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1、西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程本章中心内容 第第3 3章章 Bessel 函数函数 求解多个自变量的方程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解
2、法西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程. f (x) 称称为为自自由由项项，当当 f (x) 0 时时，称称为为二二阶阶线线性性非非齐齐次次微分方程微分方程， 简称简
3、称二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程. . 当当 f (x) 恒恒为为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程， 简简称称二二阶阶线线性性齐次方程齐次方程. 方方程程中中 p(x)、 q(x) 和和 f (x) 都都是是自自变变量量的已知连续函数的已知连续函数. 这这类类方方程程的的特特点点是是：右右边边是是已已知知函数或零，左边每一项含函数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y， 且且每每项项均均为为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项， 例例如如 y + + xy + + y = x2 就就是是二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程. 而而 y + + x(
4、y )2 + + y = x2 就就不不是是二阶线性方程二阶线性方程.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程定定理理 1如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是线线性性齐齐次次方方程程的的两个解，两个解，y = C1 y1 + + C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，其中其中 C1， C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章
5、贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程定定义义设设函函数数 y1(x) 和和 y2(x) 是是定定义义在在某某区区间间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x) + + k2 y2(x) = 0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关， 我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 事事实实上上，当当 y1(x) 与与 y2(x) 线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1 + + k2 y2 = 0， 其其中中 k1, k2 不全为不全为 0，如果存在
6、两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2， 使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x) 与与 y2(x) 在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数. 反反之之，若若y1 与与 y2 之之比比为为常常数数，则则 y1 = l l y2，即，即 y1 - - l l y2 = 0.
7、所以所以 y1 与与 y2 线性相关线性相关. 因因此此，如如果果两两个个函函数数的的比比是是常常数数，则则它它们们线性相关；线性相关；例例如如函函数数 y1 = ex，y2 = e - -x，所以，它们是线所以，它们是线性无关的性无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y + p(x)y + q(
8、x)y = 0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y = C1 y1 + C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，则则其中其中 C1, C2为任意常数为任意常数.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程定理定理 3如果函数如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个是线性非齐次方程的一个特解，特解，y = Y + y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
9、则西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：( (1) ) 求求线线性性齐齐次次方方程程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的的线线性无关的两个特解性无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.( (2) ) 求求线线性性非非齐齐次次方方程程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解的一个特解
10、 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，数，故故 y = Y + y* 中含有两个任意常数中含有两个任意常数. 即即 y = Y + y* 是线性非齐次方程是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解的通解.这说明函数这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝
11、塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)则则是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解
