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1、第二章第二章 倒数与微分倒数与微分1藤蔓课堂 第一节第一节 倒数的概念倒数的概念一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内， 我们用平均速度来近似的代替瞬时速度，当 很小时，近似程度就越好, 此时由近似值就过渡到精确值 汽车在t+ 内的行驶路程为 ，在t时刻的速度 v(t) = 2藤蔓课堂例 已知自由落体运动方程 S=1/2 gt2求（1）落体在 t0 到 t0+ 这段时间内的平均速度； （2）落体在 t = t0 时的瞬时速度； （3）落体在 t =10s 到 t =10.1s 这段时间内的平均速度； （4）落体在 t =10s 时的瞬时速度。3藤蔓课堂（1） （2）由上式
2、知，t = t0 时的瞬时速度为：（3）当t0 =10, =0.1s时，平均速度为 （4）当 t = 10s时，瞬时速度为 4藤蔓课堂二二. 曲线的切线问题曲线的切线问题 与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条5藤蔓课堂导数的定义导数的定义定义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定义，当自变量x在点x0处取得增量 时，相应函数y取得增量 如果 存在，则称函数 y = f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y = f(x)在点x0处的导数，记做 ，即 = 6藤蔓课堂比值 反映自变量 时，函数的平均变化率；导数 反映
3、函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度；若函数y = f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称函数y = f(x)在区间（a,b）内可导；导函数简称导数7藤蔓课堂求导数的步骤（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：8藤蔓课堂常见的导数公式 （常数的导数等于零） 幂函数 9藤蔓课堂对数函数指数函数10藤蔓课堂导数的几何意义函数 y = f(x)在点x0处的导数 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率k,k = tan = 函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程11藤蔓课堂例 2-7 求曲线 在点（4
4、 , 2）处的切 线方程和法线方程。例 2-8 曲线 上何处的切线平行于直线y = x + 1。12藤蔓课堂可导的充要条件可导的充要条件定义2-2 若 存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的左左导数导数，记作 ，即 =13藤蔓课堂同样，如果 存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的右导数右导数，记作 ，即 = 因此，函数y = f(x)在点x0处可导的充要条件是 左右导数存在且相等，即 = 14藤蔓课堂例 2-9 讨论函数y = f(x) = 在点x=0处的可导性。15藤蔓课堂可导与连续的的关系可导与连续的的关系定理定理2-1 若函数若函数y = f(x)在点在点x处可导，则它处
5、可导，则它在该点处必连续。在该点处必连续。若函数若函数y = f(x)在点在点x处连续，则它在该点处处连续，则它在该点处不一定可导。不一定可导。16藤蔓课堂例 2-11 讨论函数y = f(x) = 在点x = 1处的连续性与可导性。连续性 左极限=右极限=函数值可导性 左导数=右导数 17藤蔓课堂第二节函数的和、差、积、商求导法则第二节函数的和、差、积、商求导法则一、函数的和、差、积、商的导数一、函数的和、差、积、商的导数定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数，则（1） 也是x的可导函数，且（2）u*v也是x的可导函数，且（3） 也
6、是x的可导函数，且特别 18藤蔓课堂（4）（5） 例2-12 求 例2-13 求 例2-14 例2-15 例2-16 19藤蔓课堂例2-17 求y = tan x 的导数；例2-18 求y = sec x 的导数；例2-19 求函数 的导数，并求例2-20 求函数 的导数20藤蔓课堂第三节第三节 反函数与复合函数的导数反函数与复合函数的导数一 反函数的导数定理2-3 设 为直接函数， 是它的反函数，如果 在区间I内严格单调、可导，且 ，那么它的反函数 在对应的区间内可导，且有 21藤蔓课堂结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21 求 的导数例2-22 求 的导数22藤蔓课堂基本
7、初等函数的导数公式 （常数的导数等于零） 幂函数 三角函数 23藤蔓课堂反三角函数24藤蔓课堂对数函数指数函数25藤蔓课堂二二 复合函数的导数复合函数的导数定理2-4 （复合函数求导法则） 若函数在点x处可导，函数 在对应点u处可导，则复合函数 在点x处可导，且26藤蔓课堂例2-23 例2-24 例2-25 例2-26 例2-27 27藤蔓课堂例2-28 例2-29例2-30 28藤蔓课堂第四节第四节 隐函数、幂指函数及参数隐函数、幂指函数及参数式函数的导数式函数的导数一 隐函数的导数用自变量x表示y的函数即 ，如y = 3x+1,y = lnx+sinx等，称之为显函数；函数y与自变量x的关
8、系由方程F（x,y）= 0表示的函数称为隐函数，如 3x-y+1=0,xy+x+1=0等。29藤蔓课堂隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量 x 求导，得到一个含 的方程式，从中解出 即可。注：方程两边对 x 求导，是指遇到 x 时，可直接求出其导数；遇到 y 或 y 的函数时，把 y 看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对 y 求导，再对 x 求导。 30藤蔓课堂例 2-31 求由方程 所确定的函数 y 对自变量 x 的导数例 2-32 求由方程 所确定的隐函数y 对自变量 x 的导数例 2-33 求曲线 上点（3,-4）处的切线方程和法线方程 31藤蔓课堂二 幂指函数的导数形如 的函数称
9、为幂指函数。如 等幂指函数求导方法：1.对数求导法2.指数求导法32藤蔓课堂1.对数求导法步骤：1）两边取对数2）方程两边同时对X求导，得到一个关于 的方程式，从中解出2.指数求导法33藤蔓课堂例2-34 求函数的 导数例2-35 设例2-36 求函数 的导数34藤蔓课堂三 参数式函数的导数定理2-5 设函数 由参数方程 所确定，当 都可导，且 ，则由参数方程所确定的函数（参数式函数） 的导数为35藤蔓课堂例2-37 求参数方程 的导数例2-38 求曲线 在 处的切线方程和法线方程例2-39 已知参数方程 ，求 。 36藤蔓课堂第五节第五节 高阶导数高阶导数定义一 函数 的导数 的导数称为 函
10、数 二阶导数，记为定义二 若函数 存在n-1阶导数，并且n-1阶导数可导，那么函数 的n-1阶导数的导数，称为 的n阶导数，记为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数37藤蔓课堂例2-40 求函数y = ax+b 的二阶导数例2-41 设 ，求 例2-42 设 ，求例2-43 求函数 的四阶导数例2-44 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数38藤蔓课堂例2-45 求参数方程所确定的函数 的二阶导数 例2-46 求 的n阶导数例2-47 设39藤蔓课堂第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则一.面积的增量定义2-3 设函数 在点 处可导，则 称为函数 在点 处的微分，记做 或 ，即 这时也称函数 在点x处可微40藤蔓课堂例2-48 求函数 时的 。例2-49 已知半径为 r 的球，其体积为 ，当半径 r 增大 时，求体积的增量和微分例2-50 求下列函数的微分41藤蔓课堂二 微分的几何意义42藤蔓课堂
