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1、-1、行列式1.n n行列式共有n n2个元素，展开后有n n!项项，可分解为2n n行列式；2.代数余子式的性质：、A Aij ij和a aij ij的大小无关；、*行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、*行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A A；3.代数余子式和余子式的关系：MMij ij(1)i i j jA Aij ij4.设n n行列式D D：将D D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D D1，则D D1 (1)将D D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D D2，则；将D D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D D3，则D D3 D D；将D D主副
2、角线翻转后，所得行列式为D D4，则D D4 D D；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n n(n n1)2n n(n n1)2A Aij ij(1)i i j jMMij ijn n(n n1)2D D；D D2 (1)D D；、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)、拉普拉斯展开式：A AO OC CB BA AC CO OB Bn n(n n1)2；C CA AB BO OO OA AB BC C (1)m m n nA A B B A A B B、*德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；
3、6.对于n n阶行列式A A，恒有：E E A A (1)k kS Sk kn nk k，其中S Sk k为k k阶主子式；n nk k1n n7.证明A A 0的方法：、A A A A；、反证法；、构造齐次方程组AxAx 0，证明其有非零解；、利用秩，证明r r(A A) n n；、证明 0 是其特征值；2、矩阵1.A A是n n阶可逆矩阵：A A 0（是非奇异矩阵）；r r(A A) n n（是满秩矩阵） A A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组AxAx 0有非零解；.z.-b bR Rn n，AxAx b b总有唯一解；A A与E E等价； A A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A A的
4、特征值全不为 0；A AT TA A是正定矩阵； A A的行（列）向量组是R Rn n的一组基； A A是R Rn n中*两组基的过渡矩阵；2.3.4.对于n n阶矩阵A A：AAAA* A A*A A A A E E无条件恒无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A A、B B可逆： A A1若A A A A2，则：A As sA As s；1A A2、A A A A1A A2 A A111、A A1；A As s1O O ；（主对角分块）B B1B B1；（副对角分块）O OA A1CBCB1；（拉普拉斯）B B1O O ；
5、（拉普拉斯）B B1 A A1 A AO O、O OB BO O O OO OA A、1B BO OA A A A1 A AC C 、O OB BO O111A A1 A AO O、11C CB BB B CACA3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m mn n矩阵A A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F F r rO O对于同型矩阵A A、B B，若r r(A A) r r(B B)A AB B；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用： （初等列变换类似，或转置后
6、采用初等行变换）、若(A A,E E)(E E,X X)，则A A可逆，且X X A A1；、对矩阵(A A,B B)做初等行变化，当A A变为E E时，B B就变成A A B B，即：(A A,B B) (E E,A A1B B)；1c cr rE EO O；O Om mn n等价类：所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；、求解线形方程组：对于n n个未知数n n个方程AxAx b b，如果(A A,b b)(E E,x x)，则A A可逆，且x x A A1b b；.z.r r-4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置
7、决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；12、 ，左乘矩阵A A， 乘A A的各行元素；右乘， 乘A A的各列元素；i ii in n111 1、对调两行或两列，符号E E(i i, j j)，且E E(i i, j j)1 E E(i i, j j)，例如：1；11111111、倍乘*行或*列，符号E E(i i(k k)，且E E(i i(k k) E E(i i( )，例如：k kk kk k11(k k 0)；1k kk k11、倍加*行或*列，符号E E(ij ij(k k),且E E(ij ij(k k)1 E E(ij ij(k k)，如：11(k k 0)；115.矩阵秩的基
