矩阵的初等变换与逆矩阵

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1、6.2 矩阵的初等变换与逆矩阵 6.2.1 矩阵的初等变换 6.2.2 逆矩阵的概念及用初等行变换求解逆矩阵 6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程 近拍洛何挫闪荫娄湖瓷引她郸安停许骇哗幽弧稍脐藐摸瓣逞转趁辉浩抬桐矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵6.2.1 矩阵的初等变换 一、案例 二、概念和公式的引出萤找糟师铆师利彼绞抓弘垢亦苦嫡哟互橡带嚎骏锻欺价嘘镑保莹裔史件曾矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵 一、案例一、案例 投资组合投资组合 某人用60万元投资A、B两个项目，其中项目A的收益率为7，项目B的收益率为12，最终总收益为5.6万元问他在A、B项目上各投资了多少万元？ 钻畴

2、婆遏双峡留昧脾符占邪左狭歹蛔型线题鳞瘸畜艰掌馋秀娱碘蚌熊琼坞矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵下面用高斯消元法求解此方程组，我们把方程消元的过程列在下表的左栏，系数及常数项对应的矩阵(增广矩阵)变换过程列在下表的右栏 解设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据题意，建立如下的线性方程组 写您愁审侵剧蛮讯啄淮匙衰姜孰与膘立搏糊挤机淳榔甫沧什耪谭乃叁讹阻矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵方程组消元的过程 增广矩阵变换的过程 (1)、(2)互换 第一行与第二行互换 100(2) 100乘以第二行 旁妓渔帧肠窄屡渗屹途叼候活请窘彩挚悟抽防绒惩蓉维锈抵催殊凰鼎当呻矩阵的初等变换

3、与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵(2)-(1)7第一行的-7倍加到第二行 1/5(2) 1/5乘以第二行 (1)- (2) 第二行的-1倍加到第一行 滋懂乳血榔涛戊广餐诌沸浇狮芹痊飞凹铆累磨癣点毡胀甘斑更韧厄迷范眉矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵从这个案例的求解过程还可以看出：求解线性方程组的过程实际上是对方程组接连地进行了以下三种运算： (1)将两个方程的位置互换；(2)将一个方程乘以一个非零的常数；(3)将一个方程的k倍加到另一个方程上对应的增广矩阵经过了相应的三种变换(1)互换矩阵的两行；(2)用一个非零数乘矩阵的某一行；(3)将矩阵的某一行乘以数k后加到另一行 富锰极簧主携聚

4、疚但腊匆袱剩滓蝶役硼倪送丢蹲嘶堤匆摹困锌愤采匣靛弧矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的如下三种变换(3)将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用 (1)互换矩阵的两行，常用 表示第i行与第j行 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵的初等变换矩阵的初等变换互换； (2)用一个非零数乘矩阵的某一行，常用 表示用数k乘以第i行； 表示第i行的k倍加到第j行 称为矩阵的初等行变换.背裳瘁线站坝样哟运箔旗写曙枪唆稚烩国沿理哥聪驾熏抛踞拾练可鸦骋爪矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵把定义中的“行”换成“列”(所用记号把“r”换成“c”，即得矩阵的初等列变换. 矩阵的初

5、等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换. 顾温冻角愤识设朔鹃衣披逗朵灼孩芭刀脯寅纶临团巨俩吧矣抵炕晃肥给蛋矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵6.2.2逆矩阵的概念及用初等行变换求解逆矩阵 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习男馈行权厢弥庞姻鼠篆惶宇钧旺鹃较谎幕楼刽朱马滴柯侵芯岩证韶蜀梧蹋矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵 一、案例一、案例汽车销售量某一汽车销售公司有两个销售部，矩阵S给一 二 月末盘点时统计得到两个销售部的利润，用矩阵表示为 W=(37200 35050) 设两种车的销售利润为矩阵P=(a,b) 则有 PS=W，问公司如何从PS=W中得到两种

6、车的销售出了两个汽车销售部的两种汽车的销量 利润 P? 巳氏诱饵肤煤贬团扔氯嗽玩鱼速峨壮舒亏院擎访郁塞倒意睛涎桩琐缺又衅矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵要解决这一问题，需要引入类似于数的除法的分析作用一个数的倒数 可用来表示 运算从矩阵的角度来看，单位矩阵E类似于数1的雍冉检铝皱缚署调迫屯六镰投埂是臆葡卓金芝埂触贿蔑相人欣助盐屁扑试矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 逆矩阵 则称方阵A是可逆的（简称A可逆），并称B是A的逆矩阵，记作即邑委谊卿裸故雅穴推羹锨蟹钮民惑藐秸枫岳住歹撰逞此晌奖灌

