《D104重积分的应用211实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D104重积分的应用211实用教案（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例例1. 1. 求半径求半径(bnjng)(bnjng)为为a a 的球面的球面与半顶角为与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体(lt)的体积.解: 在球坐标系下空间立体(lt)所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页第一页，共24页。二、曲面二、曲面(qmin)的面的面积积设光滑(gung hu)曲面则面积(min j) A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页第二页，共24页。故有曲面(qmin)面积公式若光滑(gung hu)曲面方程为
2、则有即机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第3页/共23页第三页，共24页。若光滑(gung hu)曲面方程为 若光滑(gung hu)曲面方程为隐式则则有且机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页第四页，共24页。例例2.计算计算(jsun)双双曲抛物面曲抛物面被柱面所截解: 曲面(qmin)在 xoy 面上投影为则出的面积(min j) A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页第五页，共24页。计算(j sun)(j sun)圆柱面 被圆柱面 所截的部分(b fen)(b fen)的面积解由对称性可知(k zh)A=8A1 A1 的方程
3、例3.3.第6页/共23页第六页，共24页。解解曲面(qmin)的方程为 第7页/共23页第七页，共24页。第8页/共23页第八页，共24页。三、物体三、物体(wt)的质心的质心设空间(kngjin)有n个质点,其质量(zhling)分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共23页第九页，共24页。将 分成(fn chn) n 小块,将第 k 块看作质量(zhling)集中于点例如(lr),令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体
4、的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页第十页，共24页。同理可得同理可得则得形心坐标：机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页第十一页，共24页。若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面(pngmin)薄片,(A 为 D 的面积(min j)得D 的形心坐标:则它的质心(zh xn)坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页第十二页，共24页。例例4.求位于求位于(wiy)两圆两圆和的质心(zh xn). 解: 利用(lyng)对称性可
5、知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页第十三页，共24页。四、物体四、物体(wt)的转动的转动惯量惯量设物体占有空间区域 , 有连续(linx)分布的密度函数该物体(wt)位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页第十四页，共24页。类似类似(lis)可得可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第15页/共23
6、页第十五页，共24页。如果物体是平面如果物体是平面(pngmin)薄片薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共23页第十六页，共24页。内容内容(nirng)小结：小结：转动惯量机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 形心坐标质心(zh xn)坐标曲面面积第17页/共23页第十七页，共24页。补充补充(bchng).计算二重积分计算二重积分其中(qzhng)D 是由曲所围成的平面(pngmin)域 .解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页第十八页，共24页。思考思
7、考(sko)1.证明(zhngmng)证: :左端= 右端机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页第十九页，共24页。思考思考(sko)2.设函数(hnsh) f (x) 连续且恒大于零, 其中(qzhng)(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共23页第二十页，共24页。解: (1) 因为(yn wi) 两边(lingbin)对 t 求导, 得机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共23页第二十一页，共24页。(2) 问题(wnt)转化为证
8、即证 故有因此(ync) t 0 时, 因机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容(nirng)总结例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的。处小切平面的面积 d A 无限积累而成.。例2. 计算双曲抛物面。出的面积 A .。设物体占有空间域 ,。将第 k 块看作质量集中于点。在第 k 块上任取一点。若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,。设物体占有空间区域 , 有连续分布(fnb)的密度函数。对 z 轴的转动惯量为。对 y 轴的转动惯量。补充. 计算二重积分。设函数 f (x) 连续且恒大于零,第二十四页，共24页。
