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1、精 品 数 学 课 件2019 年 北 师 大 版1.2 1.2 函数的极值函数的极值一、教学目标：一、教学目标： 1 1、知识与技能：、知识与技能：理解函数极值的概念；理解函数极值的概念；会会求给定函数在某区间上的极值。求给定函数在某区间上的极值。 2 2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。数的极大值与极小值。 3 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：二、教学重点：函数极值的判定方法函数极值的判定方法 教学难点
2、：教学难点：函数极值的判定方法函数极值的判定方法三、教学方法：三、教学方法：探究归纳，讲练结合探究归纳，讲练结合一、复习一、复习: 利用函数的导数来研究利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为函数的单调性其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 f(x1). (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部可能在区间的内部,也可
3、能在区间的端点也可能在区间的端点. oaX1X2X3X4bxyoaX0bxyoaX0bxy求可导函数求可导函数f(x)的极值的极值 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.要注意以下两点要注意以下两点: (2)不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点. 例如函数例如函数y=|x|,它在点它在点x=0处不可导处不可导,但但x
4、=0是函数的是函数的极小值点极小值点. (1)可导函数可导函数的的极值点极值点一定是导数为一定是导数为零零的点的点,导数为导数为零零的点的点,不不一定是该函数的一定是该函数的极值点极值点. 例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是但它不是极值点极值点,例例1:求求y=x3/3 4x+4的极值的极值.解解:令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:x x(-,-(-,-2)2)-2-2(-(-2,2)2,2)2 2(2,+)(2,+) y y + +0 0- -0 0+ +Y Y极大值极大值28/328/
5、3极小值极小值-4/3-4/3因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(2).求导数求导数(3).求方程求方程 的根的根.(4)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果如果左正右负左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值值;(1)求函数的定义域求函数的定义域例、例、 (-,-(-,-1)1)-1 -1 (-1,0)(-1,0)0 0(0,1)(0,1)1 1(1,
6、+(1,+) )f f/ /(x)(x) f(x)f(x)000-+减减减减增增增增101 导数为零的点不一定是极值点！导数为零的点不一定是极值点！x=-1, x=0,x=1;x=-1, x=0,x=1;当当x=0x=0是函数极小值点是函数极小值点y=0.y=0.练习练习:求函数求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(-,-a)-a(-a,0)(0,a)A(a,+)f(x)+0-0+f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极
7、大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念与最值是完全不同的两个概念.练习练习:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:x x(-,-(-,-1)1)-1-1(-(-1,1)1,1)1 1(1,+(1,+) ) y y- -0 0+ +0 0- -y y极小值极小值-3-3 极大值极大值3 3因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值
8、,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.1.1.用导数来确定函数的极值步骤：用导数来确定函数的极值步骤：(1)先求函数的导数先求函数的导数 f / (x)；(2)再求方程再求方程 f /(x) = 0 的根；的根；(3)列出导函数值符号变化规律表；列出导函数值符号变化规律表；(4)(4)利用从利用从+ + 、0 0、- - 判断函数极大值；判断函数极大值； 利用从利用从- - 、0 0、+ + 判断函数极小值；判断函数极小值； (-,a) a(a,b)b(b, +)f(x)符号 f (x) 增函数增函数+ + +- -0 00 0
9、增函数增函数减函数减函数极大值极大值极小值极小值四、本课总结四、本课总结: : 2.2.函数的极值注意事项：函数的极值注意事项：(4) (4) 函数的不可导点也可能是极值点函数的不可导点也可能是极值点; ;(5) (5) 可导函数的极值点一定是使导函数为可导函数的极值点一定是使导函数为0 0的点的点; ;(2) (2) 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的的, ,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值, , 不唯一不唯一! !(3) (3) 极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大! ! (1) (1) 导数为零的点不一定是极值点！导数为零的点不一定是极值点！
