/4407(1)确定常数确定常数c解：解：4.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度(2)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度其它其它其它其它其它其它2021/6/4416练习二练习二1.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布

16、律为的联合分布律为且随机变量且随机变量X与与Y相互独立，求相互独立，求p与与q的值。的值。2021/6/44282.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为(2)判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立。是否相互独立。其它其它解：解：其它其它(1)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度其它其它显然显然不独立不独立2021/6/44383.设随机变量设随机变量Y 服从参数为服从参数为1的指数分布，令的指数分布，令(1)求二维随机变量求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布的联合概率分布律律(2) 判断随机变量判断随机变量

17、X1与与X2是否相互独立是否相互独立显然，显然， 不独立。不独立。2021/6/44494.设设X和和Y是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，X在在(0,1)上服从上服从均匀分布，均匀分布，Y服从参数服从参数 的指数分布。的指数分布。(1)求随机变量求随机变量X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度f (x, y);其它其它其它其它由独立：由独立：其它其它(2)设含有设含有a的二次方程的二次方程 试求试求a有实根的概有实根的概率。率。2021/6/44517练习三练习三1. 设设X和和Y是相互独立的随机变量，且是相互独立的随机变量，且X和和Y 的概率密的概率密度分别为度分别为求随机变量求

18、随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。其它其它其它其它解：解：其它其它其它其它2021/6/446172. 设设X和和Y是相互独立的随机变量，且都在是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服上服从均匀分布，求随机变量从均匀分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。其它其它其它其它解：解：X和和Y的概率密度函数分别为的概率密度函数分别为其它其它其它其它2021/6/44733. 3. 设设 是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量， 证明：证明：显然，显然， 所以所以2021/6/448174. 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从正是两个相互独立的随机变量，它们都服从

19、正态分布态分布 ，试验证随机变量，试验证随机变量 的概的概率密度为率密度为其它其它我们称我们称Z服从参数为服从参数为 的瑞利分布的瑞利分布证明：由证明：由X和和Y独立独立令令其它其它2021/6/449175. 设随机变量设随机变量(X,Y) 的概率密度为的概率密度为其它其它(1)求随机变量求随机变量(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度其它其它其它其它(2)判断随机变量判断随机变量X和和Y是否相互独立？是否相互独立？显然，显然， 独立。独立。2021/6/45017(3)求随机变量求随机变量U=maxX,Y的分布函数的分布函数 。2021/6/4511第四章第四章 随机变量的

20、数字特征随机变量的数字特征1. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间负荷的时间X(以分计以分计)是一个随机变量其概率密度为是一个随机变量其概率密度为其它其它试求随机变量试求随机变量X的数学期望的数学期望E(X)。解：解：2021/6/4522解：解：2. 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 试求试求XP3.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为(1)求随机变量求随机变量X的数学期的数学期望望(2)求随机变量求随机变量Y2X的数学期望的数学期望(3)求随机变量求随机变量Ze5X的数学期望的数学期望2021/6/4533

21、4.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它其它试求试求解：解：2021/6/4544解：解：5.设随机变量设随机变量X1，X2的概率密度分别为的概率密度分别为(1)求求(2)又设又设X1，X2相互独立，求相互独立，求解：解：2021/6/4555练习二练习二1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相互。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以独立，以X表示同时需要调整的元件数，试求表示同时需要调整的元件数，试

22、求X的数学期望和方的数学期望和方差。差。解：以解：以Xi表示第表示第i个元件的调整情况，个元件的调整情况，i=1,2,3第第i个元件需要调整个元件需要调整第第i个元件不需要调整个元件不需要调整2021/6/45662.设乒乓球队设乒乓球队A与与B比赛，如果有一个队胜比赛，如果有一个队胜3场，则比场，则比赛结束。已知赛结束。已知A队在比赛中获胜的概率为队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比，试求比赛场数赛场数X的数学期望。的数学期望。解：随机变量解：随机变量X的可能取值为的可能取值为3,4,5。2021/6/4577(1)写出随机变量写出随机变量(X,Y)的概率密度函数。的概率密度函数。3.设二维

