《高等数学课件：5-2 定积分的性质 中值定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：5-2 定积分的性质 中值定理（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高等数学高等数学( (上上) )第二节第二节 定积分的性质定积分的性质 积分中值定理积分中值定理规定规定在下面的性质中，假定定积分都是可积的在下面的性质中，假定定积分都是可积的 . 高等数学高等数学( (上上) )证证性质性质1(线性性线性性) 高等数学高等数学( (上上) )证证性质性质1（ 为常数）为常数） 高等数学高等数学( (上上) )从从几何上意义几何上意义考虑考虑xyoab性质性质2(区间可加性区间可加性)则则 f 在在 a , b 上可积的充要条件是上可积的充要条件是 f 在在 a , c 和和 c , b 都可积都可积 , 并有并有 高等数学高等数学( (上上) )证证 由由
2、 f 在在 a , b 上可积上可积 , 则对于则对于 a , b 的的 任意划分所作的和式都趋于同一个数任意划分所作的和式都趋于同一个数 . 因此因此 , 取取 c 作为一个分点作为一个分点 , 则有则有令令0 , 即证即证 .例如例如注注 不论不论 ， 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. . 高等数学高等数学( (上上) )证证性质性质3 高等数学高等数学( (上上) )推论推论1(不等式性不等式性)例如例如注注 时，则时，则 0 .( (留作习题留作习题留作习题留作习题) )由上面的注由上面的注由上面的注由上面的注 高等数学高等数学( (上上) )推论推论2 如果
3、如果 f 在在 a , b 上可积上可积 , ,则则 f 在在 a , b 上也可积上也可积 , , 并有并有证证 高等数学高等数学( (上上) )证证推论推论3 (估值定理估值定理) 设对于任意的设对于任意的 x a , b ,有有则则 高等数学高等数学( (上上) )解解例例1题目可修改。题目可修改。 高等数学高等数学( (上上) )例例证明不等式：证明不等式：（你会做吗（你会做吗?） 高等数学高等数学( (上上) )例例2 证明证明证证 设设 所以所以 f 在在 上递减上递减 ,因此因此 高等数学高等数学( (上上) )所以所以,即即 高等数学高等数学( (上上) )例例 求极限求极限解
4、解 由上例由上例所以所以,据夹逼准则，原式据夹逼准则，原式=0。 高等数学高等数学( (上上) )证证由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的介值定理介值定理知知性质性质5（定积分中值定理定积分中值定理）设设是是的最大值和最小值。的最大值和最小值。 高等数学高等数学( (上上) )即即推广的定积分中值定理推广的定积分中值定理: :设设 f Ca , b, , g可积可积.且且g在在a , b上不变号上不变号, ,则至少存在一点则至少存在一点a ,b使得使得(证明同上证明同上)积分之积分之 高等数学高等数学( (上上) )积分中值定理的几何解释：积分中值定理的几何解释： 当当f C a ，b时，时，为为 f 在在 a ，b 上的上的平均值平均值 . 高等数学高等数学( (上上) )解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使 高等数学高等数学( (上上) )思考题思考题: 高等数学高等数学( (上上) ) 高等数学高等数学( (上上) )
