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1、第第第第章章章章 场论场论场论场论1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.2 场的基本概念场的基本概念1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.6 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系2021/6/162021/6/161 11.1 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.1 1.1.1 标量和矢量标量和矢量标量和矢量标量和矢量1.1.2 1.1.2 基本运算公式基本运算公式基本运算公式基本运算公式1.1.3 1.1.3 常用矢量常用矢量常用矢量常用矢量2021/6/1
2、62021/6/162 2标量标量标量标量- -用大小能够完用大小能够完用大小能够完用大小能够完整描述的物理量整描述的物理量整描述的物理量整描述的物理量矢量矢量矢量矢量- -需用大小和方需用大小和方需用大小和方需用大小和方向描述的物理量向描述的物理量向描述的物理量向描述的物理量 若若若若三三三三个个个个相相相相互互互互垂垂垂垂直直直直的的的的坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上的的的的分分分分量量量量已已已已知知知知, , 一一一一个个个个矢矢矢矢量量量量就就就就确确确确定定定定了了了了。 例例例例如如如如在在在在直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中, , 矢矢矢矢量量量量A A的的的
3、的三三三三个个个个分分分分量量量量模模模模值值值值分分分分别别别别是是是是A Ax x , , A Ay y , , A Az z, , 则则则则A A可表示为可表示为可表示为可表示为 该矢量的模为该矢量的模为 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.1 标量和矢量标量和矢量A A的单位矢量为的单位矢量为 矢量的表示方法矢量的表示方法矢量的表示方法矢量的表示方法2021/6/162021/6/163 3例如例如例如例如, , , ,在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下, , , , 标量场标量场标量场标量场如温度场如温度场如温度场如温度场, , , ,电位场电位场电位场
4、电位场, , , ,高度场等高度场等高度场等高度场等; ; ; ;矢量场矢量场矢量场矢量场如流速场如流速场如流速场如流速场, , , ,电场电场电场电场, , , ,涡流场等。涡流场等。涡流场等。涡流场等。1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.1 标量和矢量标量和矢量2021/6/162021/6/164 4设设设设 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式(2) (2) 矢量的加法和减法矢量的加法和减法矢量的加法和减法矢量的加法和减法(1) (1) 矢量的数乘矢量的数乘矢量的数乘矢量的数乘2021/6/162021/6/165 5(3
5、) (3) 标量积和矢量积标量积和矢量积标量积和矢量积标量积和矢量积 标量积标量积标量积标量积A A B B并有并有并有并有 因而得因而得因而得因而得 矢量的相乘有两种定义矢量的相乘有两种定义矢量的相乘有两种定义矢量的相乘有两种定义- -标量积标量积标量积标量积( (点乘点乘点乘点乘) )和矢量积和矢量积和矢量积和矢量积( (叉乘叉乘叉乘叉乘) )。1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式2021/6/162021/6/166 6矢量积矢量积矢量积矢量积A A A AB B B B(3) (3) 标量积和矢量积标量积和矢量积标量积和矢量积标量积和矢量
6、积 并有并有 故故 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式2021/6/162021/6/167 7标量三重积为标量三重积为 矢量三重积为矢量三重积为 （4 4） 三重积三重积三重积三重积 矢量的三连乘也有两种矢量的三连乘也有两种- -标量、矢量三重积。标量、矢量三重积。1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式2021/6/162021/6/168 8(5) (5) (5) (5) 求导求导求导求导例例例例 求矢量场求矢量场 的矢量线方程。的矢量线方程。解解解解 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分
7、方程为 从而有从而有从而有从而有 解得矢量方程解得矢量方程 c c1 1和和c c2 2是积分常数。是积分常数。 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式2021/6/162021/6/169 91.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式(6) (6) (6) (6) 曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分例例例例 设设设设，求任意两点，求任意两点a a、b b间的矢量间的矢量E E的线积分。的线积分。解解2021/6/162021/6/161010(7) (7) (7) (7) 曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分例
