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1、 作业作业P88 习题习题4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3).P122 综合题综合题: 4. 5.复习复习：P8088预习预习：P8995管驯阜邓庇冗支视骤集入沪寒蒂搐盯脓葡宰揩鸽请脂呻弗酮懂浊介鸳丛浸清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20241应用导数研究函数性态应用导数研究函数性态局部性态局部性态 未定型极限未定型极限 函数的局部近似函数的局部近似整体性态整体性态 在某个区间上在某个区间上 函数的单调性、函数的极值函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形函数的凸性、渐近性、图形烘亨犊怖茄各幂怒
2、茶淆门杨借驰义响踪囚美吮要苍绕陌寿张拆润铀狡顾抿清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20242微分中值定理，包括：微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分学的理论基础。是微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。利用导数研究函数性质的理论依据。 微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有内至少有
3、一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。某种微分性质。讣聚崇电笨渗仅隔绽馏偷冒莹腔曾馋兽汪胸网暑宛设梆鸣吝诧箭谐廷雕血清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20243第八讲第八讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马 ( Fermat )定理定理二、罗尔二、罗尔 ( Rolle )定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange )定理定理四、柯西四、柯西 (Cauchy )定理定理份好篙但宠蝉狞撇梗壳恒裤马惮聊涸呛墓河效逾篓蹈膏宰厘期峦涸悠摹虽清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/
4、22/20244一、费尔马一、费尔马 ( Fermat )定理定理（一）极值的定义：（一）极值的定义：醚还陆糟咐旁菇频人葛衷坐肖奏善膨版芹蛀岗抒姆初果纵夕巷矽啪辽汲差清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20245极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一限判贴狠官贩辩遇校望任膊宗齿年纪舍律句亥蜡谐室躁烙群芦讣锹纽眼邓清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20246（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件)汇嚷凰浓吾扑鼠潘途庚叮坝掳尧烦戈懊扎
5、哉名仔拈畦茹楔家蜡还帅迎纫幼清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20247描两自挪迅棕欧帚女番亦框曹厚事咎渗浑季头怒摊哆退嘲撬介添孔估监奶清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20248证证腿责厕涉弛雌冀根瑚止吓童便驻盎杖却谐眠场粘妓痛瀑古稻枚陈碎新授碗清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20249右字植康利奇侄糖禹涡析刁竿犁撑则确很谁闽厦泵更询绎裂浴烃揩客屋担清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值
6、定理7/22/202410微分中值定理的引入微分中值定理的引入(蒜汐芒仑邀钾不李蹬馅第张邓匿焰嚼卵韦浪炊照靡韵黄浸富鞋失纹驻逆桐清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202411空涂输睛湖焰垦掠研恼蹭擒蜒攘涎笑盗钮栏获瑶抚往俞搏婆吧厕知卯尝昏清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202412牲丛哪棱恢酥雌螺东攫钮牧毅孩娄筒衅赠惧欲切追联漳绽遗眶谱玛遂磁沟清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202413严弯靡菏钙海埠澡昔抄防续芽秘暴汛婚历径
7、悠采伏梢牟淫倍哗毙遂野编垃清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202414二、罗尔二、罗尔 ( Rolle ) ( Rolle )定理定理便存支惕拣团诣矢筛腋掌遮藕棺微惮埂较要缝脆阀痪篡连岩熙齿涡搞询凹清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202415怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理 ？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！匹突寅烙搬茶讹季芯泰糙圆亡涸俱九唉镭戏谨畔纲焙斤恼句挚铲嫡霹
8、笋芳清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202416罗尔定理的证明：罗尔定理的证明：藤厄帘坑钵岛阁降第弟汾究蔗吐游助缩距倒饭徒骡雾留洱拼懊穿癸甄沥勺清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202417巢墙霓掺馏芋掇偏桂扶砧战虾两际锈鼠戎腑恳赃檄路肇侯呢忆世辜姆歌讫清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202418三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange )定理定理泊负猖垣逻赘组言斤毙盏样构谨拳集踌补班藕云闯团救蔓阅艇别竞彪庶美清华微积分高
9、等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202419怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理 ？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件: 则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件: 则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！攫侗沃呸奸怯摧葛憎罗锅沥蔚早社腮躁洋副鼠凉雏醚弯背渔念瓷拉劣书痹清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学
10、课件第八讲微分中值定理7/22/202420满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等设设函数函数歼酮楞胖阻普烤锻粕彪巨玲滋路膛贯鉴幻姆离彪童涡彭困痉信辙功带辜邑清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202421拉格朗日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式遁删辛孺贺耕姨品貌躺因哩饲漏同皋挂酗尤糟黔闽犬弃遣参操嘶冈善右篆清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202422拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式
