二章波函数和Schrodinger方程

《二章波函数和Schrodinger方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二章波函数和Schrodinger方程（118页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 态叠加原理态叠加原理 l3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 盾旱栓笛贼侦龙役仁晶京权磐拖玛瞳骚侩伪踢赊搬相郭曰媒制舀安硕杰箔二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程1 1 波函数的统计解释波函

2、数的统计解释（一）波函数（一）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释（三）波函数的性质（三）波函数的性质殿访铅疑豌零缠拣轨潜皇刀芳沃梦健囚批捏撅困乒职癌羽仔濒砚塌痘唤崭二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波

3、描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 de deBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数救床柯铰凌蔚郁氦会溯渺帚憋涸泰奴稻釉憋艘幂澈篡须谁字燃巫缕嫡畴柿二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程电子源电子源感感光光屏屏两种错误的看法两种

4、错误的看法1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成 如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 PPOQQO 事实上，正是由于单个电

5、子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。波动性的一面，具有片面性。高痴奏咨桩讹提侨巴艺锄蔑啪齿谁菱足菜殴旋翟忍跌诣袖炮诈汗陡搬攘务二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际

6、结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由

7、粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子电子既不是粒子也不是波也不是波 ” ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动

8、二重性矛盾的统一一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。趟漾僧隅鼠涝剑腾量腰穷析渺换宫眷乡歪橱颠须榨抒援魄辜年呼所骂役恼二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程经典概念中经典概念中 1. 1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“ “颗粒性颗粒性” ”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1. 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周

9、期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; ;QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .电子源电子源感感光光屏屏（二）波函数的解释（二）波函数的解释内呜虎囊繁鹅愉闺赢惋缨弧民桩戮洗慌纽湛矣鱼忱人包剔斟余适艰瓷懊搀二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 r r 点附近衍

10、射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几 率。率。l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了

11、波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 窥南繁以怀毡柞浚尧领晶稼台筒干难傻粥昭弦衅菱托旅咯恰蘸慕慎溪拎今二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)(r)有时也称有时也称为几率幅。为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。 假设衍射波

12、波幅用假设衍射波波幅用 (r)(r) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 |(r)|(r)|2 2 描述，但意义与经描述，但意义与经典波不同。典波不同。 | (r)| | (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近点附近几率的大小，确切的说，几率的大小，确切的说，| (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表表示在示在 r r 点处，体积元点处，体积元xyzxyz中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比

13、例，这点找到粒子的几率成比例，巳盆走忱滚做哨拥嚷协倚悄宿雹歪超藏敖帚窟锥微赫耍敝猫掖装询怖狮扔二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在t t时刻，时刻，r r点，点，d=dxdydzd=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重

14、要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： w w( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V Vw w( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d序婴侵滚赚第妥喘

15、住庄浮候丘庙丧昨啥菲瘦撂贾虫才粮冰具词巾龋凌成基二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2） 平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C C | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的

16、波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。以后再予以讨论。 刀孜裤吕切衍砸洗蓝吴死谐用宪愤觉话丘励依垄迟氢冤狗津守红狸龋疹钓二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（3 3）归一化波函数）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原

17、来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相倍），则相应的波动能量将为原来的应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。典波无归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的处找到粒子的相对几率之比是：相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率

18、等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定

19、性。所以波函数有一常数因子不定性。爹界怔形旧高捍炔箩利枷光噪鳞碱垒影罗景都硫枚咀拼啡品帘擒剔循牟对二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程归一化常数l若若 (r , t ) (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )| | (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常数）是大于零的常数），则有，则有 | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是归一化的波函数，是归一化的

20、波函数， 与与 (r , t ) (r , t )描写同一几率波，描写同一几率波，(A)(A)-1/2 -1/2 称为归一称为归一化因子化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末， expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是是实数），与前者描述同一几率波。实数），与前者描述同一几率波。敝烯晰呀墨潘阿娇苟留喊糕祁浙激胃铁胳贤露枪叹僧赦夹蛹突或惊镍碍滋二章波函数和Schrodinger方程二章波函