8、例例例 已已知知矢矢量量场场 ，求求由由内内向向外外穿穿过过圆圆锥锥面面x x2 2+ +y y2 2= =z z2 2与平面与平面z z= =H H所围封闭曲面的通量。所围封闭曲面的通量。解解解解 1.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.2 矢量的基本公式矢量的基本公式2021/6/162021/6/1611111.1 矢量的基本运算公式矢量的基本运算公式1.1.3 常用矢量常用矢量(1) 单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量 一个特定方向上的单位矢量等于该一个特定方向上的单位矢量等于该一个特定方向上的单位矢量等于该一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值方向上的任一
9、矢量除以其幅值方向上的任一矢量除以其幅值方向上的任一矢量除以其幅值(2) 分矢量分矢量分矢量分矢量 一个矢量在特定方向上的投影为其在一个矢量在特定方向上的投影为其在一个矢量在特定方向上的投影为其在一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量该方向上的分量该方向上的分量该方向上的分量(3) 切向矢量（分量）切向矢量（分量）切向矢量（分量）切向矢量（分量） (4) 法向矢量法向矢量法向矢量法向矢量 （分量）（分量）（分量）（分量）2021/6/162021/6/1612121.2 1.2 场的基本概念场的基本概念场的基本概念场的基本概念1.2.1 1.2.1 定义定义定义定义1.2.2 1.2.
10、2 分类分类分类分类1.2.3 1.2.3 场图场图场图场图2021/6/162021/6/1613131.2 场的基本概念场的基本概念1.2.1 场的定义场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。1.2.2 场的分类场的分类（1 1） 标量场标量场标量场标量场例如例如例如例如, , , ,在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系
11、在直角坐标系标量场的场线标量场的场线标量场的场线标量场的场线- - - -等值线等值线等值线等值线( ( ( (面面面面) ) ) )。等值线等值线等值线等值线2021/6/162021/6/161414标量场标量场标量场标量场 ( (x, y, zx, y, z) )的等值面方程为的等值面方程为的等值面方程为的等值面方程为 1.2 场的基本概念场的基本概念1.2.1 场的定义场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定
12、的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。1.2.2 场的分类场的分类（1 1） 标量场标量场标量场标量场例例例例 求数量场求数量场求数量场求数量场 =( =(x+yx+y) )2 2- -z z通过点通过点通过点通过点MM(1, 0, 1)(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。的等值面方程。的等值面方程。解解解解 点点点点MM的的的的坐坐坐坐标标标标是是是是x x0 0=1, =1, y y0 0=0, =0, z z0 0=1=1，则则则则该该该该点点点点的的的的数数数数量量量量场场场场值值值值为为为为 =(=(x x0 0+ +
13、y y0 0) )2 2- -z z0 0=0=0。其等值面方程为。其等值面方程为。其等值面方程为。其等值面方程为 或或或或 2021/6/162021/6/1615151.2 场的基本概念场的基本概念1.2.1 场的定义场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。有一个确定的标量或矢量值。1.2.2 场的分类场的分类（2 2） 矢量场矢量场矢量场矢量场
14、例如例如例如例如, , , ,在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系在直角坐标系矢量场的场线矢量场的场线矢量场的场线矢量场的场线- - - -矢量线。矢量线。矢量线。矢量线。 其方程为其方程为其方程为其方程为三维场三维场三维场三维场在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下二维场二维场二维场二维场2021/6/162021/6/1616161.2 场的基本概念场的基本概念1.2.1 场的定义场的定义 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点
15、都有一个确定的标量或矢量值。都有一个确定的标量或矢量值。都有一个确定的标量或矢量值。都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2 场的分类场的分类（2 2） 矢量场矢量场矢量场矢量场例例例例 求矢量场求矢量场 的矢量线方程。的矢量线方程。解解解解 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有从而有从而有 解得矢量方程解得矢量方程 c c1 1和和c c2 2是积分常数。是积分常数。 2021/6/162021/6/161717形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具-场线场线场线场线矢量场矢量场矢量场矢量场-矢量线矢量线矢量线矢量线标量场标量
