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1、一、平面的方程平面的方程二、点到平面的距离二、点到平面的距离三、直线的方程三、直线的方程7.5 7.5 平面和直线的方程平面和直线的方程 四、线面间的夹角四、线面间的夹角* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离* *六、平面束六、平面束 如果一非零向量垂直于一平面，如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的这向量就叫做该平面的法法(线线)向量向量.(垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量)一、平面的方程一、平面的方程则平面上的任一点则平面上的任一点满足几何条件满足几何条件代入向量的坐标代入向量的坐标1. 平面的点法式和一般式平面的点法式和一般式是平面是平面
2、 上的一定点，上的一定点，已知平面已知平面 的法向量的法向量平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，满足方程的平面上的点都满足上述方程，满足方程的点都在平面上，上述方程称为平面的方程，平点都在平面上，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例1解解所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例2解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一个平面方
3、程的图形是一个平面.平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； 平面过平面过 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面平行于平面平行于 轴；轴；取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解 设平面为设平面为2. 平面的三点式和截距式平面的三点式和截距式平面的三点式方程平面的三点式方程则平面上的任一点则平面上的任一点满足满足将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解 设平面为设平面为代入所设方程代
4、入所设方程平面的截距式方程平面的截距式方程由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解 设平面为设平面为化简得化简得代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为二、点到平面的距离二、点到平面的距离例例7解解点到平面的距离公式点到平面的距离公式确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线由空间的一点和一个方向来确定一条直线. .三、空间直线的方程三、空间直线的方程定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直
5、线可看成两平面的交线空间直线的一般空间直线的一般(式式)方程方程注：表示同一直线的一般方程不唯一注：表示同一直线的一般方程不唯一.1. 直线的一般式直线的一般式方向向量的定义：方向向量的定义：/2. 直线的对称式和参数式直线的对称式和参数式 如果一非零向量如果一非零向量 平行于一条已知直线平行于一条已知直线L，向量，向量 称为直线称为直线 L 的的方向向量方向向量是直线是直线 L上的一定点，上的一定点，则直线上的任一点则直线上的任一点满足条件满足条件直线的对称式方程直线的对称式方程方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数直线的参数(式式)方程方程消去参数消去
6、参数 t，有，有(也称为也称为点向式方程点向式方程)注：注：1. 表示同一直线的对称式方程不唯一；表示同一直线的对称式方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程；对称式方程可转化为一般方程；4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.3. 理解为：理解为：3. 直线的两点式直线的两点式由直线的对称式方程得由直线的对称式方程得直线的两点式方程直线的两点式方程例例8 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线在直线上任取一点在直线上任取一点取取解解解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程
7、参数方程参数方程先找直线上一点先找直线上一点；再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .解题思路：解题思路：所以交点为所以交点为取取所求直线方程为所求直线方程为解解1. 两平面的夹角两平面的夹角四、线面间的夹角四、线面间的夹角定义定义 两平面法向量之间的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角称为两平面的夹角. .按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例10 研究以下各组中两平面的位置关系：研究以下各组中两平面的位置关系：两平面相交，夹角两平面相交，夹角解解两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重
8、合两平面重合两平面重合.两平面平行两平面平行定义定义2. 两直线的夹角两直线的夹角两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角称为两直线的夹角. .直线直线直线直线两直线夹角余弦公式两直线夹角余弦公式两直线位置特征：两直线位置特征：/例如例如 直线直线直线直线例例11 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解取取 所求直线方程为所求直线方程为例例12解解例例13解解LlM0M1设两设两直线的交点为直线的交点为 ，过点过点 做平面垂直于直线做平面垂直于直线L： 所求直线方程为所求直线方程为3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角定义定义 直线和它在平面上的投影直线和它在平面上的投影
9、直线的夹角直线的夹角称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角直线与平面夹角正弦公式直线与平面夹角正弦公式直线与平面的位置特征：直线与平面的位置特征：/例例14解解* *六、平面束六、平面束的平面束方程的平面束方程例例15解解例例16解解 所求所求平面平面方程为方程为内容小结内容小结1. 平面基本方程平面基本方程一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式2. 平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直：垂直：平行：平行：夹角公式：夹角公式：3. 直线基本方程直线基本方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式4. 直线与直线之间的关系直线与直线之间的关系直线直线直线直线垂直：垂直：平行：平行：夹角公式：夹角公式：5. 平面与直线之间的关系平面与直线之间的关系平面平面直线直线平行：平行：垂直：垂直：夹角公式：夹角公式：
