《选修4-2-2变换的复合与二阶矩阵的乘法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修4-2-2变换的复合与二阶矩阵的乘法（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 二 节变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1.1.二阶矩阵的乘法及其性质二阶矩阵的乘法及其性质(1)(1)二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法(2)(2)二阶矩阵乘法的性质二阶矩阵乘法的性质设设A, ,B, ,C是任意的三个二阶矩阵是任意的三个二阶矩阵, ,结合律结合律( (AB) )C= _;= _;特别地：特别地：Ak kAl=_,(=_,(Ak k) )l=_;=_;矩阵的乘法不满足矩阵的乘法不满足_;_;矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律. .Ak+k+lAk kl交换律交换律A( (BC) )2.2.逆矩阵的定义、性质及其求法逆矩阵的定义、性质及其求法(1)(1)定义：设
2、定义：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得，使得_,_,则称矩阵则称矩阵A可逆，并称可逆，并称B是是A的逆矩阵的逆矩阵. .(2)(2)性质：性质：性质性质1:1:设设A是一个二阶矩阵是一个二阶矩阵, ,如果如果A是可逆的是可逆的, ,则则A的逆矩阵是的逆矩阵是_._.性质性质2:2:设设A, ,B是二阶矩阵是二阶矩阵, ,如果如果A, ,B都可逆都可逆, ,则则AB也可逆也可逆, ,且且( (AB) )-1-1=_.=_.BA= =AB= =E2 2唯一的唯一的B-1-1A-1-1(3)(3)求法求法: :二阶行列式：矩阵二阶行列式：矩阵 表达式表达式
3、_称为二阶行列称为二阶行列式，记作式，记作 _， 也称为二阶矩阵也称为二阶矩阵A的行列式，记为的行列式，记为| |A| |或或detdet A; ;求法：二阶矩阵求法：二阶矩阵 可逆，当且仅当可逆，当且仅当| |A|=ad-bc0.|=ad-bc0.当矩阵当矩阵 可逆时，可逆时，A-1-1= .= .ad-ad-bcbcad-ad-bcbc3.3.逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组(1)(1)定理定理: :如果关于变量如果关于变量x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组( (线性方程组线性方程组) ) 的系数矩阵的系数矩阵 可逆可逆, ,那么该方程组有唯一那么该方程组有唯一解解
4、_(2)(2)推论推论: :关于变量关于变量x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组 其中其中a,b,c,da,b,c,d是不全为零的常数是不全为零的常数, ,有非零解的充分必要条件是系数矩有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式阵的行列式_._.判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)设设 则则 ( )( )(2)(2)对于矩阵对于矩阵A, ,B, ,AB= =BA.( ).( )(3)(3)对于矩阵对于矩阵A, ,B, ,C, ,若若AC= =BC, ,则则A= =B. ( ). ( )(4)(4)每一个二阶矩阵都可逆每一个
5、二阶矩阵都可逆.( ).( )(5)(5)如果如果A, ,B都可逆，则都可逆，则AB也可逆也可逆.( ).( )【解析解析】(1)(1)错误错误. .由矩阵乘法的运算法则可知由矩阵乘法的运算法则可知. .(2)(2)错误错误. .矩阵的乘法运算不满足交换律矩阵的乘法运算不满足交换律. .(3)(3)错误错误. .矩阵的乘法运算不满足消去律矩阵的乘法运算不满足消去律. .(4)(4)错误错误. .当当| |A|=0|=0时矩阵不可逆时矩阵不可逆. .(5)(5)正确正确. .由可逆矩阵的性质知正确由可逆矩阵的性质知正确. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4
6、) (5) (5)考向考向1 二阶矩阵的乘法及其应用二阶矩阵的乘法及其应用【典例【典例1 1】在直角坐标系中，在直角坐标系中，OABOAB的顶点坐标的顶点坐标O(0,0)O(0,0)，A(2,0)A(2,0)， 求求OABOAB在矩阵在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵其中矩阵【思路点拨思路点拨】由矩阵由矩阵M, ,N先计算出先计算出MN；再分别计算出点；再分别计算出点O O，A A，B B在在MN的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积. .【规范解答规范解答】可知可知O O，A A，B B三点在矩阵三