12、法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y + py + qy = f(x) ，其中其中 p、 q 均为常数，均为常数， 则则称称该该方方程程为为二二阶阶常常系系数数线线性微分方程性微分方程.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程设二阶常系数线性齐次方程为设二阶常系数线性齐次方程为y + py + qy = 0 .考虑到左边考虑到左边 p，q 均为常数，均为常数， 我我们们可可
13、以以猜猜想想该该方方程程具有具有 y = erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 为待定常数为待定常数. 将将 y = rerx, y = r2erx 及及 y = erx 代入上式，代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1 1. . . .二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 满足方程满足方程r2 + pr + q = 0，即即 r 是上述一元二次方程的根时，是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是就是式的解式的解.方程方程称为方程称为方程的的
14、特征方程特征方程. 特征方特征方程根称为程根称为特征根特征根.得得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 1求方程求方程 y - - 2y - - 3y = 0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2 - - 2r 3 = 0, 它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1 = - - 1， r2 = = 3, 其其对对应应的的两两个个线线性性无无关的特解为关的特解为 y1 = e- - x 与与 y2 = e3x,所所以
15、以方方程程的的通通解解为为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 2求求方方程程 y - - 4y + + 4y = 0 的的满满足足初初始始条条件件 y(0) = 1， y (0) = 4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2 - - 4r + + 4 = 0，求得求得求得求得将将 y(0) = 1，y (0) = 4 代入上两式，得代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + + 2x)e2x. 其
16、其对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解为为 y1 = e2x 与与 y2 = xe2x，所以通解为所以通解为所以通解为所以通解为因此，所求特解为因此，所求特解为 它它有有重根重根 r = 2.西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 3求方程求方程 2y + + 2y + + 3y = 0 的通的通解解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 2r2 + + 2r + + 3 = 0，它它有共轭复根有共轭复根对对应应的的两两个个线
17、线性性无无关关的的解解为为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 4求方程求方程 y + + 4y = 0 的通解的通解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 r2 + + 4 = 0，它它有有共共轭轭复根复根 r1,2 = 2i. 即即 = 0，b b = 2. 对对应应的的两两个个线线性性无关的解无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解
18、为所以方程的通解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 2 2. . . .二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自自由由项项 f (x) 为为多多项项式式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 为为 x 的的 n 次多项式次多项式. 当原方程当原方程 中中 y
19、 项的系数项的系数 q 0 时时， k 取取 0；当当 q = 0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p = 0， q = 0 时，时，k 取取 2. 因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x) 与与 Pn(x) 是同次多项式，是同次多项式，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 5求方程求方程 y - - 2y + y
20、= x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的系数的系数 q = 1 0，取，取 k = 0 . 所以设特解为所以设特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有解得解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解为故所求特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学
21、 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 6求方程求方程 y + + y = x3 x + + 1 的一个特的一个特解解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x3 x + + 1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的的系系数数 q = 0， p = 1 0，取取 k = 1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章
