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1、数学建模能力与数学实践能力数学建模能力与数学实践能力实际问题数学化实际问题数学化1.熟悉问题提供的背景；熟悉问题提供的背景；2.能阅读理解对问题进行陈述的材料；能阅读理解对问题进行陈述的材料； 3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关系及联系系及联系, 构建数学模型构建数学模型, 将实际问题转化为数学问题；将实际问题转化为数学问题； 4.运用已有知识运用已有知识, 选择合理的途径解答问题选择合理的途径解答问题, 解答后还要解答后还要回归实际背景回归实际背景, 判定解的合理性判定解的合理性.程序图程序图实际问题实际问题抽象概括抽象概括数
2、学模型数学模型求解数学模型求解数学模型实际问题的解实际问题的解运运用用数数学学知知识识思思想想、方方法法还原、检验还原、检验审审 题题1.读题读题 先通读先通读, 分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景的描述性词语的描述性词语, 哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系.2.翻译翻译 应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换. 包包括括: 对陌生名词、概念的领悟；把文字叙述语言、图形语言、对陌生名词、概念的领悟；把文字叙述语言、图形语言、数学符号语言三者进行等价
3、转化数学符号语言三者进行等价转化.3.挖掘挖掘 应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性, 需要挖掘题需要挖掘题目中蕴涵的数字信息目中蕴涵的数字信息, 这也是解应用题的难点这也是解应用题的难点.应用题分类应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；( (函数函数) )2.数量间的相等或不等关系数量间的相等或不等关系, 如人口控制、资源保护等；如人口控制、资源保护等；( (方程、不等式方程、不等式) )3.增长率，如存款利息、人口增长等；增长率，如存款利息、人口增长等；( (数列数列) )( (解析几何解析
4、几何) )( (立体几何立体几何) )4.运行轨道、拱桥形状等；运行轨道、拱桥形状等；5.几何体的形状、面积、体积等；几何体的形状、面积、体积等；6.排列组合、概率排列组合、概率. 解答函数应用题的一般步骤解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料阅读理解材料 读懂题目所叙述的实际问题的意义读懂题目所叙述的实际问题的意义, 接受题目所约定的临接受题目所约定的临时定义时定义, 理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系, 分清变分清变量与常量；量与常量；2.建立函数模型建立函数模型 正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数正确选择自变量将问题的目标表示为这个
5、变量的函数, 建建立目标函数关系式立目标函数关系式( (关键是抓住某些量之间的相等关系列出函关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式数式) ), 注意不要忘记考察函数的定义域；注意不要忘记考察函数的定义域；3.求解函数模型求解函数模型讨论变量及函数模型的有关性质讨论变量及函数模型的有关性质( (单调性单调性) ).典型例题典型例题 例例1 某厂今年某厂今年 1 月月, 2 月月, 3 月生产某种产品分别为月生产某种产品分别为 1 万件万件, 1.2 万件万件, 1.3 万件万件. 为了估测以后每个月的产量为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产量以这三个月的产量为依据为依据, 用一个函数模拟
6、该产品的产量与月份用一个函数模拟该产品的产量与月份 x 的关系的关系, 模拟函模拟函数可选用二次函数或函数数可选用二次函数或函数 y=abx+c( (其中其中a, b, c为常数为常数) ). 已知已知 4 月份该产品的产量为月份该产品的产量为 1.37 万件万件, 请问请问, 用以上哪个函数作为模用以上哪个函数作为模拟函数较好拟函数较好? 并说明理由并说明理由.解解: 设设 f(x)=px2+qx+r(p 0)则由则由 f(2)=1.2 即即 4p+2q+r=1.2 得得: f(1)=1 f(3)=1.3 9p+3q+r=1.3 p+q+r=1 p=- -0.05 q=0.35 r=0.7