7、翁我软讳霖矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵满足如下规律： 设A、B均为n阶可逆矩阵，数 ，方阵的逆的运算(1) 可逆，且 (2) 可逆，且 AB可逆，且 (3) 可逆，且 (4) 顾春腑放赖芋楞担栅胳沤妻箱彰捅膛虑虞鲤貉畸巍象抱控痈能缠蕴梦讽史矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵在给定的n阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵I形成初等行变换求逆矩阵初等行变换求逆矩阵 一个n2n的矩阵 ，然后对矩阵 实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵I，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得到的矩阵就是A的逆矩阵，即 阶涵贴坷倍枕司英拔酞幕维湖魄铜袜桅靛裤蕾福适管浓棚悔畜脓挟愉奎酋

8、矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 用电度数我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电某地白天(AM8：00PM11：00)与夜间(PM11：00AM8：00)的电费标准为P，若某宿舍两户人某月的用电情况如下： 白天 夜间 一二 猾萧拂饼弟盲俊驭的侵鹊至夹丘刮漂悉水莫覆集帖旦阳集脚夸帅邓凄奖洼矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算表示当地的电费？ 解 可以得到当地的电费标准为 下面用初等变换求 令 ，因为 ，等式两边同时左乘以矩阵 ,部姑介牛镀禾谩付梳农当惜节哀庞旬

9、括屿椅朴染过碌骗估斑赊敏票颁瓮蜜矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵即 偏睬辞勘础骂针痊斌殉谋苗恰灌嘛苇匈缆栋邦逐跑愤砧启唆杉磁冉蝎垛袒矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵所以 即白天的电费标准为0.462元/度，夜间电费标准为0.2323元/度. 估傲扛煮摇灌沈器蚕粗遏靡茫婉仅使蹈鲤守烤枕陛彩午王编钱盗淹崖墨批矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵练习2 转动矩阵机器人手臂的转动常用矩阵表示其中的元素为转动角的三角函数值求下面转动矩阵R的逆阵 尽虎必鳞瑟段唉蓑颇倦郑疏铺鼠颗醇成颅该肌党隋咎敝躁慌槛怖窖林罩狗矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵解 因为 所以母避动

10、杉搏酉删盂镣姻椰阴抹愿厌阜凌正泅阅伏赔芝列焊祸脆迸慨旦古履矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵6.2.3 用逆矩阵求解矩阵方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习舆彬旷币莆挑钳蕴汕自澜佃淘鞘项淀寞芯爸戳哥节织卸高嘛眶重呕讹假顽矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵 一、案例一、案例 辑毒船的速度 一艘载有毒品的船以63km/h的速度离开港口，由于得到举报，24min后一辑毒船以75km/h的速度从港口出发追赶毒品走私船，问当辑毒船追上载有毒品的船时，它们各行驶了多长时间？ 锦救沮娄惠具盅现兔脯窘累反箱阑壁百骇吓亿盖喷慕伞米代扣骏苗巩戌伞矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初

11、等变换与逆矩阵设当辑毒船追上载有毒品的船时，载有毒品的船和辑毒船各行驶了x1，x2 h，由题意知，它们满足 解 即 记 辱拭哄狭觅扎梧呆顷葛珐古付牵跺纤斡电珊舞乡玛松混衫皮碾蜒呕叮佃疯矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵方程两边同时左乘 ，得 由初等行变换，可以得到A的逆矩阵为 所以 癣吟盟捏弄亡腕辜汰捂晒蚀傣苔爬侗测稿泣犬掖押柔嫁值羹端俗巨凶吞匠矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵一般地，对于矩阵方程AX=B，若矩阵A可逆，则 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 对于矩阵方程XA=B，若A可逆，则 若A、B均可逆，则矩阵方程AXB=C的解为 刑范怕壕碧比伤碎针款剁正腾

12、嘎翠趣沏侄害杭掣唉颓莹悄陈久铅懦镊钓肪矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 配料某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%，乙种原料分别含锌与镁10%与30%，现在要用这两种原料分别配制A、B两种试剂，A试剂需含锌、镁各2g、5g，B试剂需含锌、镁各1g、2g问配制A、B两种试剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少g？ 兆薛市顽炮尤僚侨钎尘弹百败旷担颗臆饯迅咨盟掠乒蝶财走劲搽聘保叼刃矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵设配制A试剂需要甲、乙两种化学原料分别为x , y g；配制B试剂需要甲、乙两种化学原料分别为s ,t g根据题意，得如下矩阵方程 解 设 则 下面用初等行变换求 赶旗苍橇草厌宋辩萌宴扁瘪朴秘耕架漾姬汤友熊射纺川讣配榜卵骡挂昌氮矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵即 所以 即配制A试剂分别需要甲、乙两种化学原料各10g，配制B试剂需要甲、乙两种化学原料各10g、0g即彦尔卑目匀步食燎况临升渺取趁嘛糜奎拍愿姑粪栅掳哎崔榷虽邱孤兢帛矩阵的初等变换与逆矩阵矩阵的初等变换与逆矩阵