23、连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)在区域在区域 内服从均匀分布。内服从均匀分布。其它其它解：积分区域的面积为解：积分区域的面积为1(2)求随机变量求随机变量Z2XY的数学期望及方差。的数学期望及方差。2021/6/4588解：解：4.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，对对X独立地重复观察独立地重复观察4次，用次，用Y表示观察值大于表示观察值大于 的的次数，求随机变量次数，求随机变量 的数学期望。的数学期望。其它其它2021/6/4599(1)求随机变量求随机变量Z=2X+Y的分布；的分布；令令5.设随机变量设随机变量X,Y相互独立，相互独立，解：解：(2)求概率求概率

24、(3)求概率求概率令令2021/6/46010练习三练习三1. 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：的联合分布律为：试证明：试证明：X和和Y是不相关的，但是不相关的，但X与与Y不是相互独立的。不是相互独立的。故故X,Y不相关，而且不独立。不相关，而且不独立。2021/6/461112. 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)在区域在区域 内服从均匀分布，计算内服从均匀分布，计算 。其它其它解：解：(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数为为2021/6/46212解：解： 3.3.设随机变量设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为 ，求，求 与与

25、 的相关系数。的相关系数。2021/6/463134. 设连续型随即变量设连续型随即变量X的概率密度为的概率密度为(1)问问X与与|X|是否相关？为什么？是否相关？为什么？解：解：显然不相关。显然不相关。(2)问问X与与|X|是否独立？为什么？是否独立？为什么？不独立不独立2021/6/464145. 已知已知 ，试，试求求(1)协方差协方差(3)互协方差互协方差(2)相关系数相关系数2021/6/4651第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理1. 设设 ，则由契比雪夫不等式，则由契比雪夫不等式有有解：解：2.设设 相互独立且均服从参数相互独立且均服从参数 的泊的泊松分布，

26、试证明：当松分布，试证明：当n趋向于无穷大时，趋向于无穷大时， 依概率收敛于依概率收敛于12。由辛钦大数定律由辛钦大数定律2021/6/4662证明：当证明：当n充分大时，充分大时， 近似服从正态分布，并近似服从正态分布，并指出其分布参数。指出其分布参数。解：解：3.设设 相互独立且同分布，已知相互独立且同分布，已知2021/6/46734.有一批建筑房屋用的木柱，其中有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少根，问其中至少有有30根短于根短于3m的概率是多少。的概率是多少。解：设随机变量解：设随机变量

27、木柱长度不小于木柱长度不小于3m木柱长度小于木柱长度小于3mX服从服从(0-1)分布分布且且令令2021/6/4684解：设解：设X表示随机变量，则舍入误差表示随机变量，则舍入误差XU(-0.5,0.5)5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。上服从均匀分布。(1)若将若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多的概率是多少少解：设最多可以有解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于个数相

28、加使得误差总和绝对值小于10(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率的概率不小于不小于0.9？解之得：解之得：2021/6/4691第六章样本及抽样分布第六章样本及抽样分布解：解：1.自总体自总体X抽得一个容量为抽得一个容量为5的样本为的样本为8,2,5,3,7，求样，求样本均值本均值 和样本方差和样本方差 及经验分布函数及经验分布函数 。练习一练习一2021/6/4702解：解：2.在总体在总体 中随机地取一容量为中随机地取一容量为100的样的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率

29、的概率是多少？是多少？2021/6/4713(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。的概率。3.在总体在总体XN(12,4)中随机地抽一容量为中随机地抽一容量为5的样本的样本解：令解：令(2)求概率求概率解：解：(3)求概率求概率解：令解：令2021/6/47212.设设 是取自具有是取自具有 分布的总体的样分布的总体的样本，本， 与与 分别为样本均值与样本方差求分别为样本均值与样本方差求解：设总体为解：设总体为X2021/6/4731解：解：1.设设 是取自正态总体是取自正态总体 的简单的简单随机样本，求概率随机样本，求概率 。练习二练习二解：

30、设总体为解：设总体为X2.设设 是取自参数为是取自参数为 的泊松总体的泊松总体 的一个简单随机样本，的一个简单随机样本， 与与 分别为样本均值与样分别为样本均值与样本方差求本方差求2021/6/47413.(1)设设 是来自正态总体是来自正态总体XN(0,2)的一个的一个简单随机样本，试给出常数简单随机样本，试给出常数c使得使得 服从服从 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。解：解：c = 1/4，自由度为，自由度为2。 解：解：自由度为自由度为3。 (2设设 是来自正态总体是来自正态总体XN(0,1)的一个的一个简单随机样本，试给出常数简单随机样本，试给出常数 d 使得使得 服服