8、本性质：、0 r r(A Am mn n)min(m m,n n)；、r r(A AT T) r r(A A)；、若A AB B，则r r(A A) r r(B B)；、若P P、Q Q可逆，则r r(A A) r r(PAPA) r r(AQAQ) r r(PAQPAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(r r(A A),r r(B B) r r(A A,B B) r r(A A)r r(B B)；（）、r r(A A B B) r r(A A)r r(B B)；（）、r r(ABAB) min(r r(A A),r r(B B)；（）、如果A A是m mn n矩阵
9、，B B是n ns s矩阵，且ABAB 0，则：（）、B B的列列向量全部是齐次方程组AXAX 0解（转置运算后的结论）；、r r(A A)r r(B B) n n、若A A、B B均为n n阶方阵，则r r(ABAB) r r(A A)r r(B B)n n；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1a ac c、型如01b b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(a a b b) C C a a C C a ab b n n0n nn n1n nn n11C C a am mn nn nm
10、 mb bm mC Cn n11n n1n na a b bm mm mn nm m；C C b b C Cn na a b bn nn nn nm m0n n注：、(a a b b)n n展开后有n n1项；n(n1)(nm1)n!1 2 3mm!(nm)!mnnmn、Cnm0nCn Cn1、组合的性质：C CCmn1 CCmnm1nCr0nrn 2nrr1rCn nCn1；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：.z.-n n、伴随矩阵的秩：r r(A A*) 10r r(A A) n nr r(A A) n n1；r r(A A) n n1、伴随矩阵的特征值：、A A* A A A A1
11、、A A* A A8.A A(AXAX X X,A A* A A A A1 A A*X X A AX X)；n n1关于A A矩阵秩的描述：、r r(A A) n n，A A中有n n阶子式不为 0，n n1阶子式全部为 0；（两句话）、r r(A A) n n，A A中有n n阶子式全部为 0；、r r(A A) n n，A A中有n n阶子式不为 0；9.线性方程组：AxAx b b，其中A A为m mn n矩阵，则：、m m与方程的个数相同，即方程组AxAx b b有m m个方程；、n n与方程组得未知数个数相同，方程组AxAx b b为n n元方程；10.线性方程组AxAx b b的求
12、解：、对增广矩阵B B进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n n个未知数m m个方程的方程组构成n n元线性方程：a a11x x1a a12x x2a a1n nx xn n b b1a a x x a a x x a ax x b b2n nn n2、211222；a am m1x x1a am m2x x2a anmnmx xn n b bn n a a11a a12a aa a22、21a am m1a am m2a a1n n x x1 b b1a a2n nx x2b b2 AxAx b b（向
13、量方程，A A为m mn n矩阵，m m个方程，n n个未知数）a amnmnx xm mb bm m x x1b b1x xb b2a an n （全部按列分块，其中 2）；x xn nb bn n、a a1a a2、a a1x x1a a2x x2a an nx xn n （线性表出）、有解的充要条件：r r(A A) r r(A A, ) n n（n n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m m个n n维列向量所组成的向量组A A： 1, 2, m m构成n nm m矩阵A A ( 1, 2, m m)；T Tm m个n n维行向量所组成的向量组B B： 1T T, 2, 1
14、T TT T T T, m m构成m mn n矩阵B B 2； T Tm m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 AxAx 0有、无非零解； （齐次线性方程组）、向量的线性表出（线性方程组） AxAx b b是否有解；、向量组的相互线性表示是否有 AXAX B B解； （矩阵方程）.z.-3.4.5.矩阵A Am mn n与B Bl ln n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AxAx 0和BxBx 0同解；(P P101例 14)r r(A AT TA A) r r(A A)；(P P101例 15)n n维向量线性相关的几何意义：、 线性相关、 , 线
15、性相关 0； , 坐标成比例或共线（平行）；、 , , 线性相关 , , 共面；6.线性相关与无关的两套定理：若 1, 2, s s线性相关，则 1, 2, s s, s s1必线性相关；若 1, 2, s s线性无关，则 1, 2, s s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r r维向量组A A的每个向量上添上n n r r个分量，构成n n维向量组B B：若A A线性无关，则B B也线性无关；反之若B B线性相关，则A A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A A（个数为r r）能由向量组B B（个数为s s）线性表示，且A