16、场标量场标量场-等值线等值线等值线等值线( ( ( (面面面面) ) ) )。其方程为其方程为其方程为其方程为其方程为其方程为其方程为其方程为在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下在直角坐标下: : : :矢量线矢量线矢量线矢量线在某一温度上沿什么方向温度变化最快？在某一温度上沿什么方向温度变化最快？在某一温度上沿什么方向温度变化最快？在某一温度上沿什么方向温度变化最快？1.2.3 1.2.3 场图场图场图场图2021/6/162021/6/1618181.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度1.3.1 1.3.1 方向导数方向导数方向导数方向导数1.3.2 1.3.2
17、梯度梯度梯度梯度1.3.3 1.3.3 梯度的物理意义梯度的物理意义梯度的物理意义梯度的物理意义2021/6/162021/6/161919 标标量量场场 ( (x, x, y, y, z)z)在在某某点点沿沿l l方方向向的的变变化化率率称称为为 沿沿该该方方向向的的方向导数方向导数 。 它的值与所选取的方向它的值与所选取的方向 有关有关, , 设设 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.3.1 方向导数方向导数2021/6/162021/6/1620201.3 标量场的梯度标量场的梯度标量函数的最大变化率标量函数的最大变化率标量函数的最大变化率标量函数的最大变化率1.3.1 方向导数方向导数
18、在直角坐标系下在直角坐标系下在直角坐标系下在直角坐标系下性质性质性质性质 垂直于等值面；垂直于等值面；垂直于等值面；垂直于等值面；指向变化最快的方向；指向变化最快的方向；指向变化最快的方向；指向变化最快的方向；最大的变化率；最大的变化率；最大的变化率；最大的变化率；定义定义定义定义1.3.2 梯度梯度定义定义定义定义2021/6/162021/6/162121引入引入引入引入 则则则则 定义标量场定义标量场定义标量场定义标量场 (x, y, z)(x, y, z)在点在点在点在点P P(x, y, z)(x, y, z)处的梯度处的梯度处的梯度处的梯度(gradient)(gradient)为
19、为为为 2021/6/162021/6/162222标量函数标量函数标量函数标量函数 的的的的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为即梯度的方向与过即梯度的方向与过即梯度的方向与过即梯度的方向与过该点的等值面相垂该点的等值面相垂该点的等值面相垂该点的等值面相垂直直直直, , 并由梯度定义并由梯度定义并由梯度定义并由梯度定义知知知知, , 它指向它指向它指向它指向 增大的增大的增大的增大的方向。方向。方向。方向。 一座山的等高线图一座山的等高线图一座山的等高线图一座山的等高线图 20
20、21/6/162021/6/162323梯度运算有如下规则梯度运算有如下规则梯度运算有如下规则梯度运算有如下规则: : 2021/6/162021/6/162424例例例例 求求数数量量场场 在在点点MM(1, (1, 1, 1, 2)2)处处沿沿 方方向向的的方向导数。方向导数。 解解解解 l l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 而而 在在l l方向的方向导数为方向的方向导数为 在点在点MM处沿处沿l l方向的方向导数方向的方向导数 2021/6/162021/6/162525例例例例 求求r r在在MM(1(1，0 0，1)1)处处沿沿 方方向向的的方方向向导导数数。解解解解 r r的梯度
21、为的梯度为 点点MM处的坐标为处的坐标为x x=1, =1, y y=0, =0, z z=1, =1, 所以所以r r在在MM点处的梯度为点处的梯度为 r r在在MM点沿点沿l l方向的方向导数为方向的方向导数为 而而 所以所以 2021/6/162021/6/162626 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, , , ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; ; ; 梯度的方向为该点最大方向梯度的方向为该点最大方向梯度的方向为该点最大方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向导数的方向导数的方向导数的
22、方向, , , ,即与等值线（面）即与等值线（面）即与等值线（面）即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的相垂直的方向，它指向函数的相垂直的方向，它指向函数的相垂直的方向，它指向函数的增加方向。增加方向。增加方向。增加方向。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最大方向导数大方向导数大方向导数大方向导数; ; ; ;1.3.3 梯度的物理意义梯度的物理意义 三维高度场的梯度三维高度场的梯度三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例例例 高度场的梯度高度
23、场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大数值等于该点位移的最大数值等于该点位移的最大数值等于该点位移的最大变化率；变化率；变化率；变化率； 指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。2021/6/162021/6/162727例例例例 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。
