《北师大版数学必修二课件：1.7.2柱、锥、台的体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二课件：1.7.2柱、锥、台的体积（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件2019 年 北 师 大 版7.2柱、锥、台的体积问题引航引航1.1.柱体、柱体、锥体、台体的体体、台体的体积公式分公式分别是什么？它是什么？它们各具有什么特点？各具有什么特点？2.2.由柱体的体由柱体的体积公式能得到公式能得到锥体的体体的体积公式公式吗？由？由锥体的体体的体积公式能得到台体的体公式能得到台体的体积公式公式吗？柱、锥、台体的体积公式柱、锥、台体的体积公式名称名称体体积公式公式柱体柱体V V柱体柱体=_(S=_(S为底面面底面面积，h h为高高) )，V V圆柱柱=_=_(r(r为底面半径底面半径) )锥体体V V锥体体= = (S(S为底面面底面面积，h
2、h为高高) )，V V圆锥= =(r(r为底面半径底面半径) )ShShrr2 2h h名称名称体体积公式公式台体台体V V台体台体= = (S(S，S S分分别为上、下底面面上、下底面面积，h h为高高) )V V圆台台= (r= (r，r r分分别为上、下底面上、下底面半径半径) )1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) )(1)(1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求.(.() )(2)(2)锥体的体积是柱体体积的锥体的体积是柱体体积的 .(.() )(3)(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出圆台的体积可由两圆
3、锥的体积差得出.(.() )【解析解析】(1)(1)正确正确. .根据三棱锥的特征，可知三棱锥的每一个侧根据三棱锥的特征，可知三棱锥的每一个侧面都可以看作底面面都可以看作底面. .(2)(2)错误错误. .锥体体积是与其等底面积、等高的柱体体积的锥体体积是与其等底面积、等高的柱体体积的 . .(3)(3)正确正确. .由平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部由平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分即可得圆台，因此圆台的体积可由大圆锥的体积减去小圆锥分即可得圆台，因此圆台的体积可由大圆锥的体积减去小圆锥的体积得出的体积得出. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2
4、.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)正方体的表面积为正方体的表面积为a a2 2，则它的体积为，则它的体积为_._.(2)(2)圆柱的底面积是圆柱的底面积是S S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是的体积是_._.(3)(3)已知正六棱台的上、下底面边长分别为已知正六棱台的上、下底面边长分别为2 2和和4 4，高为，高为2 2，则其，则其体积为体积为_._.【解析解析】(1)(1)设正方体的棱长为设正方体的棱长为x x，则，则6x6x2 2=a=a2 2，所以，所以x= ax= a，故故V=xV=x3
5、 3= a= a3 3. .答案：答案： a a3 3(2)(2)设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为r r，则，则S Srr2 2，所以，所以r r ，则圆柱的母线长则圆柱的母线长l2r2r2 2 ，即圆柱的高，即圆柱的高h h2 2 ，所以所以V V圆柱圆柱S Sh h2S .2S .答案：答案：2S 2S (3)(3)上底面面积为上底面面积为6 6 ，下底面面积为，下底面面积为24 24 ，则棱台的体积，则棱台的体积为为答案：答案：【要点探究要点探究】知识点知识点 柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式1.1.对柱体、锥体、台体体积公式的三点说明对柱体、锥体、台体体积公式的