31、从从 t 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。2021/6/4751(1)求求 ，其中，其中 为样本方为样本方差。差。(2)求求解：由解：由解：解： 4.设在总体设在总体 中抽取一容量为中抽取一容量为16的样本，这里的样本，这里 均为未知。均为未知。2021/6/47601 1.随机地取随机地取8只活塞环，测得它们的直径为只活塞环，测得它们的直径为(以以mm计计)试求总体均值试求总体均值 及方差及方差 的矩估计值，并求样本方差。的矩估计值，并求样本方差。解：解： 第七章第七章 参数估计参数估计 练习一练习一 2021/6/477022.设总体设总体X 的密度函数为的密度函数为(1)

32、 矩估计矩估计量量且且 是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本，的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数为相应的样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计的矩估计量和最大似然估计量。量。(其中其中c已知且已知且 )解解:解之得：解之得：将将 代代入入2021/6/47803(2) 最大似然估计量最大似然估计量解解:最大似然函数为：最大似然函数为：求对数求对数求导数求导数解之得，最大似然估计值为解之得，最大似然估计值为最大似然估计量为最大似然估计量为2021/6/479043.已知总体已知总体X 的分布律为的分布律为解之得：解之得：将将 代入得矩估计代入得矩估计量量p为未知参数。为未知参数。

33、且且 是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本，的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数为相应的样本值，求参数p的矩估计量和最大似然估计量。的矩估计量和最大似然估计量。(1) 矩估计矩估计量量解解:2021/6/48005求导数求导数求对数求对数最大似然函数最大似然函数最大似然估计最大似然估计量量为为(2) 最大似然估计量最大似然估计量解解:最大似然估计最大似然估计值值为为2021/6/481064.设总体设总体X具有分布律具有分布律(1) 矩估计值矩估计值解之得解之得:其中其中 为未知参数，已知取得了样本值为未知参数，已知取得了样本值故矩估计故矩估计值值为为试求参数试求参数 的矩估计值和

34、最大似然估计值。的矩估计值和最大似然估计值。即矩估计量即矩估计量又矩估计值又矩估计值2021/6/48207(1)最大似然估计值最大似然估计值最大似然函数为最大似然函数为最大似然估计最大似然估计值值为为2021/6/48308 5.设某种电子器件的寿命设某种电子器件的寿命(以小时计以小时计)T服从双参数的服从双参数的指数分布，其概率密度为指数分布，其概率密度为(1)求求c与与 的最大似然估计的最大似然估计最大似然函数为最大似然函数为其中，其中， 为未知参数，自一批这种器件中随机地为未知参数，自一批这种器件中随机地取取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为

35、求对数求对数2021/6/48409求导数求导数由最大似然原则知由最大似然原则知最大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计量为最大似然估计量为2021/6/48510(2)求求c与与 的矩估计的矩估计解之得解之得将将 代代入入即即2021/6/486111.验证第六章第二节中定理四中的统计量验证第六章第二节中定理四中的统计量解：解：是两总体公共方差是两总体公共方差 的无偏估计量的无偏估计量( 称为称为 的合并的合并估计估计)。 是两总体公共方差是两总体公共方差 的无偏估计量。的无偏估计量。练习二练习二2021/6/48712是是 的无偏估计量。的无偏估计量。解：解： 2.设总体设总体X的数学

36、期望为的数学期望为 是来自总体是来自总体X的简单随机样本。的简单随机样本。 是任意常数是任意常数 ，验证，验证 无偏估计量得证。无偏估计量得证。2021/6/48813解之得解之得解：解： 3. 设设 是来自总体是来自总体 X 的简单随机样本，且的简单随机样本，且设设 ，试确定常数，试确定常数c，使，使 是是 的的无偏估计量。无偏估计量。 是样本均值和样本方差。是样本均值和样本方差。 2021/6/48914(1)指出指出 中哪几个是中哪几个是 的无偏估计的无偏估计量。量。 4. 设设 是来自均值为是来自均值为 的指数分布总体的指数分布总体X的简单随机样本。其中的简单随机样本。其中 为未知参数

