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1、22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数R九年级上册新课导入问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落落到池中央到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h h与它距离喷头的水平距离与它距离喷头的水平距离x x之间有什么关系？之间有什么关系？ 上面问题中变量之间的关系上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？哪些联系？ 正正方方体体的的表表面面积积y y与与棱棱长长x x的的
2、关关系系式式为为 ，y y是是x x的函数吗？的函数吗？推进新课推进新课知识点知识点1 1二次函数的概念二次函数的概念二次函数的概念二次函数的概念y y=6=6x x2 2是是 显然，对于显然，对于x x的每一个值，的每一个值，y y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y y是是x x的的函数函数，它们，它们的函数关系式为的函数关系式为y=y=6 6x x2 2 . .我们再来看几个问题。我们再来看几个问题。问问题题1 1 n n个个球球队队参参加加比比赛赛，每每两两队队之之间间进进行行一一场场比比赛赛。比比赛的场次数赛的场次数m m与球队数与球队数n n有什么关系？有什么关系？即，即，m m
3、是是n n的函数吗？的函数吗？ 某种产品现在的年产量为某种产品现在的年产量为2 20t0t，计划今后两年增加，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x x倍，那么两年后倍，那么两年后这种产品的年产量这种产品的年产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x值而确定，值而确定，y y与与x x之间之间的关系应怎样表示？的关系应怎样表示？问题问题2 2 产品原产量是产品原产量是20t20t，一年后的产量是，一年后的产量是原产量的原产量的 倍；再经过一年后的产量倍；再经过一年后的产量是一年后的产量的是一年后的产量的 倍倍. .于是两年后的于是两年后的产量产
4、量y y与增加的倍数与增加的倍数x x的关系式为的关系式为 . .(1+(1+x x) )(1+(1+x x) )y y=20(1+=20(1+x x) )2 2y y是是x x的函数吗？的函数吗？y y=20(1+=20(1+x x) )2 2y y=20=20x x2 2+40+40x x+20+20 表示两年后的产量表示两年后的产量y y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x x的关系，的关系，对于对于x x的每一个值，的每一个值，y y都有一个对应值，即都有一个对应值，即y y是是x x的函数的函数. .y y=20=20x x2 2+40+40x x+20+20 上述三个函数都是用自变量
5、的二次式表示的。一般地，形如上述三个函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如y=ax+bx+cy=ax+bx+c（a a，b b，c c为常数，为常数，a a00）的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数。其中。其中x x是自变量，是自变量，a a，b b，c c分别是函数解分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次项二次项一次项一次项常数项常数项v 函数函数y=y=6 6x x2 2 , , , , y y=20=20x x2 2+40+40x x+20 ,+20 , 有什么共同有什么共同点点? ?思考思考y=y=6 6x x2 2 ,
6、, , ,y y=20=20x x2 2+40+40x x+20 .+20 . 分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项及各项系数。及各项系数。出题角度一出题角度一出题角度一出题角度一 二次函数的识别二次函数的识别二次函数的识别二次函数的识别下列函数中是二次函数的有下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：二次函数：y=ax+bx+cy=ax+bx+c （a a，b b，c c为常数，为常数，a a00）a=a=0 0 最高次数是最高次数是4 4 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（）将函数解析式右边整
7、理为含自变量的代数式，（）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；左边是函数（因变量）的形式；（）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（）判断自变量的最高次数是否是；（）判断自变量的最高次数是否是；（）判断二次项系数是否不等于（）判断二次项系数是否不等于. .出题角度二出题角度二出题角度二出题角度二 应用二次函数的概念求相关字母的取值应用二次函数的概念求相关字母的取值应用二次函数的概念求相关字母的取值应用二次函数的概念求相关字母的取值( ( ( (或范围或范围或范围或范围) ) ) )解：解：根据二次函数的定义可得根据二次函数
8、的定义可得解得解得mm=3=3或或mm=-=-1.1.当当mm=3=3时，时，y y=6=6x x2 2+9;+9;当当mm=-=-1 1时，时，y y= =2 2x x2 2-4-4x x+ +1.1.综上所述，该二次函数的解析式为：综上所述，该二次函数的解析式为：y y=6=6x x2 2+9+9或或y y= =2 2x x2 2-4-4x x+ +1.1.练习练习解：依题意，得解：依题意，得解得解得a a=-=-1.1.出题角度三出题角度三出题角度三出题角度三 求二次函数的函数值求二次函数的函数值求二次函数的函数值求二次函数的函数值知识点知识点2 2根据具体问题确定二次函数解析式根据具体