6、三点说明(1)(1)等底面积、等高的两个柱体等底面积、等高的两个柱体( (或锥体或锥体) )的体积相等的体积相等. .柱体的体柱体的体积只与底面积和高有关，与其具体形状无关积只与底面积和高有关，与其具体形状无关. .(2)(2)如果柱体与锥体的底面积相等，高也相等，则如果柱体与锥体的底面积相等，高也相等，则V V柱柱=3V=3V锥锥. .(3)(3)台体可以看作由一个平行于底面的平面去截一个锥体，即台体可以看作由一个平行于底面的平面去截一个锥体，即台体的体积可以由大锥体的体积减去小锥体的体积得出台体的体积可以由大锥体的体积减去小锥体的体积得出. .2.2.柱、锥、台体的体积计算公式间的关系解读
7、柱、锥、台体的体积计算公式间的关系解读从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱. .因此只要因此只要分别令分别令S=SS=S和和S=0S=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式应公式. .(S(S，S S分别为上下底面面积，分别为上下底面面积，h h为高；为高；rr，r r分别为圆台上底、分别为圆台上底、下底半径下底半径) )3.3.求柱、锥、台体的体积时的关注点求柱、锥、台体的体积时的关注点(1)
8、(1)体积问题主要是求底面积和高，对于数学方法要注意将空体积问题主要是求底面积和高，对于数学方法要注意将空间问题转化为平面问题间问题转化为平面问题. .(2)(2)对圆柱、圆锥、圆台要特别注意应用它们的轴截面，轴截对圆柱、圆锥、圆台要特别注意应用它们的轴截面，轴截面是联系底面半径、母线、高的有效工具面是联系底面半径、母线、高的有效工具. .【知识拓展知识拓展】1.1.等底同高的柱体与锥体体积关系的推导，如图等底同高的柱体与锥体体积关系的推导，如图将三棱柱将三棱柱BCDBCD- -ACDACD分割成三个三棱锥分割成三个三棱锥：A-BCDA-BCD，：A-DCDA-DCD，：A A- -CCD.C
9、CD.下面证明下面证明V V=V=V=V=V，把，把C C看成看成三棱锥三棱锥、的公共顶点，因为有等底的公共顶点，因为有等底DBADBA，ADDADD和等和等高，得高，得V V=V=V. .再把再把A A看作三棱锥看作三棱锥、的公共顶点；它们有等的公共顶点；它们有等底底DCDDCD，CDCCDC和等高，所以和等高，所以V V=V=V，因此，因此V V=V=V=V=V= = V V三棱柱三棱柱. .注意：在上述推导过程中对于注意：在上述推导过程中对于V V=V=V=V=V的关系式的推导方法的关系式的推导方法很重要，在解决棱锥的体积问题时常常会用到这种转化思想很重要，在解决棱锥的体积问题时常常会用
10、到这种转化思想. .2.2.台体体积的推导台体体积的推导设任意台体设任意台体( (棱台或圆台棱台或圆台) )的上、下底面的面积分别是的上、下底面的面积分别是SS，S S，高是高是h.h.截得台体时去掉的锥体的高是截得台体时去掉的锥体的高是x x，去掉的锥体和原来的，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是锥体的体积分别是VV，V(V(如图如图) )这时，这时，VV SxSx，V V S(h+x)S(h+x)，所以台体的体积，所以台体的体积V V台体台体V VVV S(h+x) S(h+x) Sx Sx Sh+(S Sh+(SS)xS)x因为台体上、下底面相似，所以因为台体上、下底面相似，所以代入上式
11、得代入上式得，V V台体台体则则 (r(r，R R分别为圆台上底、分别为圆台上底、下底半径下底半径).).【微思考微思考】(1)(1)如果两个柱体的体积相等，则其表面积是否一定相等？如果两个柱体的体积相等，则其表面积是否一定相等？提示：提示：不一定，因为柱体体积只是与其底面积、高有关，而其不一定，因为柱体体积只是与其底面积、高有关，而其表面积与底面积、侧面展开图的面积有关表面积与底面积、侧面展开图的面积有关. .(2)(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积是否相等？积是否相等？提示：提示：不一定相等，由体积公式可知，底面积不
12、一定相等不一定相等，由体积公式可知，底面积不一定相等. .(3)(3)如果给出一个不规则的几何体，如何求其体积？如果给出一个不规则的几何体，如何求其体积？提示：提示：可以考虑将其分割成若干个规则的几何体或通过添加规可以考虑将其分割成若干个规则的几何体或通过添加规则的几何体将其补成一个规则的几何体求解则的几何体将其补成一个规则的几何体求解. .【即时练即时练】1.1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个，则这个圆锥的体积为圆锥的体积为_._.2.2.已知圆台上、下底面半径分别为已知圆台上、下底面半径分别为1 1，2 2，高为，高为3 3，则圆
