《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件 理 苏教版（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，求法cos _ cos 2.直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos | .3.求二面角的大小求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 .(2)如图，n1，n2分别是二面角
2、l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cosn1，n2|知识拓展知识拓展利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB .(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为 .思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(
3、)(4)两异面直线夹角的范围是(0， ，直线与平面所成角的范围是0， ，二面角的范围是0，.()(5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120，则l和所成角为30.()(6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()考点自测1.(2016南通模拟)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.答案解析45或135即m，n45.两平面所成的二面角为45或18045135.2.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为_.30答案解析设l与所成角为，cosm，n ，sin |co
4、sm，n| ，090，30.3.(2016泰州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为_.答案解析设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量 (2,2,1)， (0,2，1)，由向量的夹角公式得4.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_.答案解析5.P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的
5、大小为_.答案解析90题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一求异面直线所成的角题型一求异面直线所成的角例例1(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；证明(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解答用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.思维
6、升华跟跟踪踪训训练练1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.答案解析90连结D1M，在正方形DCC1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，DND1M，又A1D1平面D1C，DN平面D1C，DNA1D1，又A1D1D1MD1，DN平面A1D1M，又A1M平面A1D1M，A1MDN.即异面直线A1M与DN所成的角为90.题型二求直线与平面所成的角题型二求直线与平面所成的角例例2 (2016全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为
7、PC的中点.(1)证明MN平面PAB；证明(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解答利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.思维升华跟跟踪踪训训练练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是_答案解析题型三求二面角题型三求二面角例例3(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面O
8、BEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；证明几何画板展示几何画板展示(2)求二面角OEFC的正弦值；解答(3)设H为线段AF上的点，且AH HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.解答利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.思维升华跟跟踪踪训训练练3如图(1)，正方形ABCD的边
9、长为1，M，N分别是边AD，BC上的点，MN与AB平行，且与AC交于点O.若将四边形ABCD沿MN折成直二面角AMNC(如图(2)，则二面角CAOB的平面角的正弦值是_图(1) 图(2)答案解析题型四求空间距离题型四求空间距离(供选用供选用)例例4如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB ，求点A到平面MBC的距离.解答求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；(2)等体积法；(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.思维升华跟跟踪踪训训练练4(2016四川成都外国语学校月考)如图所示
10、，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD ，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；解答(2)求B点到平面PCD的距离；解答 (1，1，1)，设平面PCD的法向量为u(x，y，z)，取z1，得u(1,1,1).则B点到平面PCD的距离d .(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.解答典典例例(16分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.(1)证明：B
11、EDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值.利用空间向量求解空间角答题模板系列答题模板系列6规范解答答题模板课时课时作作业业1.(2017苏北四市联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_.答案解析建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2).所以 (1,0,2)， (1,2,1).所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 .123456789101112132.(2016徐州模拟)二面角
12、的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD ，则该二面角的大小为_.答案解析60123456789101112133.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_.答案解析123456789101112134.(2016盐城模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_.答案解析123456789101112135.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D
13、1中，AB2，CC1 ，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BDE的距离为_.答案解析1123456789101112136.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为_.答案解析123456789101112137.(2016无锡模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.答案解析123456789101112138.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等
14、于_.答案解析123456789101112139.(2016连云港模拟)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为_.答案解析1234567891011121310.(2016南京、无锡联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；证明如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.ABAA1，BAA160.AA1B为等边三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，ABA1C.1234
15、5678910111213(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.解答1234567891011121311.(2016扬州模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F2FE.(1)证明：平面DFC平面D1EC；证明12345678910111213(2)求二面角ADFC的大小.证明1234567891011121312.(2016四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；解答12345678910111213(2)若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解答12345678910111213*13.(2016盐城模拟)如图，边长为 的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直.已知ABCD，ABBC，DCBC AB1，点M在线段EC上.(1)证明：平面BDM平面ADEF；证明12345678910111213(2)判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成的锐二面角为 .解答12345678910111213