37、。设有估计量为未知参数。设有估计量 2021/6/49015(2) 在上述在上述 的无偏估计量中指出哪一个更有的无偏估计量中指出哪一个更有效。效。 4. 设设 是来自均值为是来自均值为 的指数分布总体的指数分布总体X的简单随机样本。其中的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量为未知参数。设有估计量 显然，显然，则则 更有效。更有效。2021/6/49117是来自总体是来自总体X的简单随机样本。的简单随机样本。 5. 设总体设总体X的密度函数为的密度函数为 (1)求参数求参数 的最大似然估计。的最大似然估计。最大似然函数为最大似然函数为设设 是来自总体是来自总体X的简单随机样本值。的简单随机

38、样本值。最大似然估计值为最大似然估计值为最大似然估计量为最大似然估计量为2021/6/49217(2)问最大似然估计量是否是无偏的。问最大似然估计量是否是无偏的。最大似然估计量为最大似然估计量为最大似然估计量是无偏的。最大似然估计量是无偏的。(3)问最大似然估计量是否是问最大似然估计量是否是 的相合的估计量。的相合的估计量。由辛钦大数定律知是相合的。由辛钦大数定律知是相合的。2021/6/493011.设某种清漆的设某种清漆的9个样品，其干燥时间个样品，其干燥时间(以小时计以小时计)为为设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布 。(1)若已知若已知 (小时小时)。练习三练习三求求

39、的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。求求 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信上限。的单侧置信上限。置信区间为置信区间为这里这里这里这里单侧置信上限为单侧置信上限为2021/6/494021.设某种清漆的设某种清漆的9个样品，其干燥时间个样品，其干燥时间(以小时计以小时计)为为设干燥时间总体服从正态分布设干燥时间总体服从正态分布 。(2)若若 未知。未知。求求 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。求求 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信上限。的单侧置信上限。置信区间为置信区间为这里这里这里这里单侧置信上限为单侧置信上限为2021/6/495

40、02置信区间为置信区间为这里这里2.使用金球测定引力常数使用金球测定引力常数(单位：单位： )的观察值的观察值为为设测定值总体为设测定值总体为 均为未知。求均为未知。求 的置信水的置信水平为平为0.90的置信区间。的置信区间。2021/6/49602置信区间为置信区间为解：这里解：这里3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差为从正态分布，并且已知燃烧率的标准差为 ，取，取样本容量为样本容量为 。得燃烧率的样本均值分别为和。得燃烧率的样本均值分别为和 ，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差设两样本独立，求两燃

41、烧率总体均值差 的置信水的置信水平为平为0.99的置信区间。的置信区间。2021/6/49702单侧置信上限为单侧置信上限为置信区间为置信区间为 4.设两位化验员设两位化验员 A, B 独立地对某种聚合物含氯量独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次测定，其测定值的样本方差依次为次为 。设。设 分别为分别为A,B所测所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两样本独立。样本独立。(1)求方差比求方差比 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。(2)求方差比求方差比 的置信水平为

42、的置信水平为0.95的单侧置信上限。的单侧置信上限。2021/6/49802单侧置信下限为单侧置信下限为 5.随机地从随机地从A批导线中抽取批导线中抽取4根，又从根，又从B批导线中批导线中抽取抽取5根，测得电阻根，测得电阻(欧欧)为为这里这里A批导线：批导线：B批导线：批导线：设测定数据分别来自分布设测定数据分别来自分布 ，且两样，且两样本相互独立。又本相互独立。又 均为未知，试求均值差均为未知，试求均值差 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限。的单侧置信下限。2021/6/4991统计量统计量1.某批矿砂的某批矿砂的8个样品的镍含量，经测定为个样品的镍含量，经测定为解：根据题意，提

43、出假设解：根据题意，提出假设设测定值总体服从正态分布，已知设测定值总体服从正态分布，已知 ，问在显著，问在显著性水平性水平 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为均值为3.25。拒绝域拒绝域样本计算值样本计算值不在拒绝域内，故接受原假设，认为均值为不在拒绝域内，故接受原假设，认为均值为3.25.2021/6/41002统计量统计量解：根据题意，即需检验假设解：根据题意，即需检验假设拒绝域拒绝域样本计算值样本计算值在拒绝域内，故拒绝原假设，判定平均寿命小于在拒绝域内，故拒绝原假设，判定平均寿命小于1000小时。小时。3.要求一种元件平均使用寿命不得低于要求一种