13、台体积，则圆台体积为为_._.3.(20143.(2014南昌高一检测南昌高一检测) )已知三棱柱已知三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的体积为的体积为V V，P P，Q Q分别在侧棱分别在侧棱A A1 1A A和和C C1 1C C上，且上，且APAP=C=C1 1Q Q，则四棱锥，则四棱锥B-APQCB-APQC的体积是的体积是_._.【解析解析】1.1.设圆锥的高为设圆锥的高为h h，底面半径为，底面半径为r r，其轴截面如图：，其轴截面如图：因为因为ABCABC为等边三角形，所以为等边三角形，所以h h r r，又又 2r2rh h ，所以，所以r r r r ，
14、所以，所以r r1 1，h h ，所以所以答案：答案：2.2.由已知圆台上、下底面面积分别为由已知圆台上、下底面面积分别为S S上上，S S下下4.4.则则答案：答案：773.3.答案：答案： V V【题型示范题型示范】类型一类型一 多面体的体积多面体的体积【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014宿州高一检测宿州高一检测) )若某多面体若某多面体的三视图的三视图( (单位：单位：cm)cm)如图所示，则该如图所示，则该多面体的体积是多面体的体积是( () )(2)(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2cm2cm2 2，
15、2 cm2 cm2 2，侧棱长为，侧棱长为2cm2cm，则其体积为，则其体积为_._.(3)(3)一个正三棱锥底面边长为一个正三棱锥底面边长为6 6，侧棱长为，侧棱长为 ，这个三棱锥，这个三棱锥的体积为的体积为_._.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中由三视图可知该几何体的结构特征是中由三视图可知该几何体的结构特征是什么？什么？2.2.题题(2)(2)中直四棱柱的对角面是什么图形？菱形的面积与其对中直四棱柱的对角面是什么图形？菱形的面积与其对角线存在什么关系？角线存在什么关系？3.3.题题(3)(3)中正三棱锥的顶点在底面的射影落在底面三角形的什中正三棱锥的顶点在底面的射影落在底面
16、三角形的什么位置？正三角形的中心有何特征？么位置？正三角形的中心有何特征？【探究提示探究提示】1.1.该几何体是一个棱长为该几何体是一个棱长为1cm1cm的正方体截去一个的正方体截去一个角角( (以上底一半为底面，高为正方体棱长的三棱锥以上底一半为底面，高为正方体棱长的三棱锥) )后的几何体后的几何体. .2.2.直四棱柱的对角面是以底面对角线长为长，侧棱长为高的矩直四棱柱的对角面是以底面对角线长为长，侧棱长为高的矩形；菱形的面积是其对角线的乘积的一半形；菱形的面积是其对角线的乘积的一半. .3.3.正三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，即可正三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的
17、中心，即可得到三棱锥的高；正三角形的中心既是三角形的外心，又是三得到三棱锥的高；正三角形的中心既是三角形的外心，又是三角形的内心，还是三角形的重心，也就是三心合一角形的内心，还是三角形的重心，也就是三心合一. .三角形的三角形的重心分中线所成的比是重心分中线所成的比是 . .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.由三视图可知几何体如图，由三视图可知几何体如图，该几何体是正方体去掉一个角后的几何体，该几何体是正方体去掉一个角后的几何体，体积为体积为1- 1- 1 11 11=1- = (cm1=1- = (cm3 3).).(2)(2)如图所示，如图所示，设底面菱形的对角线设底面菱形的对角
18、线ACAC，BDBD长分别为长分别为x cmx cm，y cmy cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有矩形，故有 解得解得底面菱形的面积底面菱形的面积S S xyxy (cm(cm2 2) )，所以该棱柱的体积为，所以该棱柱的体积为V VShSh 2 2 (cm(cm3 3) )答案：答案： cmcm3 3(3)(3)如图所示，正三棱锥如图所示，正三棱锥S-ABC.S-ABC.设设H H为正三角形为正三角形ABCABC的中心，连接的中心，连接SHSH，则则SHSH的长即为该正三棱锥的高连接的长即为该正三棱锥的高连接AHAH并延长交并延长交BCBC于