7、f(x)=- -0.05x2+0.35x+0.7. f(4)=- -0.05 42+0.35 4+0.7=1.3( (万件万件) )又由又由 g(x)=abx+c 可得可得:ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即即 g(4)=- -0.8 0.54+1.4=1.35( (万件万件) ) 而而 4 月份的产量为月份的产量为 1.37 万件万件,故由故由 , 比较可知比较可知, 用用 y=abx+c 作为模拟函数较好作为模拟函数较好.解得解得: a=- -0.8 b=0.5 c=1.4 g(x)=- -0.8 0.5x+1.4. 例例2
8、 一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元元, 卖卖出的价格是每份出的价格是每份 0.30 元元, 卖不掉的报纸还可以以每份卖不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的元的价格退回报社价格退回报社. 已知在一个月已知在一个月( (以以30天计算天计算) )里里, 有有 20 天每天可天每天可卖出卖出 400 份份, 其余其余 10 天每天只卖出天每天只卖出 250 份份, 但每天从报社买进的但每天从报社买进的份数必须相同份数必须相同. 问该摊主每天从报社买进多少份问该摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月获才能使每月获得的利润最大得的利润最大? 并
9、计算该摊主一个月最多可赚得多少元并计算该摊主一个月最多可赚得多少元.解解: 设每天从报社买进设每天从报社买进 x 份份(250x400),则每月共销售则每月共销售 (20x+10 250) 份份,又卖出的报纸每份获利又卖出的报纸每份获利 0.10 元元, 退回的每份亏损退回的每份亏损 0.12 元元, 退回报社退回报社 10(x- -250) 份份,依题意依题意, 每月获得的利润每月获得的利润 f(x)=0.10(20x+10250)- -0.12 10(x- -250)=0.8x+550. f(x) 在在 250, 400 上是增函数上是增函数, 当当 x=400 时时, f(x) 取得最大
10、值取得最大值, 最大值为最大值为 870. 答答: 该摊主每天从报社买进该摊主每天从报社买进 400 份时份时, 才能使每月获得的利润才能使每月获得的利润最大最大,一个月最多可赚一个月最多可赚 870 元元. 例例3 某村计划建造一个室内面积为某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室的矩形菜温室, 在在温室内温室内, 沿左右两侧与后侧内墙各保留沿左右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道宽的通道, 沿前侧内沿前侧内墙保留墙保留 3m 宽的空地宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种蔬菜的种植面积最大植面积最大? 最大种植面积是多少最大种植面积是多少
11、?解解: 设矩形温室的左侧边长为设矩形温室的左侧边长为 a m, 后侧边长为后侧边长为 b m, 则则 ab=800, 蔬菜的种植面积蔬菜的种植面积S=(a- -4)(b- -2)=ab- -4b- -2a+8 =808- -2(a+2b).=648.仅当仅当 a=2b, 即即 a=40, b=20 时取等号时取等号.故故当当 a=40(m), b=20(m) 时时, ymax=648(m2).S808- -4 2ab答答: 当矩形温室的左侧边长为当矩形温室的左侧边长为 40m, 后侧边长为后侧边长为 20m 时时, 蔬菜蔬菜的种植面积最大的种植面积最大, 最大种植面积为最大种植面积为 648
12、 m2. 解解: 依题意得依题意得:于是框架用料长度于是框架用料长度故故当当 x 约为约为 2.343m, y 约为约为 2.828m 时时, 用料最省用料最省. xy+ x =8, 12x2 y= - (- (0x4 2 ) ). 8xx4L=2x+2y+2( ) 2 x 2=( + 2 )x+ 32x164 6+4 2 . 仅当仅当 ( + 2 )x= 即即 x=8- -4 2 时时, 取等号取等号. 32x16此时此时 x 2.343, y=2 2 2.828. 例例4 某单位用木料制作如图所示的框架某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长框架的下部是边长分别为分别为 x, y