9、问题确定二次函数解析式根据具体问题确定二次函数解析式根据具体问题确定二次函数解析式根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；化为符号语言；根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；并化成一般形式；联系实际，确定自变量的取值范围。联系实际，确定自变量的取值范围。已已知知圆圆的的面面积积y y(cm(cm2 2) )与与圆圆的的半半径径x x(cm)(cm)，写写出出y y与与x x之之间间的的函函数数
10、关关系式；系式；王王先先生生存存入入银银行行2 2万万元元, ,先先存存一一个个一一年年定定期期，一一年年后后银银行行将将本本息息自自动动转转存存为为又又一一个个一一年年定定期期, ,设设一一年年定定期期的的存存款款年年利利率率为为x x，两两年年后王先生共得本息和后王先生共得本息和y y万元万元, ,写出写出y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式；一一个个圆圆柱柱的的高高等等于于底底面面半半径径，写写出出它它的的表表面面积积S S与与半半径径r r之之间间的的关系式关系式. .y y=x x2 2y y=2(1+=2(1+x x) )2 2S S=4=4r r2 2做一做做一做:
11、 :( (xx0)0)( (xx0)0)( (rr0)0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。说一说以上二次函数解析式的各项系数。（2 2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y y，请写出，请写出y y与与n n的函数的函数关系式关系式4.如图，用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：n=1n=1n=2n=2n=3n=3（1 1）在第）在第n n个图形中，每一横行共有个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列块瓷砖，每一竖列共有共有 块瓷砖（均用含块瓷砖（均用含n n的代数式表示）；的代数式表示）；（n+3n+3） （n+2n+2）y=y=（
12、n+3n+3）（）（n+2n+2）即即 y=n+5n+6y=n+5n+6随堂演练随堂演练1. 1. 下列函数是二次函数的是（下列函数是二次函数的是（ ） A.y A.y=2=2x x+1 +1 B.yB.y=-2=-2x x+1 +1 C.yC.y= =x x2 2+2 D.+2 D.y y= = x x-2-22. 2. 二次函数二次函数y y=3=3x x2 2-2-2x x-4-4的二次项系数与常数项的和是（的二次项系数与常数项的和是（ ） A. A.1 1 B.B.-1 -1 C.C.7 D.-67 D.-63. 3.已已知知函函数数y y=(=(a a-1)-1)x x2 2+3+3
13、x x-1,-1,若若y y是是x x的的二二次次函函数数，则则a a的的取取值值范范围是围是 . .lC C基础巩固基础巩固lB Ba a114. 4.某种商品的价格是某种商品的价格是2 2元，准备进行两次降价，如果每次降价的元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是百分率都是x x，则经过两次降价后的价格，则经过两次降价后的价格y y（单位：元）与每次（单位：元）与每次降价的百分率降价的百分率x x的函数关系式是的函数关系式是 . .5. 5. 正方形的边长为正方形的边长为10cm10cm，在中间挖去一个边长为，在中间挖去一个边长为x xcmcm的正方形，的正方形，若剩余部分的面积为若
14、剩余部分的面积为y ycmcm2 2，则，则y y与与x x的函数关系式是的函数关系式是y y=100-=100-x x2 2，x x的取值范围为的取值范围为 . .6. 6. 一辆汽车的行驶距离一辆汽车的行驶距离s s（单位：（单位：m m）与行驶时间）与行驶时间t t（单位：（单位：s s）的）的函数关系式为函数关系式为s s=9=9t t+12+12t t2 2，则经过，则经过12s12s汽车行驶了汽车行驶了 m m，行驶，行驶380m 380m 需需 s. s.y y=2(1-=2(1-x x) )2 200x x10101801802020综合应用综合应用7. 7.如如图图，在在 A
15、BCABC中中，B B=90=90，ABAB=12=12，BCBC=24=24，动动点点P P从从点点A A开开始始沿沿边边ABAB向向终终点点B B以以每每秒秒2 2个个单单位位长长度度的的速速度度移移动动，动动点点Q Q从从点点B B开开始始沿沿边边BCBC以以每每秒秒4 4个个单单位位长长度度的的速速度度向向终终点点C C移移动动，如如果果点点P P、Q Q分分别别从从点点A A、B B同同时时出出发发，写写出出 PBQPBQ的的面面积积S S与与出出发时间发时间t t（s s）的函数关系式及）的函数关系式及t t的取值范围的取值范围. .解：依题意，得解：依题意，得APAP=2=2t
16、t, , BQBQ=4=4t t. .ABAB=12, =12, PBPB=12-2=12-2t t, , t t的取值范围为的取值范围为00t t6.6.拓展延伸拓展延伸解：由题意可得解：由题意可得 解得解得m m=1.=1.课堂小结课堂小结 问题导入，问题导入，列关系式列关系式 探索二次关探索二次关系式共同点系式共同点总结二次总结二次函数概念函数概念二次函数二次函数y=ax+bx+cy=ax+bx+c（a a，b b，c c为常数，为常数，a a00）二次函数的判别二次函数的判别: :含未知数的代数式为整式；含未知数的代数式为整式；未知数最高次数为未知数最高次数为2 2；二次项系数不为二次
17、项系数不为0.0.确定二次函数解确定二次函数解析式及自变量的析式及自变量的取值范围取值范围课后作业课后作业教学反思教学反思 本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，在以往经验的基础上，创设丰富的现实学习一次函数的经验，在以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出情境，初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式数学模型，并列出二次函数的解析式. .上课上课时应注重探究新知，时应注重探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学在观察、分析后归纳、概括，注重学习习经历过程和探究体验，经历过程和探究体验，领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力. .