19、于E E，则，则E E为为BCBC的中点，的中点，且且AHBC.AHBC.因为因为ABCABC是边长为是边长为6 6的正的正三角形，三角形，所以所以AEAE 6 6 . .则则AHAH AEAE在在ABCABC中，中，S SABCABC BCBCAEAE 在在RtSHARtSHA中，中，SASA ，AHAH ，所以所以所以所以V V正三棱锥正三棱锥 S SABCABCSHSH答案：答案：9 9【方法技巧方法技巧】1.1.求几何体体积的四种常用方法求几何体体积的四种常用方法(1)(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解公式法：规则几何体直接代入公式求解. .(2)(2)等积法：如四面体的任何一个
20、面都可以作为底面，只需选等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可用底面积和高都易求的形式即可. .(3)(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等三棱柱补成四棱柱等. .(4)(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. .2.2.求棱柱体积的技巧求棱柱体积的技巧柱体的体积仅与它的底面积和高有关，与柱体是几棱柱，是直柱体的体积仅与它的底面积和高有关，与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱
21、柱的体积转棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积转化成求直棱柱的体积化成求直棱柱的体积. .【变式训练变式训练】(2014(2014山东高考山东高考) )一个六棱锥的体积为一个六棱锥的体积为2 2 ，其，其底面是边长为底面是边长为2 2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为面积为_._.【解题指南解题指南】本题考查了空间几何体的表面积与体积，利用体本题考查了空间几何体的表面积与体积，利用体积求得六棱锥的高，再求出斜高即可求出表面积积求得六棱锥的高，再求出斜高即可求出表面积. .【解析解析】设六棱锥的高为设六棱锥的高为h h，斜高为，
22、斜高为hh，则由体积则由体积得得h=1h=1，h=h=所以侧面积为所以侧面积为 2 2hh6=12.6=12.答案：答案：1212【补偿训练补偿训练】如图所示，已知正方形如图所示，已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，ACBD=O.ACBD=O.将正方形将正方形ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折起，得到三棱锥折起，得到三棱锥A-BCD.A-BCD.(1)(1)求证：平面求证：平面AOCAOC平面平面BCD.BCD.(2)(2)若三棱锥若三棱锥A-BCDA-BCD的体积为的体积为 ，求，求ACAC的长的长. .【解析解析】(1)(1)因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方
23、形，是正方形，所以所以BDAOBDAO，BDCO.BDCO.在折叠后的在折叠后的ABDABD和和BCDBCD中，中，仍有仍有BDAOBDAO，BDCO.BDCO.因为因为AOCO=OAOCO=O，AOAO 平面平面AOCAOC，CO CO 平面平面AOCAOC，所以所以BDBD平面平面AOC.AOC.因为因为BD BD 平面平面BCDBCD，所以平面，所以平面AOCAOC平面平面BCD.BCD.(2)(2)设三棱锥设三棱锥A-BCDA-BCD的高为的高为h h，由于三棱锥由于三棱锥A-BCDA-BCD的体积为的体积为 ，所以所以 S SBCDBCDh= .h= .因为因为S SBCDBCD=