13、( (单位单位: m) )的矩形的矩形, 上部是等腰直角三角形上部是等腰直角三角形, 要要求框架围成的总面积为求框架围成的总面积为 8m2. 问问 x, y 分别为多少分别为多少 ( (精确到精确到 0.001 m) )时时 用料最省用料最省?xy 例例5 某租赁公司拥有汽车某租赁公司拥有汽车 100 辆辆, 当每辆车的月租金为当每辆车的月租金为 3000元时元时, 可全部租出可全部租出; 当每辆车的月租金每增加当每辆车的月租金每增加 50 元时元时, 未租出未租出的车将会增加一辆的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费 150 元元, 未未租出的车每辆每月需要
14、维护费租出的车每辆每月需要维护费 50 元元. (1)当每月每辆车的租金当每月每辆车的租金定为定为 3600 元时元时, 能租出多少辆车能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为多少元时多少元时, 租赁公司的月收益最大租赁公司的月收益最大? 最大收益是多少最大收益是多少?解解: (1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为 3600 元时元时, 未租出的车辆数为未租出的车辆数为: (3600- -3000) 50=12,则租赁公司的月收益则租赁公司的月收益(2)设每辆车的月租金定为设每辆车的月租金定为 x(x=50k, k N* ) 元元, 这时租出了这时租出了 88
15、辆车辆车.f(x)=(100- - )(x- -150)- - 50x- -300050x- -300050=- - +162x- -2100 x2 50=- - (x- -4050)2+307050. 1 50当当 x=4050 时时, f(x) 取最大值取最大值 307050. 即当即当每辆车的月租金定为每辆车的月租金定为 4050 元元 时时, 租赁公司的月收益最租赁公司的月收益最大大, 最大月收益是最大月收益是 307050 元元. 例例6 上因特网的费用由两部分组成上因特网的费用由两部分组成: 电话费和上网费电话费和上网费, 以前某以前某“热线热线”上因特网的费用为电话费上因特网的费
16、用为电话费 0.12 元元/3 分钟分钟, 上网费上网费 0.12 元元/分钟分钟. 根据信息产业部调整因特网资费的要求根据信息产业部调整因特网资费的要求, 自自 1999 年年 3 月月1日起日起, 该地区上因特网的费用调整为电话费该地区上因特网的费用调整为电话费 0.16 元元/3 分钟分钟, 上网费每月不超过上网费每月不超过 60 小时小时, 以以 4 元元/小时计算小时计算, 超过超过 60 小时部小时部分分, 以以 8 元元/小时计算小时计算. (1)根据调整后的规定根据调整后的规定, 将每月上因特网的将每月上因特网的费用表示为上网时间费用表示为上网时间( (小时小时) )的函数的函
17、数( (每月按每月按30天计算天计算) ); (2)若某若某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网 60 小时的费用开支小时的费用开支, 因特网资费调整后因特网资费调整后, 若要不超过其家庭经济预算中上网费的支若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出出, 该网民现在每月可上网多少小时该网民现在每月可上网多少小时? 从涨价和降价的角度分从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况析该地区调整前后上因特网的费用情况.解解: 设调整后上网设调整后上网 x 小时的费用为小时的费用为 f(x) 元元,(1)当当 060 时时, f(x)=4 60+0.16 20
18、x+(x- -60) 8=11.2x- -240. f(x)= 7.2x (060). 当当 0x60 时时, f(x)60 时时, 由由 f(x)=g(x) 得得: x=150. 又又当当 60x150 时时, f(x)150 时时, f(x)g(x).故上网时间小于故上网时间小于 150 小时小时, 调整前的上网费用高调整前的上网费用高;上网上网 150 小时小时, 调整前后的费用一样高调整前后的费用一样高;上网时间超过上网时间超过 150 小时小时, 调整后的上网费用高调整后的上网费用高. 例例7 某地区上年度电价为某地区上年度电价为 0.8 元元/kwh, 年用电量为年用电量为 a k
19、wh, 本本年度计划将电价降到年度计划将电价降到 0.55 元元/kwh 至至 0.75 元元/kwh 之间之间, 而用户而用户期望电价为期望电价为 0.4 元元/kwh. 经测算经测算, 下调电价后新增的用电量与实下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比际电价和用户期望电价的差成反比( (比例系数为比例系数为k) ), 该地区电力该地区电力的成本价为的成本价为 0.3 元元/kwh. (1)写出本年度电价下调后写出本年度电价下调后, 电力部门电力部门的收益的收益 y 与实际电价与实际电价 x 的函数关系式的函数关系式; (2)设设 k=0.2a, 当电价最低当电价最低定为多少