22、贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程比较两端比较两端 x 同次幂的系数：同次幂的系数：解得解得故所求特解为故所求特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程2 自由项自由项 f (x) 为为 Ae x 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Ae x，其中其中 ，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数，且指数函数的导数仍为
23、指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数， 当当 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时的根时，取取 k = 0；当当 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k = 1； 当当 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k = 2.因此，我们可以设因此，我们可以设 的特解的特解西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 7求方程求方程 y + + y
24、 + y = 2e2x 的通解的通解.解解 = = 2 它它不不是是特特征征方方程程 r2 + r + 1 = 0 的的根根，取取 k = 0，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为.B72= =西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 8求方程求方程 y + + 2y - - 3y = ex 的特解的特解.解解 = = 1 是是特特征征方方程程 r2 + 2r - - 3 = 0 的的单单根根
25、，取取 k = 1，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为,41= =B西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程3 自由项自由项 f (x) 为为 e x (Acos w wx + Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = e x (Acos w wx + Bsin w wx)，其中其中 ，A ，B 均为常数均为常数.由由于于
26、 p，q 为为常常数数，且且指指数数函函数数的的各各阶阶导导数数仍仍为指数函数，为指数函数， 正正弦弦函函数数与与余余弦弦函函数数的的导导数数也也总总是是余弦函数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此, 我们可以设我们可以设 有特解有特解其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k = 0， 是根时是根时，取取 k = 1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D. 当当 + w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝
27、塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 9求方程求方程 y + + 3y - - y = ex cos 2x 的一个特的一个特解解.解解自自由由项项 f (x) = ex cos 2x 为为 e x( (Acosw wx + Bsinw wx) ) 型的函数，型的函数，则则 且且 + + w wi = 1 + + 2i，它不是对应的，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + + 3r 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，所以设特解为，所以设特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学
28、院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程代入原方程，得代入原方程，得比较两端比较两端 cos 2x 与与 sin 2x 的系数，得的系数，得解此方程组，得解此方程组，得故所求特解为故所求特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 10求方程求方程 y + + y = sin x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f (x) = sin x 为为 e x(Acosw
29、 wx + Bsinw wx) 型的函数，型的函数，且且 = 0，w w = 1，则则代入原方程，得代入原方程，得 且且 + + w wi = i 是是特特征征方程方程 r2 + 1 = 0 的根，的根，取取 k = 1，所以，设特解为，所以，设特解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程比较两端比较两端 sinx 与与 cosx 的系数，得的系数，得故原方程的特解为故原方程的特解为而对应齐次方程而对应齐次方程 y + + y = 0 的通解为的
30、通解为Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解为故原方程的通解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例 11方程方程 y + + 4y = x +1 + sinx 的通解的通解.解解自由项自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成可以看成 f1 (x) = x +1 和和 f2 (x) = sin x 之和，之和，y + + 4y = x +1，y + + 4y = sin x .和和方程方程 的特解易求得，的特解易
31、求得，设方程设方程 的特解为的特解为的特解的特解.所以分别求方程所以分别求方程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程代入代入，得得3Asin x = sin x. .所以所以得原方程的特解得原方程的特解西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程原方程所对应的线性齐次方程为原方程所对应的线性齐次方程为 y