24、 数值等于该点的最大方向数值等于该点的最大方向数值等于该点的最大方向数值等于该点的最大方向导数；导数；导数；导数； 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度2021/6/162021/6/1628281.4 1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.1 1.4.1 通量通量通量通量1.4.2 1.4.2 散度散度散度散度1.4.3 1.4.3 环量环量环量环量1.4.4 1.4.4 旋度旋度旋度旋度2021/6/162021/6/1629291.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.1 通量通量 元通量元通量元通量元通量通量通量通
25、量通量2021/6/162021/6/163030矢量矢量矢量矢量 E E E E 沿闭合曲面沿闭合曲面沿闭合曲面沿闭合曲面S S S S 的面积分的面积分的面积分的面积分 0 (0 (0 (0 (有正源有正源有正源有正源) ) ) ) 0 ( 0 ( 0 ( 0 (有负源有负源有负源有负源) ) ) ) =0 ( =0 ( =0 ( =0 (无源无源无源无源) ) ) )矢量场的通量矢量场的通量矢量场的通量矢量场的通量 可以根据净通量的大小判断闭合面可以根据净通量的大小判断闭合面可以根据净通量的大小判断闭合面可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质中源的性质中源的性质中源的性质: : : :
26、通量的物理意义通量的物理意义通量的物理意义通量的物理意义2021/6/162021/6/163131定义矢量定义矢量定义矢量定义矢量A A A A在某点的散度在某点的散度在某点的散度在某点的散度(divergence), (divergence), (divergence), (divergence), 记为记为记为记为divdivdivdivA A A A: : : : 1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 哈密顿哈密顿哈密顿哈密顿(W .R .Hamilton)(W .R .Hamilton)引入微分算子引入微分算子引入微分算子引入微分算子则散度可以表示为则散度
27、可以表示为则散度可以表示为则散度可以表示为2021/6/162021/6/1632321.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 2021/6/162021/6/163333得高斯公式得高斯公式得高斯公式得高斯公式( ( ( (散度定理散度定理散度定理散度定理) ) ) ) 该公式表明了区域该公式表明了区域该公式表明了区域该公式表明了区域V V V V 中场中场中场中场A A与边界与边界与边界与边界S S S S上的场上的场上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与
28、体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 意义意义意义意义2021/6/162021/6/163434例例例例 球面球面球面球面S S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算试利用散度定理计算试利用散度定理计算试利用散度定理计算 解解解解2021/6/162021/6/163535 矢量矢量矢量矢量A A沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分, , 定义为定义为定义为定义为A A沿该曲线的环量沿该曲线的环量沿该曲线的环量沿该
29、曲线的环量( (或旋涡或旋涡或旋涡或旋涡量量量量), ), 记为记为记为记为 1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.3 环量环量 环量密度环量密度环量密度环量密度取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。2021/6/162021/6/163636 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。最大环量密度的方向。最大环量密度的方向。最大环
30、量密度的方向。旋度旋度旋度旋度( ( ( (curlcurl或或或或rotationrotation) ) ) )与环量密度的关系为与环量密度的关系为与环量密度的关系为与环量密度的关系为在直角坐标系下在直角坐标系下在直角坐标系下在直角坐标系下1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 2021/6/162021/6/1637371.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 旋度的物理意义旋度的物理意义旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量
31、的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点点点P P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若在矢量场中，若在矢量场中，若A=JA=J 0 0, ,称之为称之为称之为称之为旋度场旋度场旋度场旋度场( ( ( (或涡旋场或涡旋场或涡旋场或涡旋场) ) ) )，J J 称称称称为为为为旋度源旋度源旋度源旋度源( ( ( (或涡旋源或涡旋源或涡旋源或涡旋源) ) ) )； 点点点点P P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的