20、时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? ( (注注: 收益收益=实际用电量实际用电量 (实际电价实际电价- -成本价成本价) ).解解: (1)依题意依题意, 0.55x0.75, 本年度用电量为本年度用电量为: a+下调电价后新增用电量为下调电价后新增用电量为:x- -0.4 k . x- -0.4 k , 依题意得依题意得: y=(a+ )(x- -0.3), x- -0.4 k 故所求函数关系式为故所求函数关系式为: y=(a+ )(x- -0.3), 0.55x0.75.x- -0.4 k (2)当当 k=0.2a 时时, y=(a
21、+ )(x- -0.3), x- -0.4 0.2a 依题意依题意 (a+ )(x- -0.3)0.5a(1+20%), x- -0.4 0.2a 整理得整理得: 10x2- -11x+30. 解得解得: x0.5 或或 x0.6. 0.55x0.75, 0.6x0.75, 最低电价应定为最低电价应定为 0.6元元/kwh. 例例8 某摩托车生产企业某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元万元/辆辆, 出厂价为出厂价为 1.2 万元万元/辆辆, 年销售量为年销售量为 1000 辆辆. 本年度为本年度为适应市场需求适应市场需求, 计划提高产品档次计划
22、提高产品档次, 适度增加投入成本适度增加投入成本. 若每若每辆车投入成本增加的比例为辆车投入成本增加的比例为 x(0x1), 则出厂价相应的提高比则出厂价相应的提高比例为例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为同时预计年销售量增加的比例为 0.6x, 已知年利润已知年利润 =( (出厂价出厂价- -投入成本投入成本) )年销售量年销售量. (1)写出本年度预计的年利润写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例与投入成本增加的比例 x 的关系式的关系式; (2)为使本年度的年利润为使本年度的年利润比上年有所增加比上年有所增加, 问投入成本增加的比例问投入成本增加的比例 x 应在什么
23、范围内应在什么范围内?解解: (1)依题意得依题意得: y=1.2 (1+0.75x)- -1 (1+x) 1000(1+0.6x),整理得整理得: y=- -60x2+20x+200(0x0, 0x0, 0x1, 即即解得解得: 0x . 13故投入成本增加的比例故投入成本增加的比例 x 应满足应满足 0x .13此即为所求关系式此即为所求关系式. 例例9 甲、乙两地相距甲、乙两地相距 s 千米千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速速度不得超过度不得超过 c 千米千米/时时, 已知汽车每小时的运输成本已知汽车每小时的运输成本( (以元为单位以元为单位) )由可变部分和
24、固定部分组成由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度可变部分与速度 v( (千米千米/时时) )的的平方成正比平方成正比, 比例系数为比例系数为 b, 固定部分为固定部分为 a 元元. (1)把全程运输成把全程运输成本本 y( (元元) )表示为速度表示为速度 v( (千米千米/时时) )的函数的函数, 并指出这个函数的定义并指出这个函数的定义域域; (2)为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶汽车应以多大速度行驶? 解解: (1)依题意知依题意知, 汽车从甲地匀速行驶到乙地用时汽车从甲地匀速行驶到乙地用时 小时小时,sv其中其中 0bc2, 因而因而 a- -
25、bcva- -bc20. 也即当也即当 v=c 时时, 全程运输成本全程运输成本 y 最小最小. 综上所述综上所述, 为使全程运输成本为使全程运输成本 y 最小最小, 若若 c, 则则当当 v= 时时, 全程运输成本全程运输成本 y 最小最小; baba c- -v0, c, ba若若 c, 当当 v (0, c 时时, 有有: bas( +bv)- - s( +bc)avac=s( - - )+(bv- -bc)avac故故s( +bv)s( +bc), avac当当 c 时时, 行驶速度为行驶速度为 c 千米千米/小时小时. ba当当 c 时时, 行驶速度为行驶速度为 千米千米/小小时时;