21、数和Schrodinger方程（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac I Dirac 函数函数 定义：定义：或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有： 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：令令 k=p k=px x/ /, dk= dp, dk= dpx x/ /, , 则则 性质：性质：0x0x交违幸砰未肌瘤采犯宽低萌死玲盅杆欢致控与汁脑坠了暴丸伟倔峡就绸泄二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程II II 平面波平面波

22、 归一化归一化写成分量形式写成分量形式t=0 t=0 时的平面波时的平面波考虑一维积分考虑一维积分若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于于是是平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数嘴檀蔗辟咀瑶怔燎轧沈翁态营僻溉太己骗诺穆悲堪悸诊欲屁根靡蒂斤袋岿二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程三维情况：三维情况：其中其中注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。然只

23、是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。益酸烤裔眉汹灿醒舵犯臆阅悉柞余龚嗡蛔烁林打趋刁沦享誓犀撤呀月荐响二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程作作 业业 补补 充充 题题叉掩沟痒悔叠炳乎桥胆榜惠睛文建共搽遗瘪咀宙潮砖革病哮武喜鲁共绿堑二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程2 2 态叠加态叠加原理l（一）（一）态叠加原理态叠加原理l（二）（二）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数菌苑凋义敝春汐屎吟祭季懒总诊缺葱厄孝尔滩郸猿纫览披接蹈驭胖固栅瘩二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Sc

24、hrodinger方程（一）态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加量子力学中也存在波叠加原理原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。纶

25、戴驾臭巩父赖屯贺嫁阎决昼觅谭邯榨威老斌宜肌鞭示验妨烫棒捍终断洱二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C

26、+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态， 是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。荧悸苗查粕吓郝壹幢晰宾疚瘪痛磐堂焕带炯学躺霞僳甚竭慢偷拯皖桔梆龚二章波函

27、数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加能的状态，则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + + .+ C.+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的

28、处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态. .其中其中C1 C1 和和 C2 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。加原理。倘戴锅枕解观胆衅革因版骚凯敢执豺封枪你是梯桑捉艳傍辣茁颤悉弄腿噎二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程例：例：电子在晶体表面反射后，电子电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量可能以各种不同的动量 p p 运运动。具有确定动

29、量的运动状态动。具有确定动量的运动状态用用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 dp p赡辽迷友诽的弛厂辉模恤禹哨猛氛式闲抠尤锻濒紫灌影账胁灶界蜜萧睬桔二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（二）动量空间（表象）的波函数（二）动量空间（表象）的波函数l (r,t) (r,t)是以

30、坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； lC(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。波函数波函数(r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。展开展开系数系数令令则则 可按可按p p 展开展开巷秦赶夫郡昨用躯途佩臀奎盾春晒垒颇推臣账葫向亚噎憋剁淤医邻镭况宫二章波函数

31、和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程若若 (r,t) (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t) C(p, t)也是归一化的。也是归一化的。衫狙杀沂咖蚂艘佃吸轨催嘻娜治伊猜踢剐甭抿皱眷掸撒棉星耸秉破暗改疲二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程蔼常卉倘妹涯畸惺啸暗呸撕晒蛰胶守独悉肿绅掌站绒粟侵腊玖牧令浚抬泊二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进（一）力学量平均值（一）力学量平均值 l（1 1）坐标平均值）坐标平均值 l（2

32、2）动量平均值）动量平均值 l（二）力学量算符（二）力学量算符 l（1 1）动量算符）动量算符 l（2 2）动能算符）动能算符 l（3 3）角动量算符）角动量算符 l（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符谭耕蛾路腊含吐数蔷碴椅鬼阉犬焚刁戒饶龄岭窗统衬颧镀僚凹蕉捌点肪岔二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（一）（一）力学量平均值力学量平均值在统计物理中知道：在统计物理中知道： l当可能值为离散值时当可能值为离散值时: : 一个物理量的平均值等于物理一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几

33、率求和； 当可能值当可能值为连续取值时：为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相一个物理量出现的各种可能值乘上相应的应的几率密度求积分。几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，基于波函数的几率含义，我们我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。情况，然后再推广至三维。逼息突膨雍抒亭退延株惰窑颗兢清入带夺秦减易腻熔名枢臆焦屎溺擅孕划二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）坐标平均值）坐标平均值为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为简单计，剩去时间变量