32、 + + 4y = 0，其通解为，其通解为Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解为故原方程的通解为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程二、变系数线性方程的幂级数解法二、变系数线性方程的幂级数解法二、变系数线性方程的幂级数解法二、变系数线性方程的幂级数解法 定理定理定理定理1 1 1 1 考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程
33、 y + p(x)y +q(x)y= 0 (3)如果如果如果如果p(x)、q(x)在在在在x0的邻域的邻域的邻域的邻域解析，即在解析，即在解析，即在解析，即在邻域可展成邻域可展成邻域可展成邻域可展成TaylorTaylorTaylorTaylor级数，则方程（级数，则方程（级数，则方程（级数，则方程（3 3 3 3）有如下形式的解析解）有如下形式的解析解）有如下形式的解析解）有如下形式的解析解其中其中其中其中可由待定系数法求出。可由待定系数法求出。可由待定系数法求出。可由待定系数法求出。 例例例例12 12 12 12 求解下列方程求解下列方程求解下列方程求解下列方程西安交通大学西安交通大学西
34、安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 解解解解 （1 1 1 1）根据定理，可设解为）根据定理，可设解为）根据定理，可设解为）根据定理，可设解为 将该级数求一阶和二阶导数并将将该级数求一阶和二阶导数并将将该级数求一阶和二阶导数并将将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y (x)和和 y (x)代入到原方程代入到原方程或或或或系数全为零系数全为零系数全为零系数全为零此即此即此即此即可得可得可得可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学
35、院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程此题中此题中此题中此题中得得得得将上面的结果代入到将上面的结果代入到将上面的结果代入到将上面的结果代入到，它们都是，它们都是，它们都是，它们都是R R R R上的解析函数。根上的解析函数。根上的解析函数。根上的解析函数。根据定理，可设据定理，可设据定理，可设据定理，可设。将次级数带入原方程，可得。将次级数带入原方程，可得。将次级数带入原方程，可得。将次级数带入原方程，可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三
36、章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程或或或或又又又又代入到（代入到（代入到（代入到（5 5 5 5），可得），可得），可得），可得展开可得展开可得展开可得展开可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程系数全为零，可得系数全为零，可得系数全为零，可得系数全为零，可得代入，可得代入，可得代入，可得代入，可得练习：用幂级数方法解方程练习：用幂级数方法解方程练习：用幂级数方法解方程练习：用幂级数方法解方程西安交通大学
37、西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 定理定理定理定理2 2 2 2 考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程考虑下面的二阶变系数线性常微分方程 y + p(x)y +q(x)y= 0 (5)如果如果如果如果（ x- - x0 0 ）p(xp(x) )、 （ x x- - - - x x0 0 0 0 ）q q(x(x) )在在在在x0的邻域的邻域的邻域的邻域解析，即解析，即解析，即解析，即在在
38、在在x x x x0 0 0 0最多为最多为最多为最多为p(xp(xp(xp(x) ) ) )和和和和q q q q(x)(x)(x)(x) 的一的一的一的一阶和二阶极点。则在该去心邻域阶和二阶极点。则在该去心邻域阶和二阶极点。则在该去心邻域阶和二阶极点。则在该去心邻域 方程方程方程方程（5 5 5 5） 有如下形式的级数解析解有如下形式的级数解析解有如下形式的级数解析解有如下形式的级数解析解其中其中其中其中， 可可可可由待定系数法求出。由待定系数法求出。由待定系数法求出。由待定系数法求出。西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学
39、院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程设设设设，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程称为称为称为称为r r r r阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel方程。方程。方程。方程。r r r r阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel方程可以写成方程可以写成方程可以写成方程可以写成利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到令令令令其中其中其中其中和和和和为待定常数为待定常数为待定常数为待定常数
40、。例如例如西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 第二节第二节第二节第二节 BesselBesselBesselBessel函数函数函数函数一、一、一、一、 函数函数函数函数记记记记为为为为函数。它对任意函数。它对任意函数。它对任意函数。它对任意有定义，该广义积分收敛。有定义，该广义积分收敛。有定义，该广义积分收敛。有定义，该广义积分收敛。其具有下面两条性质其具有下面两条性质其具有下面两条性质其具有下面两条性质证证证证西安交通大学西安交通大学西安
41、交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程下面求下面求下面求下面求，令，令，令，令并记并记并记并记利用极坐标变换可得利用极坐标变换可得利用极坐标变换可得利用极坐标变换可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程所以所以所以所以利用性质还可得到利用性质还可得到利用性质还可得到利用性质还可得到西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通
