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1、第一章特殊平行四边形北师版2矩形的性质与判定第第3课时矩形的性质与判定的综合应用课时矩形的性质与判定的综合应用1. 矩形的分割特殊性：矩形的两条对角线把它分割成四个面积相等的_三角形，若矩形的两条对角线所夹锐角为60，则有一对等边三角形2. 矩形折叠中求长度：一般需设未知数结合_定理列方程求解等腰勾股3. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为EBD，则有：EBD是等腰三角形，EB_；折叠后ABE和CDE一定_；折叠后得到的图形是_图形；EBA和_一定是全等三角形ED相等轴对称EDCD D D5 知识点二：矩形的性质与判定的综合应用【典例导引】【例2】 如图，在矩形ABCD中，A
2、B24 cm，BC8 cm，点P从A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)当t为何值时，四边形QPBC为矩形？解：根据题意得，CQ2t，AP4t，则BP244t，四边形ABCD是矩形，BC90，CDAB，只有CQBP时，四边形QPBC是矩形，即2t244t，解得t4.答：当t4 s时，四边形QPBC是矩形 【变式训练】2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向点
3、O运动(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；(2)若AC16 cm，BD12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由解：(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形理由：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD；E，F两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，AECF，OEOF，BD，EF互相平分，四边形DEBF是平行四边形(2)四边形DEBF是平行四边形，当BDEF时，四边形DEBF是矩形；BD12 cm，EF12 cm，OEOF6 cm，AC16 cm，OAOC8 cm，AE
4、2 cm；由于动点的速度都是1 cm/s，所以t2 s，故当运动时间t2 s时，四边形DEBF是矩形 一、选择题1. (怀化中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB60，AC6 cm，则AB的长是( )A3 cm B6 cm C10 cm D12 cm AB 3. (普宁期中)如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，点P为边BC上一动点，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF的最小值为( )A2 B2.2 C2.4 D2.5C二、填空题4. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，则BOE_度755. 如图，在矩形ABCD中，A
5、B6 cm，点E，F分别是边BC，AD上一点将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在C，D处若CEAD，则EF的长为_cm.6. (广州期末)矩形ABCD内一点P到顶点A，B，C的长分别是3，4，5，则PD_三、解答题7. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1，连接AD1，BC1.已知ACB30，AB1.(1)求证：A1AD1CC1B；(2)当CC11时，求证：四边形ABC1D1是菱形证明：(1)四边形ABCD为矩形，BCAD，BCAD，DACACB，由平移得AA1D1DAC，A1D1AD，AA1CC1，AA1D1ACB，BCA1D1，在A1AD1与CC1B中，AA1CC1，A1ACB，A1D1CB，A1AD1CC1B(SAS) (2)ACB30，CAB60，AB1，AC2，CC11，AC11，AC1B是等边三角形，ABCDC1D1，四边形ABC1D1是平行四边形，又ABBC1，四边形ABC1D1是菱形8. 准备一张矩形纸片，按如图操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积