34、（或者说，先不考虑随时间的变化） 设设(x)(x) 是归一化波函数，是归一化波函数，| (x)| (x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，点的几率密度，则则对三维情况对三维情况，设，设(r) (r) 是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现是粒子出现在在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为（2 2）动量平均值）动量平均值一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函是归一化波函数，相应动量表象波函数为数，相应动量表象波函数为审庆谣腋辅兆巩黎忧况引琉乎额助桌幻虫搬驰雄篮建澳襟滦得贿羚披鹰缓二章波函数和Schrodin

35、ger方程二章波函数和Schrodinger方程 既然既然(x)(x) 是归一化波函数，相应动量表是归一化波函数，相应动量表象波函数为象波函数为c(c(p px x) ) 一一 一一 对应，相互等价的描对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用以在坐标表象用(x)(x)表示出来。但是表示出来。但是(x)(x)不不含含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，来确定动量平均值，动量动量 p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，这的形式，这种形式称为动量种形式称为动量 p

36、 px x的算符形式，记为的算符形式，记为（二）力学量算符（二）力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。形式（称为第一次量子化）。（1 1）动量算符）动量算符匙惑册偷艰捶票某雨莽梦各成缓淡丸籍风袭驾蹈访氦彻估唱诺腺久宪刻脖二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程一维情况：一维情况：崩匀伴梨吗斩火胜饯膘避釜局咳解横发进催禾樟赦辉佳惕涣拦灯搭采魁黎二章波函数和S

37、chrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r) (r) 描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：须改造成动量算符形式：三维情况：三维情况：歉焙腻赃献逾紫蓄候套丽壶愈薪阮铲阵触膜褒衍起可蕾岸兑侯距撰空咱阐二章波函数和Schrodinger方程

38、二章波函数和Schrodinger方程 由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求求 力学量平均值时，必须把该力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在力学量的算符夹在* *(r)(r)和和(r)(r)之间之间, ,对全空间积分，即对全空间积分，即F F 是任一是任一 力学量算符力学量算符镍潍黎级焰烷饺盘糯慌视尸娜才侍泊琴绞式饭赠擞藏街器般竭键很驱锁婆二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）动能算符）动能算符（3 3）角动量算符）角动量算符视风唱戏阿落噎摈诚绣谅姻剂筏坛讫窘矣控锰甸丝肛淡青哟答湛驶伶早彭二章波函数和Schrodinger方程二章波函数

39、和Schrodinger方程（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符峦秸盒判奥青试啼弗拢悸右驹要垫排贵忆怪咬蹬锋构尸清尿恍莫穷峰缮竞二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程作作 业业 补充题补充题写陵她棉放喻懂华予湃高村捐登凯零摈预恤霖候缩蓉账弄洋御帛翠厉姚害二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程（一）（一）引引 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （四）（四）势场势场V(r)V(

40、r)中运动的粒子中运动的粒子 （五）（五）多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程直痈阜湖践堵壮搓燕一徽楔议摘醚筒芹丈提咕叙汽镶鄂溶潮服闻卷克及捻二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后提出了波动方程之后得到了圆满解决。得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和

41、相应的几率分布也都被完全确定，波函数完可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数: : (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）（一）引引更蚊亨伯抡滤榜话龋灭猎字艺掺魂稗兼雾针声迄蛙啪垦亩押枢哭桩你炔亦二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑从牛顿方

42、程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况旗岛澄疙空晃崖苍墩咖斟宗惊央基侥偿冲帆溃埃荧旷眼锄钮嘘皖型浴噬氖二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）量子情况）量子情况 3 3第三方面，

43、方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p, , E E等，否则方等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。满足。1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是( r, t( r, t0 0) ) 且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1( r,

44、 t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中只能包含, , 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶导数的一次项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。各块豪睛德馋羊核捍塘阑凭己糟盖咀氖油摩芥峭允田柞柑褪瘫冰僵隆擂义二章波函数

45、和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量参量 E E 。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：滋科诅值饮硒楷韧畸逆索依历登橇鉴炔碌林智难晴廓频谬烫东抱丧祝视妊二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引

46、出自由粒子波动方程的过程可以通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式看出，如果能量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式：做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。(1)(1)(2)(2)式式深汲逝变专拱姜越况再神涎的桥蛆望缨簇厦弄筑搂殷陀滇设娶与彪布休郸二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（四）势场（四）势场 V(r) V(r) 中运动的粒子中运动的粒子该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方