7、点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为作用下变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(2,-1).O(0,0),A(2,0),B(2,-1).可知可知OABOAB的面积为的面积为1.1.【互动探究互动探究】在本题中，试求在矩阵在本题中，试求在矩阵NM的作用下变换所得的的作用下变换所得的图形的面积图形的面积. .【解析解析】可知可知O,A,BO,A,B三点在矩阵三点在矩阵NM的作用下变换所得的点分别为的作用下变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(0,-1)O(0,0),A(2,0),B(0,-1)，可知，可知OABOAB的面积为的面积为1.1.【拓展提升拓展提升】 矩阵的乘法运
8、算的关注点矩阵的乘法运算的关注点(1)(1)熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则, ,注意其用前矩阵的注意其用前矩阵的“行行”元素元素, ,与后矩阵的与后矩阵的“列列”元素相乘相加的特点元素相乘相加的特点. .(2)(2)二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质上是一致的上是一致的. .可以类比理解可以类比理解. .(3)(3)二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算, ,如矩阵的相等、逆矩如矩阵的相等、逆矩阵等相结合阵等相结合. .(4)(4)变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩
9、阵的乘法变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用. .【变式备选变式备选】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点A(0,0)A(0,0)，B(B(2,0)2,0)，C(C(2,1)2,1)设设k k为非零实数，矩阵为非零实数，矩阵 点点A A，B B，C C在矩阵在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为对应的变换下得到的点分别为A A1 1，B B1 1，C C1 1，A A1 1B B1 1C C1 1的面积是的面积是ABCABC的面积的的面积的2 2倍，求倍，求k k的值的值
10、【解析解析】由题设得由题设得可知可知A A1 1(0,0),B(0,0),B1 1(0,-2),C(0,-2),C1 1(k,-2).(k,-2).计算得计算得ABCABC的面积是的面积是1,A1,A1 1B B1 1C C1 1的面积是的面积是|k|,|k|,由题设知由题设知|k|=2|k|=21=2,1=2,所以所以k k的值为的值为-2-2或或2.2.考向考向2 2 逆矩阵的求法逆矩阵的求法【典例典例2 2】(2012(2012福建高考福建高考) )设曲线设曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1在矩阵在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为对应的变换作用下得到的曲线为x x
11、2 2+y+y2 2=1=1(1)(1)求实数求实数a a，b b的值的值. .(2)(2)求求A2 2的逆矩阵的逆矩阵. .【思路点拨思路点拨】首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于a,ba,b的关系式，从而求出的关系式，从而求出a,ba,b，即得矩阵，即得矩阵A，再计算，再计算A2 2及其逆矩及其逆矩阵阵. .【规范解答规范解答】(1)(1)设曲线设曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1上任一点上任一点P(x,yP(x,y) )在矩阵在矩阵A对应变换下的像是对应变换下的像是P(x,yP(x,y)，又点又点P(x,yP(x,y)
12、在在x x2 2+y+y2 2=1=1上，上，所以所以xx2 2+y+y2 2=1=1，即，即a a2 2x x2 2+(bx+y)+(bx+y)2 2=1,=1,整理得整理得(a(a2 2+b+b2 2)x)x2 2+2bxy+y+2bxy+y2 2=1.=1.依题意得依题意得因为因为a a0 0，所以，所以(2)(2)由由(1)(1)知，知，【拓展提升拓展提升】 求逆矩阵的两个方法求逆矩阵的两个方法(1)(1)待定系数法：设出矩阵待定系数法：设出矩阵A-1-1，再利用，再利用AA-1-1= =E2 2, ,列出方程组求列出方程组求相应的元素相应的元素. .(2)(2)公式法：先求出公式法：