42、大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程延拓问题，将定义域延拓到延拓问题，将定义域延拓到延拓问题，将定义域延拓到延拓问题，将定义域延拓到例如，当例如，当例如，当例如，当时，定义时，定义时，定义时，定义则则则则在区间（在区间（在区间（在区间（-1,0-1,0-1,0-1,0）有定义。类似可以定义）有定义。类似可以定义）有定义。类似可以定义）有定义。类似可以定义在区间在区间在区间在区间（-2-2-2-2，-1-1-1-1）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（）上的值，如此继续下去，可以扩充
43、到整个实轴（）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（去掉负实数点集），其图象如下：去掉负实数点集），其图象如下：去掉负实数点集），其图象如下：去掉负实数点集），其图象如下：西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 例例例例1 1 1 1 计算下列积分计算下列积分计算下列积分计算下列积分 解解解解 （1 1 1 1）西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计
44、学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程二、二、二、二、 BesselBesselBesselBessel方程和方程和方程和方程和BesselBesselBesselBessel函数函数函数函数设设设设，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程，二阶线性常微分方程称为称为称为称为r r r r阶阶阶阶BesselBesselBess
45、elBessel方程。方程。方程。方程。r r r r阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel方程可以写成方程可以写成方程可以写成方程可以写成利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到利用幂级数解法，待定系数，注意到令令令令其中其中其中其中和和和和为待定常数。将（为待定常数。将（为待定常数。将（为待定常数。将（3 3 3 3）代入（）代入（）代入（）代入（1 1 1 1），有），有），有），有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函
46、函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程有有有有即即即即西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程整理，有整理，有整理，有整理，有有有有有即即即即比较比较比较比较前面的系数，可得前面的系数，可得前面的系数，可得前面的系数，可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程由于由于由于由于，故有，故
47、有，故有，故有 首先取首先取首先取首先取则由（则由（则由（则由（4 4 4 4）可得）可得）可得）可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程如果选取如果选取如果选取如果选取，则有，则有，则有，则有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程代入到代入到代入到代入到得到原方程的一个解得到原方程的一个解得到原
48、方程的一个解得到原方程的一个解此函数称为此函数称为此函数称为此函数称为r r r r阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel函数，通常记函数，通常记函数，通常记函数，通常记如果如果如果如果则由（则由（则由（则由（4 4 4 4）式）式）式）式西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程可得可得可得可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数
49、数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程如果选取如果选取如果选取如果选取，则有，则有，则有，则有代入到代入到代入到代入到得到原方程的另一个解得到原方程的另一个解得到原方程的另一个解得到原方程的另一个解西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程此函数称为此函数称为此函数称为此函数称为-r-r-r-r阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel函数，通常记函数，通常记函数，通常记函数，通常记注注注注1 1 1 1 当当当当r r r
50、 r为正整数时，例如为正整数时，例如为正整数时，例如为正整数时，例如，取，取，取，取此时此时此时此时。当。当。当。当时时时时的系数等于零。的系数等于零。的系数等于零。的系数等于零。此时求解此时求解此时求解此时求解 失效。失效。失效。失效。特别特别特别特别r=mr=mr=mr=m时为正整数，求时为正整数，求时为正整数，求时为正整数，求要用到上面的式子。要用到上面的式子。要用到上面的式子。要用到上面的式子。当当当当r=mr=mr=mr=m，注意到，当，注意到，当，注意到，当，注意到，当 时，时，时，时，所以，所以，所以，所以，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统
51、计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程中幂级数部分的系数，当中幂级数部分的系数，当中幂级数部分的系数，当中幂级数部分的系数，当时为零，在时为零，在时为零，在时为零，在中带入中带入中带入中带入r=mr=mr=mr=m，就得到，就得到，就得到，就得到所以，对所有的实数所以，对所有的实数所以，对所有的实数所以，对所有的实数r r r r，都有意义。都有意义。都有意义。都有意义。 注注注注2 2 2 2 记记记记表达式中幂级数部分的系数为表达式中幂级数部分的系数为表达式中幂级数部分的系数为表达式中幂级数部分的系数为，直接计算