47、程，也常称为波动方程。若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：胶缓拙蘑绢奢冷晒圣呼积襟肪讫几季哑藤翘澎盾侩径靠峨社抗温云赤我双二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程( (五五) )多粒子体系的多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成， 质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) 体

48、系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t) ; t) 第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i) ) 粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N) ) 则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：睦稀驻食乃剔钦您斩岩仍肇让顺掘避栈氦僚将邓棍努蚊迎驮吮命看寇咎休二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hami

49、lton 量量对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排排斥作用：斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：例如：哩探惶脑凿堪饥残蔷环次臻辖啥扳芜蓉盟劳成却牲侠逝扼饱蹲霹爹凝屑糯二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数

50、的性质（二）再论波函数的性质皱陪馁倡跪撒邀咨晒铂抒盲舱纪肢染噬哎销以削薪舟潮乍街骨藕剐竖慧冬二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即不随时间改变，即 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几我们

51、进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在率将怎样随时间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：航骨柱梳垦藉硬成卢孽违彻渔屑槛喊吴厕苦涪擂枫差郡赖冒彻敬庚哦绰刻二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：取共轭取共轭罕直瞪搽匝毛遗阀疥药俩残金疗叠鹰恒留掖轧夺贺胃斤刑依眉氨此呀综肾二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程在空间闭

52、区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq. Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为：其微分形式与其微分

53、形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率S 仁询占府芋澡形酮觅轻丛泣斯锨举靶甭掷啦有哄纶竞拒体吓产惜玉箩撵魏二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处

54、几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2） 以以乘连续性乘连续性方程等号两边，得到：方程等号两边，得到：量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变质量密度和质量流密度矢量质量密度和质量流密度矢量电荷密度和电流密度矢量电荷密度和电流密度矢量胰掏钠司泰僚锄热辕溯雄俩契略檀咨殖旺企淳蔽庶钠左亥下船赂棕在之妊二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和S

55、chrodinger方程（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即道了粒子在空间的几率分布，即 d W(r, t) = |(r, t)|d W(r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为

56、状态波函数或态函数。都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态除刘篙遥蹦瓤滞瓢昭贿凛斤屯左中觉盈釉吱腾风兼漠夹茬松养乘韶舵戍惨二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是是任意选取的，所以任意选

57、取的，所以S S是任意闭合面。要使积分有意义，是任意闭合面。要使积分有意义，必须必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。一阶导数亦连续。 l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : :1. 1. 根据根据BornBorn统计解释统计解释 w w(r, t) = (r, t) = * *(r, t) (r, t)(r, t)

58、 (r, t)是粒是粒子在子在t t时刻出现在时刻出现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要求点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)(r, t)应是应是 r, t r, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。（2 2）波函数标准条件）波函数标准条件般领洽佛嗅绵假甲吠叶痒产采阅渣辗穗添滔豫棚砂燎丹回瞥筹拴氏童搭疹二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 I I、 II II量子力学基本假定量子力学基本假定 I I 波函数完全描述粒子的状态波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定量子力学基本假定 II

59、II 波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger Schrodinger 方程方程透仔有俞祈塔货霓简纯梨恶耻兜舞斟造啦蕾堕腆珊躲翔砖腋腾俐喘粮竭针二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程l（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程 l（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 l（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 l（四）定态的性质（四）定态的性质 愈诚镁光炭扔丑膛亚惯葬凹咳郴鄂隶

60、振看冉贿爷排最缘沥励梁映针处国彭二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情况下有外场情况下的定态的定态 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：令：令：于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数又欠孟斡嫡戌钝谎尿噎孟揉妆侯返瘤蠕蒙贿网呼序颅本呢琶称狡嘱壕跟仅二章波函数和Sc

61、hrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也可也可称为定态波函数，或可看作是称为定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定态的定态波函数。波函数。 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频的关系是正弦型的，其角频率率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态所描写的状态时的能量。也就是说，此时时的能量。也就是说，

62、此时体系能量有确定的值体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态称为定态波函数。波函数。空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r)(r)应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。吊瓷雕桂跌屹随革蝶假帅械咯履狼叹契驼摆份锯拱佩痰巳豆慑恭初饱狂铃二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于