24、BC= BCCD= CD= 2 22=22=2，所以，所以h= .h= .以下分两种情形求以下分两种情形求ACAC的长：的长：当当AOCAOC为为钝钝角角时时，如如图图，过过点点A A作作COCO的的垂垂线线AHAH交交COCO的的延延长长线线于点于点H H，又平面又平面AOCAOC平面平面BCDBCD，交线为，交线为COCO，所以，所以AHAH平面平面BCD.BCD.所以所以AHAH为三棱锥为三棱锥A-BCDA-BCD的高，即的高，即AHAH . .在在RtAOHRtAOH中，因为中，因为AOAO ，所以所以在在RtACHRtACH中，因为中，因为COCO ，所以所以CHCHCO+OHCO+
25、OH所以所以ACAC当当AOCAOC为为锐锐角角时时，如如图图，过过点点A A作作COCO的的垂垂线线AHAH交交COCO于于点点H H，又平面又平面AOCAOC平面平面BCDBCD，交线为，交线为CO.CO.所以所以AHAH平面平面BCD.BCD.所以所以AHAH为三棱锥为三棱锥A-BCDA-BCD的高，即的高，即AHAH . .在在RtAOHRtAOH中，因为中，因为AOAO ，所以所以OHOH在在RtACHRtACH中，因为中，因为COCO ，所以，所以CHCHCOCOOHOH 所以所以综上可知，综上可知，ACAC的长为的长为 或或类型二类型二 旋转体的体积旋转体的体积【典例典例2 2】
26、(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考) )某几何体的三视图如图所示，则其体积某几何体的三视图如图所示，则其体积为为_._.(2)(2013(2)(2013潍坊高一检测潍坊高一检测) )设圆台的高为设圆台的高为3 3，如图，在轴截面中，如图，在轴截面中母线母线AAAA1 1与底面直径与底面直径ABAB的夹角为的夹角为6060，轴截面中的一条对角线垂，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积直于腰，求圆台的体积. .【解题探究解题探究】1.1.求圆锥的体积的关键点是什么？题求圆锥的体积的关键点是什么？题(1)(1)中由三中由三视图可知该几何体的特征是什么？视图可知该几何体的特征是什么
27、？2.2.题题(2)(2)中圆台的上下底面的半径与高如何确定？中圆台的上下底面的半径与高如何确定？【探究提示探究提示】1.1.求圆锥的体积的关键是确定圆锥的底面半径与求圆锥的体积的关键是确定圆锥的底面半径与高；由三视图可知该几何体是一个以半径为高；由三视图可知该几何体是一个以半径为1 1，高为，高为2 2的半圆锥的半圆锥. .2.2.在轴截面中利用直角三角形知识求解在轴截面中利用直角三角形知识求解. .【自主解答自主解答】(1)(1)由三视图还原为实物图为半个圆锥，由三视图还原为实物图为半个圆锥，则则V V答案：答案：(2)(2)由题意轴截面为由题意轴截面为A A1 1ABBABB1 1，设上
28、、，设上、下底面半径、母线长分别为下底面半径、母线长分别为r r，R R，l，作，作A A1 1DABDAB于点于点D.D.则则A A1 1D D3 3，A A1 1ABAB6060，又又AAAA1 1B B9090，所以，所以BABA1 1D D6060， 即即R-r=3R-r=3 ，所以所以R-r= R-r= ，BD=ABD=A1 1Dtan 60Dtan 60，即，即R+r=3R+r=3 ，所以所以R+r=3 R+r=3 ，所以，所以R=2 R=2 ，r= r= ，而，而h=3h=3，所以所以V V圆台圆台 h(Rh(R2 2+Rr+r+Rr+r2 2) )= =所以圆台的体积为所以圆台
29、的体积为21.21.【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)条件不变，圆台可看作大圆锥截去一个小条件不变，圆台可看作大圆锥截去一个小圆锥后的几何体，求截去的圆锥的体积圆锥后的几何体，求截去的圆锥的体积. .【解析解析】如图，由题如图，由题(2)(2)知圆台的上底面为大圆锥的中截面，知圆台的上底面为大圆锥的中截面，所以截去的小圆锥的高为所以截去的小圆锥的高为3 3，又，又r= r= ，所以小圆锥的体积为，所以小圆锥的体积为 ( )( )2 23=3.3=3.【方法技巧方法技巧】有关旋转体体积计算的技巧有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中要充分利用旋转体的轴截
30、面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答根据几何体的体积公式进行运算、解答. .(1)(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解在等腰梯形中求解. .(2)(2)“还台为锥还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键. .【变式训练变式训练】(2014(2