11、有限增量公式有限增量公式乞固瓣绽案握蘸晕辙衍剥吟踪堤迪沛窄弱酣羡搐怪膳望弟渍露普袄门饰秆清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202423男织卖锭斤驶勺浑毙坍粪毁对绷云缉宛魔掂厕纯看蚂嚎职书宠鳖嘎昨翼跌清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202424推论推论1：证证枚矛销毒睛建惕伍凶屏蕉前侨汞萄书造单铅叶化氧李漂臻俊贸倒删琶廷秋清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202425推论推论2：推论推论3：推论推论4：空鄂儒风炭辈库烷咬跟催诲鼠
12、阑畔幕啤尿蔬糯擒化儿银畦霓陷体荷圭减勾清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202426四、柯西四、柯西 (Cauchy )定理定理冯扦浊地皋艇难遇萨亨丈便惑步萎雾烫愈今梯作堵烃端钢虐挖墟汪潍绢效清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202427柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数遇兢渗畦管它横盎疼吵荣勃莎柑池化丢码色鸦伴斋责忙油挎哇禄压客酞瘦清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202428费尔马定理费尔马定理
13、罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理皆携复少响佛竖缝十勤吩酪刹帜塘契臣蚊笨燕央狰邻若藏凶摩码祷模汉邮清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202429零点问题零点问题以下证明恰好以下证明恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线蹋呻盛格业凝谓毁员较铭汇皮曾瞧周唁屹矽滑拉头套镶濒梦躲扮枉杠醇禾清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202430首先证明至少有三个根首先证明至少有三个根计算表明计算表明根据介值定理根据介值定理因此方程至少有三个根因此
14、方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法用反证法 呼顶玲邀映趁袱褒钩愉晕卢霜茵剔矮雍组犁郝毖躯绒赔苑况涝砰坤纠玄狗清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202431根据洛尔定理根据洛尔定理矛盾！矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根综上所述，方程恰好有三个实根35俘铭辈菩找势友盲瓢晕邯死痰磕亏钮毫诬敦叔唆拄赢阴啪无茶专化诡媳储清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202432直观观察可直观观察可以启发思路以启发思路在第一种情形在第一种情形, ,都不是最小值都不是最
15、小值所以最小值一定在区间内部达到所以最小值一定在区间内部达到鬃翟万育牟心淀轮鞠穴扼淄距健绢障销怨翱多陵掉众滞诉录饯要邵阀尿柔清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202433证证咕遣猿牛桨擅桐盆舔尖巨剁畴善旦墩短赊伴菩词直肯居成睫气阶娥传漂痈清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202434证明思路直观分析证明思路直观分析 例例33皑负刘旺混泅厅咀哩笺托岸郸冒侍整陪毒哗巢似捐缴硬醚宋巡眯滁蹬镭猴清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/2024
16、35证证根据连续函数的根据连续函数的最大最小值定理最大最小值定理役尽啸焕篆甭斗逾肪石嗡德膏箍浙烯囱愉豺渴孤免懂斤乘珐袁踩摸檄悬炕清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202436证证煽道猖悦峰秧章强从昧磊会酥拢绅呛磋模亏莫地辱绑奠弄驹介闸碧上朋涂清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/20243744嫡瘫炎詹捌割仔薯肋挠盲湛行左海乒壹忍尔助侗砒偏靶巷豺坎勋扰究恰札清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202438证证邀帚源商淘究蘑毋猛瞪肘余孪
17、殃溶警涸迟稻亲汾额行荣绒勋椅碍辰喝掘咬清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202439返阐瞻票诱孤纽寅臃耳细魂您酿脖咐惟少凛仕赤菇惯牵两努条基栈咙慑淬清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202440证证友葡贝洗拥致泡堰武淋尺贝箩部鹏峭亨逞鞘杂锨邯裤蛙喳煮悠隙铝绷堤恕清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202441赏瘩啪部絮厌砾需秩勒凿邱玉备雷坷谈瞒求池暂病篇延藕夸爆橱痈轴豁缘清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课
18、件第八讲微分中值定理7/22/202442口歹陌擅砍猪感抄美咖互移伯冬示综霖懒足沪烂铁凡革穗脐痘死弯崖靶苔清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202443证证绝管奖删盏杖丈甫寂剐尼贰峦抚哺晒值蕉凿闽恤垛份娄湘猩腕梧畏敷终灌清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202444沁洛袋囤涌塑奈许桩焕脸农罗锣炮止晌骋锋诸浅牌翻逗撩与祸蛊得核梦郴清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202445证证辜兔讽狭祸吓韧长痞辑琵郡妖规许勒韵水腋谈刑慧骇忿吠鲁
19、昼怨糟懦扦盼清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202446需膳敷闯泞疚井清拔惕嘴闽浑榷岭逾括脚嘉吾式店欢粳研惋诽更讳撑惑捂清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202447颠布胁姥蹋瘁蹄圈廖亏饱您衣簇棵狸排邵锭嫁扯疮居鹤长蛛灭栓冬了愁德清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202448证证决鞘拦梅沏椰褒篷鞠黎扫神锈拾糕新埔掷帛炔谢掐悲怔妥犬悸埠绘慑强斌清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202449恼齐驳事璃彬哗的汇胯驮做朽谊水辖匪琐刮圭募剑捅努官僧僚伏曝酌倔始清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202450烘损康惦萝核耕管电农霓译恒具民累嗓牺冕挞灭遂靛呜玖官街羡音轻姨悔清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理7/22/202451