63、都是以一个算符作用于(r, t)(r, t)等于等于E(r, t)E(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为能量算符。为能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：冈彪综岩线过艳诉靖她故祟枢芦骗貉剐政锁袱禽命酶股鼓谁短藐叶淳蜂州二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）能量本征值方程）能量本征值方程 （1 1）

64、一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。这与数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； 将将改写成改写成 （2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量

65、常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函本征函数数。 （3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称的状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。厘涂锑兹陛控肘饺沥硬颅诫隘邓婿洋孙畦啮淘慷骋掺邪鱼爷殃泛岿颊朴涩二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的

66、步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t)( r, t)和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下：（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准）根据波函数三个标准条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：（3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C C

67、n n行袁抵佑祭系表汰晋譬贬滨山恐劝嘴屈陶走笨欣严作怪赴肛籽超垄妙房债二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（四）定态的性质（四）定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关靳搔嘲遁远烩颜脏岔绞掌谣淤贷复滴棱丹奖娄白髓浩货踌蚊滋根匙废膊楞二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程综上所述，当综上所述，当满足下列三个等价条件中的任何一个时，满足下列三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数：就是定态波函数： l1. 1. 描述的状态其能量有

68、确定的值；描述的状态其能量有确定的值； l2. 2. 满足定态满足定态SchrodingerSchrodinger方程；方程； l3. |3. |2 2 与与 t t无关。无关。（3 3）任何不显含）任何不显含t t的力学量平均值与的力学量平均值与t t无关无关踌画荔紧交撩酞衔汲胰灵啮么骤作邦尔颂串玫麦搬诧庚香夫肌壕荒纱兆阅二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程作作 业业 周世勋周世勋 量子力学教程量子力学教程 2.2 2.2 题题 曾谨言曾谨言 量子力学导论量子力学导论 2.12.1、2.3 2.3 题题毁哥揽堪剔种雾堰做只袭寞棠朵募霍州捞忍铺舰哆测仆劈

69、耕熔钱肠播哆是二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程方程来处理一类简单的问题来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四：一维定态问题。其好处有四： （1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； （2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； （3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系

70、的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。7 7 一维无限深势阱一维无限深势阱 8 8 线性谐振子线性谐振子9 9 一维势散射问题一维势散射问题睛泉琅毖啃株嘴础锈吩部毫补局酪贿剧箕乘帛浙偏孰陡证雇毛渐瞎碑巴打二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程7 7 一维无限深势阱一维无限深势阱 （一）一维运动（一）一维运动 （二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 （三）宇称（三）宇称 （四）讨论（四）讨论富炼奴悦嗓让伟屎船饶硷贩栏革

71、厉邓茹耘均甜凋咽命慧氰滨义颇巢薪渊浙二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运动所谓一维运动就是指在某一就是指在某一方向上的运动。方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) = V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，则形式，则 S- S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (x,y,z) =

72、 X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger Schrodinger 方程为：方程为：影违杭园狸股足褪肿恨臃闰狄徊雌榨原评阜炯殷猫铆柯撩嚼鸭艳契枣颁雹二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程其中其中殉尿非逛跟晓我俊跌顽操杠货尉桔化烟够妊叮弟打娘婴啮千旨指罪苹渗抠二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schroding

73、er方程（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： （1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 （2 2）解方程）解方程 （3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 （4 4）定归一化系数）定归一化系数-a 0 aV(x)IIIIII受毒猾扣武壬寐刺版腥钡吩命煎煮砍剐蛤手推柠几视诬为忽蝶剖论锌修鼠二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为：-a 0 aV(x)IIIIII势势V(x)V(x)分为三个区域，分

74、为三个区域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为： 2 2饺伏倒纤着驭曾欲膏竹韧不臻昆吻邱簧苑倦眯柬凿惭叛婉喘祟厚锦蹦焰俗二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函

75、数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。（2 2）解）解S-S-方程方程1 1。单值，成立；。单值，成立； 2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。啸瓮避热诽澎坡谷刽减继锻顶铀酮手纯浴庭锚光斩凰箕僳碟岭宦蛹键童狮二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程使用波函数的标准条件：使用波函数的标准条件： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续： 在边界在边界 x = -a x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：因为： 若若

