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1、3.4 3.4 SU(2)群的不等价不可约表示群的不等价不可约表示一、欧拉角一、欧拉角 为何引入？为何引入？ SO(3)群任意元素群任意元素 用参数用参数 描写描写 几何意义：代表绕几何意义：代表绕 方向转方向转角的变换角的变换群空间群空间恒元附近恒元附近的区域，参数与群元素有一一对应关系，因而这些参数适于做理的区域，参数与群元素有一一对应关系，因而这些参数适于做理论研究，如何确定这些参数？论研究，如何确定这些参数？p根据根据R的矩阵形式的矩阵形式来确定来确定 （麻烦）（麻烦）（麻烦）（麻烦）1p由固定在系统上的坐标系由固定在系统上的坐标系K 与固定的坐标系与固定的坐标系K的的相对位置相对位置
2、来确定相对转动的参数来确定相对转动的参数（困难）（困难）绕三个坐标轴转动的元素比较简单，且我们已经知道它们的矩阵形式绕三个坐标轴转动的元素比较简单，且我们已经知道它们的矩阵形式在计算在计算SO(3)群不等价不可约表示时，最好能将群中的任意元素表示成绕坐标轴群不等价不可约表示时，最好能将群中的任意元素表示成绕坐标轴转动的元素的乘积，这样只需计算绕坐标轴转动的元素的表示矩阵，不必计算任意转动的元素的乘积，这样只需计算绕坐标轴转动的元素的表示矩阵，不必计算任意元素的表示矩阵，大大简化元素的表示矩阵，大大简化p欧拉角欧拉角正好具有这样的优点正好具有这样的优点 缺点：欧拉角在恒元邻近的一个测度为零的区域
3、，参数与群元素多一对应，会对缺点：欧拉角在恒元邻近的一个测度为零的区域，参数与群元素多一对应，会对理论研究造成不便理论研究造成不便2 欧拉角欧拉角 对任意的幺模实正交矩阵对任意的幺模实正交矩阵RSO(3)，可以把，可以把R的第三列矩阵元看作一个单位矢量的第三列矩阵元看作一个单位矢量 的分量，即的分量，即R作用在作用在 上，将其变到上，将其变到 方向方向注意：注意：注意：注意：这里的这里的 并不是并不是R的转动轴的转动轴3设设 方向的极角：方向的极角：；方位角：；方位角： （由（由R矩阵的第三列元素定出）矩阵的第三列元素定出）前面：一个特殊的转动前面：一个特殊的转动S(,)把把 上的点，转到上的
4、点，转到 方向方向与前面定义的与前面定义的与前面定义的与前面定义的R R的的的的作用类似作用类似作用类似作用类似可取可取S(,)的的 方向就是方向就是R作用后的作用后的 方向方向即将即将 =，= 代入代入 S(,)S(,) 4S -1R是保持是保持x3轴不变的，总的效果是绕轴不变的，总的效果是绕x3轴转动一个角度，设为轴转动一个角度，设为角依赖于角依赖于角，角， 即二者只有一个独立即二者只有一个独立即二者只有一个独立即二者只有一个独立（坐标系固定，系统转动）（坐标系固定，系统转动）将将R表示为绕坐标轴的三次转动的乘积表示为绕坐标轴的三次转动的乘积将将S(,)、R(e3,)矩阵形式代入，得矩阵形
5、式代入，得5其中其中 C=cos，S=sin，etc.元素元素R的这组参数（的这组参数（,）称为）称为欧拉角欧拉角欧拉角欧拉角变化范围：变化范围： 讨讨讨讨 论论论论 p如何定如何定，可由可由R的第三列元素定出的第三列元素定出 第三行第三行注意：注意：注意：注意：由由R的第三行元素定出是（的第三行元素定出是（-）cos(cos(-)=-cos，sin(-)=sin6 练练练练 习习习习 分别计算下列转动变换矩阵分别计算下列转动变换矩阵R的欧拉角的欧拉角并写出它们在并写出它们在SO(3)群表示中群表示中的表示矩阵元素的表示矩阵元素下一页7为看出几个欧拉角的关系，换到为看出几个欧拉角的关系，换到K