32、方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处若矢量场处处若矢量场处处A=0A=0，称之为无称之为无称之为无称之为无旋场旋场旋场旋场( ( ( (或保守场或保守场或保守场或保守场) ) ) )。2021/6/162021/6/163838矢量矢量矢量矢量A A的旋度可表示为算子与的旋度可表示为算子与的旋度可表示为算子与的旋度可表示为算子与A A的矢量积的矢量积的矢量积的矢量积, , 即即即即 计算计算计算计算 A A时时时时, , 先按矢量积规则展开先按矢量积规则展开先按矢量积规则展开先按矢量积规则展开, , 然后再作微分运算然后再作微分运算然后
33、再作微分运算然后再作微分运算, , 得得得得 1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 2021/6/162021/6/163939 旋度运算符合如下规则旋度运算符合如下规则旋度运算符合如下规则旋度运算符合如下规则: : 在直角坐标系中有在直角坐标系中有在直角坐标系中有在直角坐标系中有 2021/6/162021/6/164040斯托克斯斯托克斯斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)(Stockes)(Stockes)定理定理定理定理 A A 是是是是环环环环量量量量密密密密度度度度，即即即即围围围围绕绕绕绕单单单单位位位位面面面面积积积积环环环环路路路路
34、上上上上的的的的环环环环量量量量。因因因因此此此此，其其其其面面面面积积积积分后，环量为分后，环量为分后，环量为分后，环量为即即即即StockeStockeStockeStocke s s s s定理定理定理定理在在在在 电电电电 磁磁磁磁 场场场场 理理理理 论论论论 中中中中 ， GaussGaussGaussGauss公公公公 式式式式 和和和和 StockesStockesStockesStockes公式是两个非常重要的公式。公式是两个非常重要的公式。公式是两个非常重要的公式。公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换。矢量函数的线积分与面积分的互换。矢量函数的线积分与
35、面积分的互换。矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域该公式表明了区域该公式表明了区域该公式表明了区域S S S S中场中场中场中场A A与边界与边界与边界与边界L L L L上上上上的场的场的场的场A A之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系2021/6/162021/6/164141例例例例 自由空间中的点电荷自由空间中的点电荷q q所产生的电场强度为所产生的电场强度为 求任意点处求任意点处( (r r0)0)电场强度的旋度电场强度的旋度 E E。 解解解解2021/6/162021/6/164242可见可见, , 向分量为零向分量为零; ; 同样同样, , 向和向和 向分量也
36、都为零。向分量也都为零。 故故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因因2021/6/162021/6/1643431.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.5.1 1.5.1 散度和旋度的比较散度和旋度的比较散度和旋度的比较散度和旋度的比较 1.5.2 1.5.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理2021/6/162021/6/1644441.5.1 1.5.1 散度和旋度的比较散度和旋度的比较散度和旋度的比较散度和旋度的比较 矢矢矢矢量量量量场场场场的的的的散散散散度度度度是是是是一一一一个个个个标标标标量量量量函函函
37、函数数数数, , 而而而而矢矢矢矢量量量量场场场场的的的的旋旋旋旋度度度度是是是是一一一一个个个个矢量函数。矢量函数。矢量函数。矢量函数。 散度表示场中某点的通量密度散度表示场中某点的通量密度散度表示场中某点的通量密度散度表示场中某点的通量密度, , 它是场中任一点通量源它是场中任一点通量源它是场中任一点通量源它是场中任一点通量源强度的量度强度的量度强度的量度强度的量度; ; 旋度表示场中某点的最大环量强度旋度表示场中某点的最大环量强度旋度表示场中某点的最大环量强度旋度表示场中某点的最大环量强度, , 它是场中任一它是场中任一它是场中任一它是场中任一点处旋涡源强度的量度。点处旋涡源强度的量度。
38、点处旋涡源强度的量度。点处旋涡源强度的量度。 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; ; 而旋度而旋度而旋度而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。 2021/6/162021/6/164545 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋
39、度散度、旋度散度、旋度散度、旋度及及及及边界条件边界条件边界条件边界条件唯唯唯唯一地确定。一地确定。一地确定。一地确定。已知已知已知已知矢量矢量矢量矢量A A的通量源密度的通量源密度的通量源密度的通量源密度矢量矢量矢量矢量A A的环量源密度的环量源密度的环量源密度的环量源密度场域边界条件场域边界条件场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度电荷密度电荷密度 电流密度电流密度电流密度电流密度J J场域边界条件场域边界条件场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量（矢量（矢量A A唯一地确定）唯一地确定）唯一地确定）唯一地确定）1.5.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理
40、2021/6/162021/6/164646例：例：判断矢量场的性质判断矢量场的性质判断矢量场的性质判断矢量场的性质=0=0=0=0=0=0 0 0 0 0=0=02021/6/162021/6/1647471.6 1.6 常用坐标系常用坐标系常用坐标系常用坐标系1.6.1 1.6.1 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系1.6.2 1.6.2 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系1.6.3 1.6.3 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系2021/6/162021/6/164848 坐标变量坐标变量坐标变量坐标变量微元微元微元微元 1.6 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.6.1
41、直角坐标系直角坐标系2021/6/162021/6/164949柱坐标系柱坐标系 1.6 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.6.2 圆柱坐标系圆柱坐标系坐坐坐坐标变标变量量量量 三者总保持正交关系三者总保持正交关系三者总保持正交关系三者总保持正交关系, , 并遵循右手螺旋法则并遵循右手螺旋法则并遵循右手螺旋法则并遵循右手螺旋法则2021/6/162021/6/165050微元微元微元微元 2021/6/162021/6/1651511.6 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.6.3 球坐标系球坐标系坐标变量坐标变量坐标变量坐标变量三三三三者者者者总总总总保保保保持持持持正正正正交交交
42、交关关关关系系系系, , 并并并并遵遵遵遵循循循循右右右右手手手手螺旋法则螺旋法则螺旋法则螺旋法则2021/6/162021/6/165252微元微元微元微元 ，2021/6/162021/6/165353三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场 1. 1. 1. 1.平行平面场平行平面场平行平面场平行平面场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线( ( ( (设为设为设为设为 Z Z 轴轴轴轴) ) ) )的一族的一族的一族的一族平行平面上，场平行平面上，场平行平面上，场平行平面上，场 F F 的分布都相同，即的分布都相同，即的分布都
43、相同，即的分布都相同，即 F=f(x,y)F=f(x,y)，则称这个场，则称这个场，则称这个场，则称这个场为平行平面场。为平行平面场。为平行平面场。为平行平面场。2021/6/162021/6/165454三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场 2. 2. 2. 2.轴对称场轴对称场轴对称场轴对称场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线( ( ( (设为设为设为设为 Z Z 轴轴轴轴) ) ) )的一族子午的一族子午的一族子午的一族子午面上，场面上，场面上，场面上，场 F F 的分布都相同，即的分布都相同，即的分布都相同，即的分布都
44、相同，即 F=f(r,F=f(r, ) )，则称这个场为轴对称，则称这个场为轴对称，则称这个场为轴对称，则称这个场为轴对称场。场。场。场。2021/6/162021/6/165555三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场三种特殊形式的场 3,3,3,3,球球球球面面面面对对对对称称称称场场场场：如如如如果果果果在在在在一一一一族族族族同同同同心心心心球球球球面面面面上上上上( ( ( (设设设设球球球球心心心心在在在在原原原原点点点点) ) ) )，场场场场 F F 的的的的分分分分布布布布都都都都相相相相同同同同，即即即即 F=f(r)F=f(r)F=f(r)F=f(r)，则则则则称称称称这这这这个个个个场场场场为为为为球球球球面面面面对对对对称称称称场。场。场。场。2021/6/162021/6/165656练习练习练习练习1 1 设设设设证明证明证明证明 。练习练习练习练习2 2 设设设设求求求求 。2021/6/162021/6/165757直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系2021/6/162021/6/165858圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系2021/6/162021/6/165959球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系2021/6/162021/6/166060 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