16、 A线性无关，则r r s s(二版P P74定理定理 7 7)；向量组A A能由向量组B B线性表示，则r r(A A) r r(B B)； （P P86定理定理 3 3）向量组A A能由向量组B B线性表示 AXAX B B有解； r r(A A) r r(A A,B B)（P P85定理定理 2 2）8.向量组A A能由向量组B B等价 r r(A A) r r(B B) r r(A A,B B)（P P85定理定理 2 2 推论推论）方阵A A可逆存在有限个初等矩阵P P1,P P2,r r,P Pl l，使A A P P1P P2P Pl l；、矩阵行等价：A AB B PAPA B
17、 B（左乘，P P可逆） AxAx 0与BxBx 0同解、矩阵列等价：A AB B AQAQ B B（右乘，Q Q可逆） ；、矩阵等价：A A B B PAQPAQ B B（P P、Q Q可逆） ；9.对于矩阵A Am mn n与B Bl ln n：、若A A与B B行等价，则A A与B B的行秩相等；、若A A与B B行等价，则AxAx 0与BxBx 0同解，且A A与B B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A A的行秩等于列秩；10.若A Am ms sB Bs sn n C Cm mn n，则：、C C的列向量组能由A A的列向量组线性表示，
18、B B为系数矩阵；、C C的行向量组能由B B的行向量组线性表示，A AT T为系数矩阵； （转置）11.齐次方程组BxBx 0的解一定是ABxABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABxABx 0只有零解 BxBx 0只有零解；、BxBx 0有非零解 ABxABx 0一定存在非零解；12.设向量组B Bn nr r:b b1,b b2,b br r可由向量组A An ns s:a a1,a a2,a as s线性表示为： （P P110题题 1919 结论结论）(b b1,b b2,b br r) (a a1,a a2,a as s)
19、K K（B B AKAK）c c其中K K为s sr r，且A A线性无关，则B B组线性无关 r r(K K) r r； （B B与与K K的列向量组具有相同线性相关性的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r r r r(B B) r r(AKAK) r r(K K),r r(K K) r r,r r(K K) r r；充分性：反证法）注：当r r s s时，K K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵A Am mn n，存在Q Qn nm m，AQAQ E Em m r r(A A) m m、Q Q的列向量线性无关； （P P87）、对矩阵A Am mn n，存在P Pn nm m，PA
20、PA E En n r r(A A) n n、P P的行向量线性无关；14. 1, 2, s s线性相关存在一组不全为 0 的数k k1,k k2,k ks s，使得k k1 1k k2 2k ks s s s 0成立；（定义）.z.-( 1, 2, x x1x x, s s)2 0有非零解，即AxAx 0有非零解；x xs sr r( 1, 2, s s) s s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设m mn n的矩阵A A的秩为r r，则n n元齐次线性方程组AxAx 0的解集S S的秩为：r r(S S) n nr r；16.若*为AxAx b b的一个解，1,2,n nr r为AxA
21、x 0的一个基础解系，则*,1,2,n nr r线性无关； （P P111题题 3333结论结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵 A AT TA A E E或A A1 A AT T（定义） ，性质：、A A的列向量都是单位向量，且两两正交，即a ai iT Ta aj j10i i j ji i j j(i i, j j 1,2,n n)；、若A A为正交矩阵，则A A1 A AT T也为正交阵，且A A 1；2.、若A A、B B正交阵，则ABAB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化施密特正交化和单位化单位化；施密特正交化：(a a1,a a2,a ar r)b b1 a
22、 a1；b b1,a ar rb b ,a a b b12r rb b2b b1,b b1b b2,b b2b br r1,a ar rb br r1;b br r1,b br r1b br r a ar r3.4.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、A A与B B等价A A经过初等变换得到B B； PAQPAQ B B，P P、Q Q可逆； r r(A A) r r(B B)，A A、B B同型；、A A与B B合同C CT TACACB B，其中可逆； x xT TAxAx与x xT TBxBx有相同的正、负惯性指数；、A A与B B相似 P P1APAP B B；5.相似一定合同、合同未必相似；若C C为正交矩阵，则C CT TACAC B BA AB B， （合同、相似的约束条件不同，相似的更严格） ；6.A A为对称阵，则A A为二次型矩阵；7.n n元二次型x xT TAxAx为正定： A A的正惯性指数为n n； A A与E E合同，即存在可逆矩阵C C，使C CT TACAC E E； A A的所有特征值均为正数； A A的各阶顺序主子式均大于0； a aii ii 0, A A 0；(必要条件必要条件).z.