6、系讨论系讨论p几何意义几何意义坐标系坐标系K：主动观点，坐标系固定，系统转动：主动观点，坐标系固定，系统转动坐标系坐标系K：被动观点，坐标系转动，系统固定：被动观点，坐标系转动，系统固定两种坐标系中的操作互为逆变换两种坐标系中的操作互为逆变换轴：轴： x3 x2 x38设设R把坐标系由把坐标系由K位置转到位置转到K位置位置K系：系：x3在在x1Ox2面投影为面投影为x1反方向反方向K系：系：x3极角是极角是 方位角是方位角是x3在在x1Ox2平面投影为平面投影为x1x3极角是极角是 方位角是方位角是- K系的系的x3轴在轴在K系中系中 极角极角，方位角，方位角 K系的系的x3轴在轴在K系中系中
7、 极角极角，方位角，方位角-9p注意：注意：=0时，时，R(,0,)是绕是绕 轴转动轴转动+角的变换角的变换与与只有一个是独立的，这相当于在恒元附近，欧拉角参数与群元素是多一对应只有一个是独立的，这相当于在恒元附近，欧拉角参数与群元素是多一对应(2:1)这是欧拉角参数的缺点，在这是欧拉角参数的缺点，在=邻近也有类似的多一对应邻近也有类似的多一对应据据K系与系与K系的相对位置计算系的相对位置计算p计算转动变换计算转动变换R的欧拉角，有两种方法的欧拉角，有两种方法据据R矩阵的第三列矩阵的第三列(,)与第三行与第三行(-)矩阵元素计算矩阵元素计算p有的文献采用有的文献采用 将将R分解为绕分解为绕K系
8、坐标轴三次转动乘积，即先绕系坐标轴三次转动乘积，即先绕x3轴转轴转角，再绕角，再绕新轴新轴x2转转角，最后绕更新轴角，最后绕更新轴x3转转角角10pSU(2)群也可类似地定义欧拉角，只是群也可类似地定义欧拉角，只是角的变化范围扩大了一倍角的变化范围扩大了一倍二、二、SU(2)群的线性表示群的线性表示1. 求表示的方法求表示的方法类似有限群，找一个线性变换群类似有限群，找一个线性变换群G的表示，基本方法：寻找变换群的不变函数空的表示，基本方法：寻找变换群的不变函数空间（间（PG=仍属此空间仍属此空间）适当选取函数基，用标量函数变换算符作用上去，得到函数基的线性组合适当选取函数基，用标量函数变换算
9、符作用上去，得到函数基的线性组合112. SU(2)的表示的表示将群元素将群元素u看成二维复空间的幺正变换看成二维复空间的幺正变换,表示复空间中的坐标表示复空间中的坐标由由,的的n次齐次函数构成次齐次函数构成n+1维函数空间，是维函数空间，是SU(2)群的不变函数空间群的不变函数空间函数基：函数基：为了将来物理意义清楚，也为了表示的幺正性，重新选择描写函数基的指标和函为了将来物理意义清楚，也为了表示的幺正性，重新选择描写函数基的指标和函数基的系数数基的系数12现将标量函数算符作用到函数基上，计算表示现将标量函数算符作用到函数基上，计算表示先计算先计算u-1uSU(2)，是幺正矩阵，是幺正矩阵
10、u-1=u+是厄米矩阵是厄米矩阵 +=将泡利矩阵形式代入将泡利矩阵形式代入13由由只需计算只需计算 时的表示矩阵时的表示矩阵 时，时，n1=n2=0，n3=1，则，则14将其代入将其代入得得展开系数展开系数 Dj（u）15因此因此：单位矩阵对角元素：单位矩阵对角元素 时，时，n1=n3=0，n2=1，则，则16求和指标求和指标n和和m是整数，它们的是整数，它们的取值范围取值范围由使分母不变成无穷大的条件给出由使分母不变成无穷大的条件给出为了将等式右边表示成函数基的线性组合，为了将等式右边表示成函数基的线性组合， 将求和指标将求和指标n和和m 替换成替换成 n和和， 将将的指数的指数 2j-n-