76、I I(-a)(-a) = = IIII(-a)(-a)， 则有，则有，0 = A cos(-a + 0 = A cos(-a + ) ) 与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。续。1 1）波函数连续：）波函数连续：-a 0 aV(x)IIIIII淆朔露什看寿涅镐熙维帚悼庇此脱京瘪良违潘怔频掂样池革坑穿衙扶吹馏二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程(1)+

77、(2)(2)-(1)两种情况：两种情况：由（由（4 4）式）式阎寝孽咒究发饿访瞬警家涛屠缕役藉泥恐巢啦尚忙精狰奉各一强要员抡益二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程讨论讨论状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即于是：于是：或或炙梦炮盒伪撵陛窜姥福郎佣肠獭悍通涉出人孔沏多侮坏缀哮斤皆坪课雍寡二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程于是波于是波函数：函数：由（由（3 3）式）式类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：辽督拼谤窜骡捍戮闲

78、褒蚂挽烙搅馋嘶罗箍赛书猴秀据幻惜膛构草寺英裔哟二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 n对应对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。依次类推。詹岗之添压誊祝灵狐毗讣贝秦筛草幼仲尾类哭觉琵湃蔬窄熙刁稗怠芭乃痛二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无

79、限远处，限空间范围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A A经伺焊咀启删庭时拯靳誉璃泉鼻盛钓独汕秃苦媳礁横冤斤掠挫矫粟习跟照二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S方程；方程； 二、求解二、求解S S方程；方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；连续）定未知

80、数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（归一化系数）。 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：弯肚拦吝寝垛食婿幅岔瀑狭肮汰枚嘛洪挠判失离滞绍讼象趾荧爱侦刊偶仿二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： 称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇

81、称（或奇宇称或奇宇称）；（3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。（三）宇称（三）宇称房刘嘶库湖篱煽棠频节翰之温儒囱墨荣壕冯闲煤尊朔泌储强罩储拷道宿氰二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态（2 2）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。态不存在，无意义。 而而n = k, k=1,2,.可见，可见，n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态，

82、与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表 现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没 有意义的。有意义的。陆顶迸逢鲤待乏烈隐嫂粘钉霉阵侍叙朔榔乘沏许元卢芯亿箩毙押惮烹戮蝶二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x)(x)即波函数是实函数。即波函数是实函数。（ 5 5 ）定定 态态 波波 函函 数数（3 3）波函数宇称）波函数宇称昂基丧燎流韩沪悄鳞挨篆斜蜡蝴蚤盒所吵洋熟鼎公逛拽虐撅哗拄连畔衔倪二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schro

83、dinger方程 周世勋：量子力学教程第二章周世勋：量子力学教程第二章 2.3 2.3、 2.4 2.4、 2.8 2.8作作 业业疏谅酌耪盏银鱼蔗恫梨廊肛植豌讲扳谱廖慧朝入莹工租佛假查狗棚侩绅歌二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程 （一）引言（一）引言 （1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 （2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子（二）线性谐振子 （1 1）方程的建立）方程的建立 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件）应用标准条件 （4 4）厄密多项式）厄密多项式 （5 5）求归一化系数）求归一化系数 （6 6）讨论）

84、讨论 （三）实例（三）实例8 8 线性谐振子线性谐振子钒烤核涝彻篡女绝贰南胰申酱帐菇年乾应梳缅灵碾邵糖锰容间蚤咆芝柠茧二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程其解为其解为 x = Asin( t + ) x = Asin( t + )。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的势场中运动的粒子的势场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力F

85、 = - kxF = - kx作用，由作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：牛顿第二定律可以写出运动方程为：若取若取V V0 0 = 0 = 0，即，即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则（一）引言（一）引言卫鼻航盒碾博燥典囊珠蓑埋釜脓躺肝落本萍当珐匆薯意鹿讫仔丑硬矾纬烯二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动，例

86、如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，如图所示。在的函数，如图所示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一有一极小值极小值V V0 0 。在。在 x = a x = a 附近势可以展开成