26、 baba 例例10 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元元/个个, 出厂价为出厂价为 60元元/个个, 日销售量为日销售量为 1000 个个. 为适应市场需求为适应市场需求, 计划提高蛋糕档计划提高蛋糕档次次, 适度增加成本适度增加成本. 若每个蛋糕成本增加的百分率为若每个蛋糕成本增加的百分率为 x(0x1), 则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x, 同时预计日销同时预计日销售量增加的百分率为售量增加的百分率为 0.8x, 已知日利润已知日利润=( (出厂价出厂价- -成本成本) )日销日销售量售量. (1)写出写出
27、 y 与与 x 的关系式的关系式; (2)为使日利润有所增加为使日利润有所增加, 问问 x 应应在什么范围内在什么范围内?解解: (1)依题意得依题意得: y=60 (1+0.5x)- -40(1+x) 1000(1+0.8x),整理得整理得: y=- -8000x2+6000x+20000(0x0, 0x0, 0x1, 即即解得解得: 0x . 34答答: 为使日利润有所增加为使日利润有所增加, x 应满足应满足 0xb0, 记记 h= a2- -b2 , 设设 P 的坐标为的坐标为 (0, y), 则则 P 到三镇距离的平方和到三镇距离的平方和 f(y)=2(b2+y2)+(h- -y)2
28、=3(y- - )2+ h2+2b2 . 23h3当当 y= 时时, 函数函数 f(y) 取得最小值取得最小值.h3点点 P 的坐标是的坐标是(0, a2- -b2 ). 13 故当故当 y=y* 时时, 函数函数 g(y) 取最小值取最小值. (2)解法一解法一 P 到三镇的最远距离是到三镇的最远距离是 g(y)= b2+y2 |h- -y| b2+y2 |h- -y| 时时, b2+y2 |h- -y| 时时. 由由 b2+y2 |h- -y| 解得解得: y . h2- -b2 2h 记记 y*= , 则则 h2- -b2 2h g(y)= b2+y2 |h- -y| yy* 时时, y
29、y* 时时. 当当 y* 0 即即 hb( (此时此时 a22b2) )时时, b2+y2 在在 y*, +) 上是上是增函数增函数, 而而 |h- -y| 在在 (-, y* 上是减函数上是减函数, 当当 y* 0 即即 hb( (此时此时a2b, 故当故当 y=0 时时, 函数函数 g(y) 取最小值取最小值. 当当 a22b2 时时, P 点在原点点在原点. 综上所述综上所述, 当当 a22b2 时时, P 点在点在(0, )处处; a2- -2b2 2 a2- -b2 故当故当 y=y* 时时, 函函数数 g(y) 取最小值取最小值. (2)解法二解法二 P 到三镇的最远距离是到三镇的
30、最远距离是 g(y)= b2+y2 |h- -y| b2+y2 |h- -y| 时时, b2+y2 |h- -y| 时时. 由由 b2+y2 |h- -y| 解得解得: y . h2- -b2 2h 记记 y*= , 则则 h2- -b2 2h g(y)= b2+y2 |h- -y| yy* 时时, yy* 时时. 当当 y* 0 即即 hb 时时, z=g(y) 的图象如图的图象如图(a), 故当故当 y=0 时时, 函数函数 g(y) 取最小值取最小值. 当当 y*0 即即 hb 时时, z=g(y) 的图象如图的图象如图(b), y* y z o h b 图图(a) g(y) y* y
31、z o h b 图图(b) g(y) 当当 P 在射线在射线 MA 上时上时, 记记 P 为为 P1, 当当 P 在射线在射线 MA 的反向延长线上时的反向延长线上时, 记记 P 为为 P2.这时这时 P 到三点到三点 A, B, C 的最远距离为的最远距离为 P1C 或或 P2A, (2)解法三解法三 ABC 中中, AB=AC=a, ABC 的外心的外心 M 在射线在射线 AO 上上, 其坐标为其坐标为(0, ), 且且AM=BM=CM. a2- -2b2 2 a2- -b2 若若 hb( (此时此时 a22b2) ), 则点则点 M 在线段在线段 AO 上上, 如图如图(c). AB(-
32、b, 0) C(b, 0) P1 oxyM .图图(c) P2 .且且 P1CMC, P2AMA.点点 P 与与 M 重合时重合时, P 到三镇的最远距离最小到三镇的最远距离最小. 若若 hb( (此时此时 a22b2) ), 则点则点 M 在线段在线段 AO 外外, 如图如图(d). 这时这时 P 到三点到三点 A, B, C 的最远距离为的最远距离为 P1C 或或 P2A, 且且 P1COC, P2AOC. 点点 P 与与 BC 边边 O 重重合合时时, P 到到三三镇镇的的最最远距离最小远距离最小, 为为 b. AB(-b, 0) C(b, 0) oxyM .图图(d) P2 .P1 .综上所述综上所述, .