31、014湖北高考湖北高考) )算数书算数书竹简于上世纪八十竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求的数学典籍，其中记载有求“囷盖囷盖”的术：置如其周，令相乘的术：置如其周，令相乘也也. .又以高乘之，三十六成一又以高乘之，三十六成一. .该术相当于给出了由圆锥的底面该术相当于给出了由圆锥的底面周长周长L L与高与高h h，计算其体积，计算其体积V V的近似公式的近似公式V LV L2 2h.h.它实际上是它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率将圆锥体积公式中的圆周率近似取为近似取为3.3.那么
32、，近似公式那么，近似公式V V L L2 2h h相当于将圆锥体积公式中的相当于将圆锥体积公式中的近似取为近似取为( () )【解题指南解题指南】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力. .根据近似公式根据近似公式V LV L2 2h h，建立方程，即可求得结论，建立方程，即可求得结论. .【解析解析】选选B.B.设圆锥底面圆的半径为设圆锥底面圆的半径为r r，依题意，依题意，L=2rL=2r，所以所以即即的近似值为的近似值为【补偿训练补偿训练】体积为体积为52cm52cm3 3的圆台，一个底面面积是另一个底面的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的面积
33、的9 9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( () )A.54 cmA.54 cm3 3B.54cmB.54cm3 3C.58 cmC.58 cm3 3D.58cmD.58cm3 3【解析解析】选选A.A.由底面积之比为由底面积之比为1919知，体积之比为知，体积之比为127127，截，截得小圆锥与圆台体积比为得小圆锥与圆台体积比为126126，所以小圆锥体积为，所以小圆锥体积为2cm2cm3 3，故原，故原来圆锥的体积为来圆锥的体积为54 cm54 cm3 3. .【拓展类型拓展类型】体积问题在实际生活中的应用体积问题在实际生活中的应用【备选例题备选例题】(
34、1)(1)一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为容器内底面正三角形边长为2 2，棱柱的内高为，棱柱的内高为3 3，将一侧面置于，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为水平桌面上，测得液体高度为 ，现将容器底面放于水平桌，现将容器底面放于水平桌面上，则容器内液面高度为面上，则容器内液面高度为( )( )(2)(2014(2)(2014上海高一检测上海高一检测) )如图，如图，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，ABC=ABC=3030，BC= BC= ，在三角形内挖去一，在三角形内挖去一个半圆个半圆( (圆心圆心O O在边在
35、边BCBC上，半圆与上，半圆与ACAC，ABAB分别相切于点分别相切于点C C，M M，与，与BCBC交于点交于点N)N)，将，将ABCABC绕直线绕直线BCBC旋转一周得到一个旋转体旋转一周得到一个旋转体. .求该几何体中间一个空心球的表面积的大小求该几何体中间一个空心球的表面积的大小. .求图中阴影部分绕直线求图中阴影部分绕直线BCBC旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积. .【解析解析】(1)(1)选选C.C.由题意可知，侧面置由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为四棱柱，高为3 3，底面是一梯形，梯形，底面是一梯形，梯
36、形的下底是的下底是2 2，高是，高是 ，可求得上底长为，可求得上底长为1 1，故体积故体积设直立正放于桌面上时，液面高度为设直立正放于桌面上时，液面高度为x x，则则 解得解得x x(2)(2)连接连接OMOM，则，则OMABOMAB，设设OM=rOM=r，则，则OB= -rOB= -r，在在BMOBMO中，中，sinABC=sinABC=所以所以r= r= ，所以所以S=4rS=4r2 2= .= .因为因为ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，ABC=30ABC=30，BC= BC= ，所以所以AC=1AC=1，所以所以V=VV=V圆锥圆锥-V-V球球= = ACAC2 2BC-
