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1、习题课习题课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 第七章 第七章第七章 微分方程微分方程1基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应
2、项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容2微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非全全微微分分方方程程非非变变量量可可分分离离幂级数解法幂级数解法降降降降阶阶阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子31 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数
3、的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 4通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的
4、条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题5(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2) 齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换6齐次方程齐次方程（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程7(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为
5、（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法8非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.9解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程其中其中形如形如(6) 全微分方程全微分方程10注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为11(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如12公式法公式法: :观察法观察法: :熟记常见函数的全
6、微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子积分因子13常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用积分因子可选用积分因子143 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得15特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :16（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :1718、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶
7、常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.19特征方程为特征方程为20特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法21、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系
8、数法.22237 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)，24 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.8 8、幂级数解法、幂级数解法25二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为26代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为27例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示: (1)故为
9、分离变量方程:通解28方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 , ,用线性方程通解公式求解 .化为化为29方法方法 1 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 .30例3. 求下列方程的通解求下列方程的通解: :提示提示: : (1)令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为(贝努里方程) (分离变量方程)原方程化为31令 y = u t(齐次方程)令 t = x 1 , 则可分离变量方程求解化方程为32变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:33例例4 4解解原
10、式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程34代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法35例例5 5解解方程为全微分方程方程为全微分方程.36(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:故方程的通解为故方程的通解为37(2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为故方程的通解为故方程的通解为38(3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:故方程的通解为故方程的通解为39例例6 6解解非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合
11、为原方程重新组合为40故方程的通解为故方程的通解为41例7.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: : (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:42(2) 由一阶线性微分方程解的公式得于是 43例例8. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: : 如图所示建立坐标系. 设时刻
12、t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为44定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为( 齐次方程 )45例例9 9解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为46特征根 :例10. . 求微分方程求微分方程提示提示: :故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解 :代入方程定 A, B, 得得47处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:48例11.且满足方程提示提示: : 则问题化为解初值问题:最后求得49思考思考:
13、: 设提示提示: : 对积分换元 ,则有解初值问题: 答案:50的解. 例12.设函数内具有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)51代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 52由初始条件 得故所求初值问题的解为 53例例1313解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为54原方程的一个特
14、解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为55由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为56例例1414解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为57由由解得解得58故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即59例例1515解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得60（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为61解解例例1616这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程代入原方程得代入原方程得(1)62和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为(
15、2)(2)的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为(2)的通解为的通解为设设(1)的特解为的特解为63得得(1)的通解为的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为64例17. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星的初速度65代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 66为使因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这说明第二宇宙速度为 67求质点的
16、运动规例18. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数提示提示: :两边对 s 求导得:牛顿第二定律为 k), 开方如何定开方如何定 + + ? ?已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点68例19.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上, ,启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 .解解: : 建立坐标系如图.设在时刻 t , 链条较长一段下垂 x m ,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律, 得69由初始条件得故定解问题的解为解得当 x = 20 m 时,(s)微
17、分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的数学模型是什么 ?70摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为71练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y
18、 = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: : 建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意: 72初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得73备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解 . 解解: :故所给二阶非齐次方程为方程化为1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程74故再积分得通解复习: 一阶线性微分方程通解公式 75 2. (1) 验证函数满足微分方程(2) 利用(1)的结果求幂级数的和.解解: (1)(02考研考研)76所以(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为77代入初始条件可得故所求级数的和78测测 验验 题题7980818283848586测验题答案测验题答案8788