52、，直接计算，直接计算，直接计算可得可得可得可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程即即即即表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。类似可证类似可证类似可证类似可证表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。因此，因此，因
53、此，因此，中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。 注注注注3 3 3 3 注意到注意到注意到注意到 在在在在x=0x=0x=0x=0右连续而右连续而右连续而右连续而在在在在x=0x=0x=0x=0的邻域无界，的邻域无界，的邻域无界，的邻域无界，故当故当故当故当r0r0r0r0不等于整数时，不等于整数时，不等于整数时，不等于整数时，是线性无关的，它们构成是线性无关的，它们构成是线性无关的，它们构成是线性无关的，它们构成原方程一个基解组。原方程一个基解组。原方程一个基解组。原方
54、程一个基解组。当当当当r=mr=mr=mr=m时，直接计算可得时，直接计算可得时，直接计算可得时，直接计算可得令令令令西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程n n n n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数 1 1 1 1 n
55、 n n n不为整数时，贝塞尔方程的通解不为整数时，贝塞尔方程的通解不为整数时，贝塞尔方程的通解不为整数时，贝塞尔方程的通解和和和和线性无关线性无关线性无关线性无关n n n n阶第二类贝塞尔函阶第二类贝塞尔函阶第二类贝塞尔函阶第二类贝塞尔函数（数（数（数（NeumannNeumann函数）函数）函数）函数） n n n n为整数时为整数时为整数时为整数时2 2 2 2 n n n n为整数时，贝塞尔方程的通解为整数时，贝塞尔方程的通解为整数时，贝塞尔方程的通解为整数时，贝塞尔方程的通解西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第
56、第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程A A A A、B B B B为任意常数，为任意常数，为任意常数，为任意常数，n n n n为任意实数为任意实数为任意实数为任意实数西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质1 1 1 1 有界性有界性有界性有界性 性质性质性质性质2 2 2 2 奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性 三三三三 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质当当当当n
57、 n为正整数时为正整数时为正整数时为正整数时 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质3 3 3 3 递推性递推性递推性递推性 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例例例1 1 1 1 求下列微积分求下列微积分求下列微积分求下列微积分西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学
58、 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质4 4 4 4 初值初值初值初值 性质性质性质性质5 5 5 5 零点零点 有无穷多个对称分布的零点有无穷多个对称分布的零点有无穷多个对称分布的零点有无穷多个对称分布的零点 和和和和 的零点相间分布的零点相间分布的零点相间分布的零点相间分布 的零点趋于周期
59、分布的零点趋于周期分布的零点趋于周期分布的零点趋于周期分布， 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质6 6 6 6 半奇数阶的贝塞尔函数半奇数阶的贝塞尔函数半奇数阶的贝塞尔函数半奇数阶的贝塞尔函数 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质7 7 7 7 大宗量近似大宗量
60、近似大宗量近似大宗量近似 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程性质性质性质性质8 8 8 8 正交性正交性正交性正交性 贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数 的模的模的模的模西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例例例2 2 2 2：证明证明证明证明 的解为的解为的解为的解为 西安交通大学西
61、安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程四、四、四、四、 BesselBesselBesselBessel方程的特征值问题方程的特征值问题方程的特征值问题方程的特征值问题前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子，带有不同边界条件下的特征值问题。而，带有不同边界条件下的特征值问题。而，带有不同边界条件下的特征值问题。而，带
62、有不同边界条件下的特征值问题。而，相当于二阶线性微分算子，相当于二阶线性微分算子，相当于二阶线性微分算子，相当于二阶线性微分算子在一维的情形，当空间变量为在一维的情形，当空间变量为在一维的情形，当空间变量为在一维的情形，当空间变量为二维时，在直角坐标系下，二维时，在直角坐标系下，二维时，在直角坐标系下，二维时，在直角坐标系下，. . . .在极坐标下，直接计算在极坐标下，直接计算在极坐标下，直接计算在极坐标下，直接计算可得可得可得可得二阶线性微分算子二阶线性微分算子二阶线性微分算子二阶线性微分算子在圆域上的特征值问题即为在圆域上的特征值问题即为在圆域上的特征值问题即为在圆域上的特征值问题即为边
63、界条件为边界条件为边界条件为边界条件为DirecletDirecletDirecletDireclet边界条件，或者边界条件，或者边界条件，或者边界条件，或者NewumannNewumannNewumannNewumann边界条件边界条件边界条件边界条件. . . .下面利用分离变量法求解下面利用分离变量法求解下面利用分离变量法求解下面利用分离变量法求解（1 1 1 1）. . . .西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程令令令令，并将其带入到（