37、rBC- r3 3= = 1 12 2 = =【易错误区易错误区】求几何体体积时考虑不周而致误求几何体体积时考虑不周而致误【典例典例】如图，已知多面体如图，已知多面体ABC-DEFGABC-DEFG中，中，ABAB，ACAC，ADAD两两互相垂直，平面两两互相垂直，平面ABCABC平面平面DEFGDEFG，平面，平面BEFBEF平面平面ADGCADGC，AB=AD=AB=AD=DG=2DG=2，AC=EF=1AC=EF=1，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为_._.【解析解析】方法一方法一( (割割) )：如图：如图(1)(1)，过点过点C C作作CHDGCHDG于于H H，连接，连接EH
38、EH，这样就把多面体分割成一个，这样就把多面体分割成一个直三棱柱直三棱柱DEH-ABCDEH-ABC和一个斜三棱柱和一个斜三棱柱BEF-CHG.BEF-CHG.于是所求几何体的体积为：于是所求几何体的体积为：V=SV=SDEHDEHAD+SAD+SBEFBEFDEDE=( =( 2 21)1)2+( 2+( 2 21)1)2=4.2=4.方法二方法二( (补补) )：如图：如图(2)(2)，将多面体补成棱长为将多面体补成棱长为2 2的正方体的正方体，那么那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半. .于是所求几何体的体积为于是所求几何体的体积为
39、V= V= 2 23 3=4.=4.答案：答案：4 4【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析6 6忽视忽视处作辅助线，不能正确将几何体分割成两处作辅助线，不能正确将几何体分割成两个规则的三棱柱而致误个规则的三棱柱而致误8 8忽视忽视处补成一个正方体，不能正确求解而致误处补成一个正方体，不能正确求解而致误【防范措施防范措施】割补法的应用割补法的应用 通过割或补把几何体化为规则几何体，如斜三棱柱割补成通过割或补把几何体化为规则几何体，如斜三棱柱割补成直三棱柱，三棱柱补成平行六面体，多面体割成锥体，以达到直三棱柱，三棱柱补成平行六面体，多面体割成锥体，以达到化未知为已知，化陌生为熟悉，化复杂为
40、简单的目的化未知为已知，化陌生为熟悉，化复杂为简单的目的. .如本例如本例分割后得到两个规则的三棱柱或补成一个正方体，则容易求体分割后得到两个规则的三棱柱或补成一个正方体，则容易求体积积. .【类题试解类题试解】如图，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体如图，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为的最长侧面母线长为4 4，最短侧面母线长为，最短侧面母线长为1 1，且圆柱底面半径，且圆柱底面半径长为长为2 2，则该几何体的体积等于，则该几何体的体积等于_._.【解析解析】方法一方法一( (割割) )：如图：如图(1)(1)，该几何体的体积等于下面的，该几何体的体积等于下面的圆柱的
41、体积与上面的圆柱体积的一半之和圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和. .下面的圆柱的高就下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长是该几何体的最短侧面母线长1 1，而上面的圆柱的高为，而上面的圆柱的高为3.3.于是所求几何体的体积为于是所求几何体的体积为V=V=2 22 21+ 1+ 2 22 23=10.3=10.方法二方法二( (补补) )：如图：如图(2)(2)，将一个与已知的几何体完全相同的几，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5 5的完整圆柱，的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半，于是那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半，于是V=V= 2 22 25=10.5=10.答案：答案：1010