11、m 换成换成 j - n+m j+ 即即 =n+m-j 取值为取值为 j，j-1，.，-j17得到得到, 构成的不变函数空间中构成的不变函数空间中SU(2)群的表示群的表示Dj其中，绕其中，绕x3轴转动的元素对应的表示矩阵是对角化的轴转动的元素对应的表示矩阵是对角化的 x2 实正交的实正交的 按惯例，该矩阵的行列指标按惯例，该矩阵的行列指标按按j,j-1,.,-(j-1),-j的次序排列的次序排列3. dj矩阵的对称性质矩阵的对称性质SO(3)SO(3)群表示同上式群表示同上式群表示同上式群表示同上式1819 练练练练 习习习习 分别计算分别计算j=0，1/2，1时，时，SO(3)群的表示群的
12、表示Dj(,) (欧拉角的函数欧拉角的函数)如：如：j=1/2时，表示下标时，表示下标,的取值：的取值：j，j-1，.，-j204. SU(2)群表示群表示Dj的性质的性质 Dj是是2j+1维表示维表示 j=0,1/2,1,3/2,. D0=1 是恒等表示是恒等表示 D1/2(u)=u 是是SU(2)群的自身表示群的自身表示 j为整数时，为整数时，Dj是是SO(3)群的单值表示，群的单值表示，SU(2)群的非真实表示（对应群的非真实表示（对应0的群的群空间空间） j为半整数时，为半整数时，Dj是是SO(3)群的双值表示，群的双值表示，SU(2)群的真实表示群的真实表示 若若dj是实正交矩阵，则
13、是实正交矩阵，则Dj是幺正表示是幺正表示 由于绕由于绕x3轴转动元素的表示矩阵是对角的，由此容易算得转角为轴转动元素的表示矩阵是对角的，由此容易算得转角为的类在表示的类在表示Dj中的特征标为中的特征标为21可验证：该类特征标满足不等价不可约表示特征标的正交关系可验证：该类特征标满足不等价不可约表示特征标的正交关系因此，不同的因此，不同的j对应表示对应表示Dj是是SU(2)群的不等价不可约表示群的不等价不可约表示 将表示矩阵按参数展开，参数的一级项给出将表示矩阵按参数展开，参数的一级项给出生成元生成元在在dj()的展开中，只需取的展开中，只需取sin(/2)的零次项和一次项的零次项和一次项将将x
14、1转到转到x2，绕，绕x2转转，再，再将将x1转回转回去去22比较生成元可知：比较生成元可知：D1表示等价于表示等价于 SO(3)群自身表示群自身表示D1/2表示等价于表示等价于 SU(2)群自身表示群自身表示物理中常引入升降算符物理中常引入升降算符 （角动量算符）（角动量算符）23 若若Dj的特征标是实数，则的特征标是实数，则Dj是自共轭表示是自共轭表示由前面给出的由前面给出的dj的性质可知：的性质可知：j=j=l 是整数时，是整数时，dl()是对称矩阵是对称矩阵Dl是实表示是实表示j j 半整数半整数 反对称反对称 自共轭自共轭 而非实表示而非实表示三、三、O(3)群的不等价不可约表示群的
15、不等价不可约表示O(3)群是混合李群，群空间分两片群是混合李群，群空间分两片detR=1 固有转动固有转动 RSO(3) 包含包含E，是不变子群，是不变子群detR=-1 非固有转动非固有转动R= ，是，是SO(3)的陪集的陪集24 前面已知前面已知SO(3)群表示，只需知道群表示，只需知道元素的表示矩阵，即可知道元素的表示矩阵，即可知道O(3)群的表示群的表示 这里仅限讨论这里仅限讨论O(3)群的单值（真实）表示群的单值（真实）表示Dl，l取非负整数取非负整数 可与任意转动变换对易，因此可与任意转动变换对易，因此在不可约表示中的表示矩阵必是在不可约表示中的表示矩阵必是常数矩阵常数矩阵 2=E ，所以该常数只能取，所以该常数只能取+1或或-1 设设SO(3)群的不可约表示群的不可约表示Dl表示空间的基为表示空间的基为lm，取取以以ml+,-+,-为基得到为基得到O(3)群的两个不等价不可约表示群的两个不等价不可约表示Dl+, Dl-的表示矩阵为的表示矩阵为25这是找混合李群不等价不可约表示的一般方法这是找混合李群不等价不可约表示的一般方法26