64、，并将其带入到（，并将其带入到（，并将其带入到（1 1 1 1），有），有），有），有变形为变形为变形为变形为即即即即故有故有故有故有对（对（对（对（2 2 2 2），有定理），有定理），有定理），有定理定理定理定理定理 对（对（对（对（2 2 2 2），其特征值和特征函数为），其特征值和特征函数为），其特征值和特征函数为），其特征值和特征函数为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程将将将将代入到（代入到（代入到（代入到（3 3 3 3）中，得到
65、）中，得到）中，得到）中，得到方程（方程（方程（方程（4 4 4 4）结合一定边界条件便是）结合一定边界条件便是）结合一定边界条件便是）结合一定边界条件便是BesselBesselBesselBessel方程特征值问题。方程特征值问题。方程特征值问题。方程特征值问题。 考虑考虑考虑考虑DirecletDirecletDirecletDireclet边界条件下边界条件下边界条件下边界条件下n n n n阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel方程特征值问题方程特征值问题方程特征值问题方程特征值问题其中其中其中其中是一个正常数，是一个正常数，是一个正常数，是一个正常数，n n n
66、n为非负数，为非负数，为非负数，为非负数， 为待定常数，称为为待定常数，称为为待定常数，称为为待定常数，称为（5 5 5 5）的特征值，而相应于的特征值，而相应于的特征值，而相应于的特征值，而相应于的非零解称为（的非零解称为（的非零解称为（的非零解称为（5 5 5 5）的特征函数。）的特征函数。）的特征函数。）的特征函数。 对于对于对于对于BesselBesselBesselBessel方程特征值问题（方程特征值问题（方程特征值问题（方程特征值问题（5 5 5 5），有如下定理），有如下定理），有如下定理），有如下定理 定理定理定理定理1 1 1 1 设设设设n n n n为非负整数，为非负整
67、数，为非负整数，为非负整数，为为为为的第的第的第的第m m m m个正个正个正个正零点，即零点，即零点，即零点，即的正根，的正根，的正根，的正根， 则（则（则（则（5 5 5 5）的特征值和特征函数分）的特征值和特征函数分）的特征值和特征函数分）的特征值和特征函数分别为别为别为别为西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程特征函数系特征函数系特征函数系特征函数系关于权函数关于权函数关于权函数关于权函数是正交的，且有是正交的，且有是正交的，且有是正交的
68、，且有其中其中其中其中 证明证明证明证明 1.1.1.1.证明特征值非负。证明特征值非负。证明特征值非负。证明特征值非负。 两边积分两边积分两边积分两边积分西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程由已知由已知由已知由已知，可得，可得，可得，可得即即即即所以可得所以可得所以可得所以可得 . . . . 2.2.2.2.求解特征值问题。求解特征值问题。求解特征值问题。求解特征值问题。 当当当当n=0n=0n=0n=0， 时，方程时，方程时，方程时，方程
69、 化为化为化为化为 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程其解为其解为其解为其解为 利用边界条件利用边界条件利用边界条件利用边界条件 可得可得可得可得 ，即，即，即，即，因此，因此，因此，因此不是特征值，不是特征值，不是特征值，不是特征值，即一切特征值都大于即一切特征值都大于即一切特征值都大于即一切特征值都大于0.0.0.0. 当当当当时，对原方程时，对原方程时，对原方程时，对原方程作自变量变换作自变量变换作自变量变换作自变量变换，方程化为，方程
70、化为，方程化为，方程化为记记记记则有则有则有则有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程n n n n阶阶阶阶BesselBesselBesselBessel方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为即即即即所以所以所以所以由由由由，可得，可得，可得，可得。又由。又由。又由。又由得得得得又又又又 ，所以，所以，所以，所以 为为为为 的正零点。故有的正零点。故有的正零点。故有的正零点。故有 代入代入代入代入并略去常数并略去常数并略去常数并略去常
71、数 得得得得 特征值特征值特征值特征值 特征函数特征函数特征函数特征函数西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程3.3.3.3.证明特征函数系证明特征函数系证明特征函数系证明特征函数系关于权系数关于权系数关于权系数关于权系数的正交性。的正交性。的正交性。的正交性。设设设设，则，则，则，则 分别满足如下方程分别满足如下方程分别满足如下方程分别满足如下方程和和和和有有有有或或或或积分，得积分，得积分，得积分，得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交
72、通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程即即即即关于权系数的关于权系数的关于权系数的关于权系数的正交性正交性正交性正交性。4.4.4.4.求求求求关于权系数关于权系数关于权系数关于权系数的平方模。的平方模。的平方模。的平方模。 记记记记. . . .并取并取并取并取使得使得使得使得。令。令。令。令则有则有则有则有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方
73、程程程程和和和和（7 7 7 7）和（）和（）和（）和（8 8 8 8）第一式分别具有下面的形式）第一式分别具有下面的形式）第一式分别具有下面的形式）第一式分别具有下面的形式和和和和同前同前同前同前相减有相减有相减有相减有即即即即西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程积分有积分有积分有积分有有有有有令令令令则有则有则有则有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞
74、塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程得证。得证。得证。得证。 定理定理定理定理 设设设设 在区间在区间在区间在区间 连续且有分段连续的一阶导连续且有分段连续的一阶导连续且有分段连续的一阶导连续且有分段连续的一阶导数，则在区间数，则在区间数，则在区间数，则在区间上，上，上，上，可按可按可按可按展成如下的展成如下的展成如下的展成如下的Fourier-BesselFourier-BesselFourier-BesselFourier-Bessel级数级数级数级数其中，其中，其中，其中，西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学
75、院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例例例3 3 3 3：将将将将1 1 1 1在在在在 区间内展成区间内展成区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式的级数形式的级数形式 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例4 4：将将x在在0x2区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计
76、学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例5 5：将将 在在0x1区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式 西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程 第三节第三节第三节第三节 多个自变量分离变量例子多个自变量分离变量例子多个自变量分离变量例子多个自变量分离变量例子例例例例3.123.123.123.12 设圆柱体为设圆柱体为设圆柱体为设圆柱体为，若其边界温度为，若其边界温度为，若其边界温度为，若其边
77、界温度为0 0 0 0，初始温度为初始温度为初始温度为初始温度为，且，且，且，且只与只与只与只与求圆柱体内的温度分布求圆柱体内的温度分布求圆柱体内的温度分布求圆柱体内的温度分布 . . . .有关且有界有关且有界有关且有界有关且有界解解解解 记记记记，则，则，则，则u u u u满足以下定解问题满足以下定解问题满足以下定解问题满足以下定解问题由于初始条件只与由于初始条件只与由于初始条件只与由于初始条件只与有关，边界条件为齐次边界条件，有关，边界条件为齐次边界条件，有关，边界条件为齐次边界条件，有关，边界条件为齐次边界条件，故可推知故可推知故可推知故可推知 , , , ,圆柱体内以圆柱体内以圆柱
78、体内以圆柱体内以z z z z轴为中心的圆柱面上温度相同，即轴为中心的圆柱面上温度相同，即轴为中心的圆柱面上温度相同，即轴为中心的圆柱面上温度相同，即u u u u只与只与只与只与和和和和t t t t有关，而与有关，而与有关，而与有关，而与z z z z和和和和无关，故有无关，故有无关，故有无关，故有西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程对定解问题（对定解问题（对定解问题（对定解问题（3.3.93.3.93.3.93.3.9）-(3.3.11)
79、,-(3.3.11),-(3.3.11),-(3.3.11),做自变量变换做自变量变换做自变量变换做自变量变换并注意到并注意到并注意到并注意到u u u u与与与与无关，直接计算可得无关，直接计算可得无关，直接计算可得无关，直接计算可得下面利用分离变量法求解问题（下面利用分离变量法求解问题（下面利用分离变量法求解问题（下面利用分离变量法求解问题（3.3.123.3.123.3.123.3.12）- (3.3.14)- (3.3.14)- (3.3.14)- (3.3.14)。令。令。令。令并代入到（并代入到（并代入到（并代入到（3.3.123.3.123.3.123.3.12）中得）中得）中得
80、）中得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程由此得由此得由此得由此得 由该问题的物理意义可知函数由该问题的物理意义可知函数由该问题的物理意义可知函数由该问题的物理意义可知函数u u有界，从而有界，从而有界，从而有界，从而| | | |u(0,t)u(0,t)| | | |有界。有界。有界。有界。由此可推出由此可推出由此可推出由此可推出R R R R应满足自然边界条件应满足自然边界条件应满足自然边界条件应满足自然边界条件结合边界条件（结合边界条件（
81、结合边界条件（结合边界条件（3.3.133.3.133.3.133.3.13）可得定解问题（）可得定解问题（）可得定解问题（）可得定解问题（3.3.123.3.123.3.123.3.12）-（3.3.143.3.143.3.143.3.14）的特征值问题为）的特征值问题为）的特征值问题为）的特征值问题为结合边界条件（结合边界条件（结合边界条件（结合边界条件（3.3.163.3.163.3.163.3.16）是贝塞尔函数特征值问题（）是贝塞尔函数特征值问题（）是贝塞尔函数特征值问题（）是贝塞尔函数特征值问题（3.3.143.3.143.3.143.3.14）中中中中n=0, n=0, n=0,
82、 n=0, 的特殊情形。由定理的特殊情形。由定理的特殊情形。由定理的特殊情形。由定理3.33.33.33.3可得可得可得可得西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程将将将将代入到代入到代入到代入到中并求解得中并求解得中并求解得中并求解得从而从而从而从而在（在（在（在（3.3.173.3.173.3.173.3.17）中令）中令）中令）中令t=0t=0t=0t=0，并结合初始条件（，并结合初始条件（，并结合初始条件（，并结合初始条件（3.3.143.
83、3.143.3.143.3.14）得）得）得）得其中其中其中其中将将将将代入到（代入到（代入到（代入到（3.3.173.3.173.3.173.3.17）中变得定解问题（）中变得定解问题（）中变得定解问题（）中变得定解问题（3.3.123.3.123.3.123.3.12）- - - - （3.3.143.3.143.3.143.3.14）的解。）的解。）的解。）的解。西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程例例6 6: :解下解下列定解问列定解问
84、题题西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程西安交通大学西安交通大学西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院数学与统计学院第第三三章章 贝贝塞塞尔尔函函数数数数数数学学学学物物物物理理理理方方方方程程程程