44、元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者小时，生产者从一批这种元件中随机地抽取从一批这种元件中随机地抽取25件，测得其寿命的平均件，测得其寿命的平均值为值为950小时已知该种元件寿命服从标准差为小时已知该种元件寿命服从标准差为 小时小时的正态分布，总体均值的正态分布，总体均值 未知，试在显著性水平未知，试在显著性水平 下，判定这批元件的寿命是否大于或等于下，判定这批元件的寿命是否大于或等于1000？2021/6/41013统计量统计量解：根据题意，即需检验假设解：根据题意，即需检验假设拒绝域拒绝域样本计算值为样本计算值为不在拒绝域内，接受原假设，认为可看作一样。不在拒绝域内，接受原假设，认

45、为可看作一样。 3.从某锌矿的东、西两支脉矿中各抽取样本容量分从某锌矿的东、西两支脉矿中各抽取样本容量分别为别为9与与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：差如下： 东支东支西支西支若东西两支脉矿得含锌量都服从正态分布且方差相等，问若东西两支脉矿得含锌量都服从正态分布且方差相等，问两支矿含锌量的平均值是否可以看作一样。两支矿含锌量的平均值是否可以看作一样。2021/6/41024解：根据题意解：根据题意拒绝域拒绝域样本计算值样本计算值在拒绝域内，拒绝原假设，认为均值差大于在拒绝域内，拒绝原假设，认为均值差大于2。 4.在在20世纪世纪70年代

46、后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了到了20世纪世纪80年代初年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出在新老两种过程中形期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出在新老两种过程中形成的成的NDMA含量含量 老过程老过程新过程新过程统计量统计量设两样本分别来自正态分布，且两总体的方差相等，但参数未知。设两样本分别来自正态分布，且两总体的方差相等，但参数未知。两样本独立，分别以两样本独立，分别以 记对应于老新过程的总体的均值，试记对应于老新过程的总体的均值，试在显著性水平在显著

47、性水平 下检验假设下检验假设2021/6/41035解：根据题意，提出假设解：根据题意，提出假设拒绝域拒绝域样本计算值样本计算值统计量统计量 1.某种导线，要求其电阻的方差不得超过某种导线，要求其电阻的方差不得超过 。今在生产的一批导线中取样品今在生产的一批导线中取样品9根，测得根，测得 。总体。总体为正态分布，参数均未知。问在显著性水平为正态分布，参数均未知。问在显著性水平 下能下能否认为这批导线的方差为否认为这批导线的方差为 。 或或不在拒绝域内，接受原假设，认为方差为不在拒绝域内，接受原假设，认为方差为 。2021/6/41046解：根据题意解：根据题意拒绝域拒绝域样本计算值为样本计算值

48、为统计量统计量不在拒绝域内，接受原假设。不在拒绝域内，接受原假设。 2.有两台机器生产金属部件。分别在两台机器所生有两台机器生产金属部件。分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为产的部件中各取一容量为 的样本，测得部件的样本，测得部件重量的样本方差分别为重量的样本方差分别为 。设两样本相互。设两样本相互独立。两总体分别服从正态分布独立。两总体分别服从正态分布 均未知且两样本独立。试在显著性水平均未知且两样本独立。试在显著性水平 下检验假设。下检验假设。2021/6/41057拒绝域拒绝域样本计算值为样本计算值为统计量统计量显然不在拒绝域内，接受原假设。显然不在拒绝域内，接受原假设。 3.测得两

49、批电子器件得样品的电阻为测得两批电子器件得样品的电阻为A批批(x)B批批(y)设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布 均未知，且两样本独立。均未知，且两样本独立。试在显著性水平试在显著性水平 下检验假下检验假设设2021/6/41068拒绝域拒绝域样本计算值为样本计算值为统计量统计量显然不在拒绝域内，接受原假设。显然不在拒绝域内，接受原假设。 3.测得两批电子器件得样品的电阻为测得两批电子器件得样品的电阻为A批批(x)B批批(y)设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布 均未知，且两样本独立。均未知，且两样本独立。试在显著性水平试在显著性水平 下检验假下检验假设设2021/6/4107部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！