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1、函数根本性质奇偶性知识点及经典例题函数根本性质奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念：一、函数奇偶性的概念：设函数y fx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且fx fx，那么这个函数叫奇函数。如果函数是奇函数，当函数的定义域中有如果函数是奇函数，当函数的定义域中有 0 0 时，我们可以得出时，我们可以得出f0 0设函数y gx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，假设gx gx，那么这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对
2、称。也就是说当定义域是否关于原点对称。也就是说当x在其定义域内时，在其定义域内时，x也应在其定义域内有意义。也应在其定义域内有意义。图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于y轴对称。复合函数的奇偶性：同偶异奇同偶异奇。对概念的理解：(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称必要条件：定义域关于原点成中心对称。 (2)f (x)与f (x)的关系：f (x)当f (x) f (x)或f (x) f (x) 0或1时为偶函数；f (x)f (x)当f (x) f (x)或f (x) f (x) 0或 1时为奇函数。f (x)二、函数的奇偶性与
3、图象间的关系二、函数的奇偶性与图象间的关系：偶函数的图象关于y轴成轴对称，反之也成立；奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。三、关于函数奇偶性的几个结论三、关于函数奇偶性的几个结论：供学习参考假设f (x)是奇函数且在x 0处有意义，那么f (0) 0偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数奇函数=奇函数奇函数在对称的单调区间内有相同的相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的相反的单调性.四典型问题四典型问题一一 、关于函数奇偶性的判定、关于函数奇偶性的判定方法：方法：1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 假设不对
4、称，那么为非奇非偶函数；假设对称，那么再判断f (x) f (x)或f (x) f (x)是否认义域上的恒等式；2图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性说明：说明：1分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。2判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。3假设判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。4函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。1.判断以下函数的奇偶性：1 xx2 x 1)f (x) ； 2fxx11 x1 x x2 x(x 0)fx2 3fx 0 4x x(x 0)
5、1 x2 5fxx 2 2供学习参考 (6) 函数f (x)满足：f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y)(x, yR)，且f (0) 0，那么函数f (x)的奇偶性为。二二 、关于函数奇偶性的运用、关于函数奇偶性的运用1 1利用奇偶性求函数式或函数值利用奇偶性求函数式或函数值1设函数f (x)为定义域为 R 上奇函数，又当x 0时f (x) x22x 3，试求f (x)的解析式。2.y fx是奇函数，当x 0时，fx 2x2 x1，求当x 0时，fx得解析式。3.3.设函数f (x)是定义域 R 上的奇函数，f (x2) f (x)， 当0 x 1时，f (x) x，求f
6、(7.5)的值4. 设f (x)在R上 是 偶 函 数 ， 在 区 间(,0)上 递 增 ， 且 有f (2a2a1) f (3a22a1)，求a的取值范围。供学习参考5.函数f (x) ax5bx3 4，假设f (2) 0，求f (2)的值。6假设函数f (x)是偶函数，那么1f (12) f () 。1217.fx是偶函数，gx是奇函数，且fx gx，试求fx与gx的x1表达式。2 2逆用函数奇偶性求参数的值逆用函数奇偶性求参数的值1假设函数f (x) x4(m2n)x3(2m n2)x mn为偶函数，求实数m,n的值。2假设函数f (x) ln(xx2k)是 R 上的奇函数，那么实数k=
7、_13.函数fx ax，假设fx为奇函数，求实数a的取值。2 1供学习参考3 3奇偶函数的图象关系及其运用奇偶函数的图象关系及其运用1假设奇函数f (x)在区间3,7上是增函数且最小值为 5，那么f (x)在区间7,3上是( )A增函数且最小值为5；B增函数且最大值为5；C减函数且最小值为5；D减函数且最大值为52函数f (x)在(0,2)上是增函数，又函数f (x 2)是偶函数，那么572275Cf ( ) f ( ) f (1)；22Af (1) f ( ) f ( )；752257Df ( ) f (1) f ( )22Bf ( ) f (1) f ( )；3设f (x)是定义在R上的偶
8、函数，且在(,0)上是增函数，x1 0,x2 0, f (x1) f (x2)，那么一定有()Ax1 x2 0； Bx1 x2 0；Cf (x1) f (x2)；Df (x1) f (x2) 04.定义在区间(,)的奇函数f (x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,)上的图象与f (x)的图象重合，设a b 0，给出以下不等式：f (b) f (a) g(a) g(b);f (b) f (a) g(a) g(b);f (a) f (b) g(b) g(a);f (a) f (b) g(b) g(a)。其中正确的不等式个数为()A1；B2；C3；D45.假设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且
9、f (x)在(0,)上是增函数，又f (2) 0，那么不等式f (x) 0的解集是_6.设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且f (1) 0，那么不等式xf (x) 0的解集为()A(1,0)(1,)B(,1)(0,1)；C(,1)(1,)D(1,0)(0,1)7.设f (x),g(x)都是R上的奇函数，x| f (x) 0 (4,10),x| g(x) 0 (2,5)，那么集合x| f (x)g(x) 0=()A(2,10)C(4,5)供学习参考B(10,2)(2,10) D(5,4)(4,5)8.设y fx的定义域是R，对于任意x, y都有fx y fx fy,x 0时fx 0, f2 1，讨论y fx的奇、偶性并加以证明；y fx在R上的单调性并加以证明。求在6,6上的最值。供学习参考