13、先求出| |A| |，再代入公式，再代入公式A-1-1= = 【提醒提醒】逆矩阵求解公式的特点逆矩阵求解公式的特点将矩阵将矩阵A的所有元素均除以的所有元素均除以| |A| |后，后，a a1111与与a a2222互换，互换，a a1212与与a a2121变号变号. .【变式训练变式训练】已知在矩阵已知在矩阵 的作用下将直线的作用下将直线2x-y=32x-y=3变为其自身变为其自身. .(1)(1)求矩阵求矩阵A. .(2)(2)求矩阵求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵. .【解析解析】(1)(1)方法一：设方法一：设P(x,yP(x,y) )为直线为直线2x-y=32x-y=3上任意一点上任意一点,
14、 ,其在其在矩阵矩阵A A的作用下变为的作用下变为( (x,yx,y)，则，则代入代入2x-y=32x-y=3得：得：-(b+2)x+(2a-3)y=3.-(b+2)x+(2a-3)y=3.其与其与2x-y=32x-y=3完全一样，完全一样，方法二：在直线方法二：在直线2x-y=32x-y=3上任取两点上任取两点(2(2，1)1)和和(3(3，3)3)，即得点即得点(a-2,2(a-2,2b b+3),+3),将将(a-2,2b+3)(a-2,2b+3)和和(3a-3,3b+9)(3a-3,3b+9)分别代入分别代入2x-y=32x-y=3得得则矩阵则矩阵 (2)(2)因为因为 所以矩阵所以矩
15、阵A的逆矩阵为的逆矩阵为考向考向3 二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应用用【典例典例3 3】在平面直角坐标系中，设圆在平面直角坐标系中，设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2=1=1在在矩阵矩阵 对应的变换下得到曲线对应的变换下得到曲线F F所围成的所围成的面面积积为为4.4.(1)(1)求求k k的值的值.(2)(2)求矩阵求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵. .【思思路路点拨点拨】 (1 (1) )表示出表示出曲曲线线F F的方程的方程, ,根根据所围成图形的面积据所围成图形的面积列关于列关于k k的方程求的方程求解解. .(2)(2)利用
16、矩阵利用矩阵A的行列式可求出的行列式可求出A-1-1. .【规范解答规范解答】(1)(1)设设P(x,yP(x,y) )是圆是圆C C上任意一点，点上任意一点，点P(x,yP(x,y) )在矩阵在矩阵A对应的变换下变为点对应的变换下变为点P(x,yP(x,y),), 点点P P在圆在圆C C上，上，曲线曲线F F的方程为的方程为(x-k)(x-k)2 2+(y-2k)+(y-2k)2 2=k=k2 2, ,曲线曲线F F是以是以k k为半径的圆，为半径的圆，kk2 2=4.=4.又又k k0,0,k=2.k=2.(2)(2)由由(1)(1)知知【拓展提升拓展提升】矩阵的基本运算与解题常规思路的
17、应用矩阵的基本运算与解题常规思路的应用(1)(1)利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运算算. .(2)(2)此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，因此要熟悉相关的解题、运算思路，即常规思路，这些方法、因此要熟悉相关的解题、运算思路，即常规思路，这些方法、思路的熟练运用是解决此类题目的保证思路的熟练运用是解决此类题目的保证. .【变式训练变式训练】(2012(201
18、2德化模拟德化模拟) )已知变换已知变换T T1 1是绕原点逆时针旋是绕原点逆时针旋转转 的旋转变换，对应的变换矩阵是的旋转变换，对应的变换矩阵是M1 1；变换；变换T T2 2对应的变换对应的变换矩阵是矩阵是 (1)(1)求点求点P(2,1)P(2,1)在变换在变换T T1 1作用下的点作用下的点PP的坐标的坐标. .(2)(2)求函数求函数y yx x2 2的图象依次在的图象依次在T T1 1，T T2 2变换的作用下所得曲线的变换的作用下所得曲线的方程方程【解析解析】 (1) (1)变换变换T T1 1是绕原点逆时针旋转是绕原点逆时针旋转 的旋转变换，故的旋转变换，故它对应的矩阵它对应的矩阵得点得点P(2,1)P(2,1)在在T T1 1作用下的点作用下的点PP的坐标是的坐标是P(P(1,2)1,2)(2)(2)设设 又设又设 是变换后图象上任一是变换后图象上任一点，点，与之对应的变换前的点是与之对应的变换前的点是由由 得所求曲线的方程是得所求曲线的方程是y yx xy y2 2