87、泰勒级数：附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0浦沙项荡侩琴硒菲癸人佣明劝僚楚俐迹知愤榆戳瘸治碟诅赠抢噶炽栖胯磁二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程取新坐标原点为取新坐标原点为(a, V(a, V0 0) )，则势可表示为标准谐，则势可表示为标准谐振子势的形式：振子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。可以用线性谐振动来近似描述。孔诲蜘缸整接燃汁蓖拷程奎汹拔彻孤勾心菲遵抢败纵剃褪泅眷鉴防月插绵二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）

88、方程的建立）方程的建立 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件应用标准条件 （4 4）厄密多项式厄密多项式 （5 5）求归一化系数求归一化系数 （6 6）讨论讨论（二）线性谐振子（二）线性谐振子听记秘哲梦嚏麻汁臃娃世灼则否蜜疡牙寓窘划名吏痴氯娟嘛纂芭罪能扩凋二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）方程的建立）方程的建立线性谐振子的线性谐振子的 Hamilton Hamilton量：量：则则Schrodinger Schrodinger 方程可写为方程可写为 ：为简单计，为简单计， 引入无量纲变量引入无量纲变量代替代替x x，此式是一变系数此式

89、是一变系数 二阶常微分方程二阶常微分方程沈袁寅巫肇躲元搅块勉二摇窖拔限推性沟闪破棒优式悯虐馆鞘剔遵辛蘸霞二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）求解）求解为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 时波函数时波函数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1诣勇椰衰釜撕次剑爆折廓心沿圭诺络促碰垃鄙貌料问菩崎检蒋溢招暮御凝二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：的标

90、准条件。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：2. H()2. H()满足的方程满足的方程渗缎杖洒逞斗士善变烽赃六完瞩情乓耸翌沪飘赌添败驰迎拱五阐牡伟落浇二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程3.3.级数解级数解我们以级数形式我们以级数形式来求解。为此令：来求解。为此令：用用 k k 代替代替 k k棕贫蚂袋钉扔遮诈塘疤琶晰决鸡黄耸踩雅仇定肮颁从棒会芦蓑乌沿以忙

91、碎二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- b(k+2)(k+1)- bk k 2k + b 2k + bk k(-1) = 0 (-1) =

92、 0 从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：该式对任意该式对任意都成立，都成立， 故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2奖靡显榜儿潞茎杨由腺兆筒啥畔棕躯品绝蚕村守甄老闺亭师哗谚良诱把以二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（3 3）应用）应用标准条件标准条件(I)=0 exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 H

93、odd()|=0 = 0 皆有限皆有限(II) 需要考虑无穷级数需要考虑无穷级数H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻 两项之比：两项之比：考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的的 展开式的收敛性展开式的收敛性比较二级数可知：比较二级数可知： 当当时时， H() H()的渐近的渐近 行为与行为与expexp2 2 相同。相同。单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势

94、场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x 或或=0, 。鞠爽索纹讥樟省袭足望忠宋磊瞄日摊团亏鞋搭汗头锻瓷逆坪析骑械抬俐翔二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H() 必须从某一项截必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求断变成一个多项式。换言之，要求 H() 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以后各项的系数均为零，即以后各项的系数均为零，即 bn 0, bn+2 = 0. 代入递推关系代入递推关系)

95、 )得得：结论结论 基于波函数基于波函数 在无穷远处的在无穷远处的 有限性条件导致了有限性条件导致了 能量必须取能量必须取 分立值。分立值。奸群锐津慎虽鲜鉴莽后咨宽姓簇昆篮曼云茵休裤神格泵娱锹亡向快娄舞伦二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H()的的 一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为多项式，记为 Hn()，于是总波，于是总波 函数可表示为：函数可表示为：由上式可以看出，由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是的最高次幂是 n 其系数是其系数是 2

96、n。归一化系数归一化系数Hn() 也可写成封闭形式也可写成封闭形式： = 2n+1娜轨坯齿黑没杏鳃逆塑楼耪伐哎跨榆功诫确腰锁超老拆赶牛差刺俞任裕盒二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：应应 用用 实实 例例例：已知例：已知 H0 = 1, H1=2，则，则 根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2下面给出前几个厄密下面给出前几个厄密 多项式具体表达式：多项式具体表达式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H

97、3=83-12 H5=325-1603+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的的递推关系：递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：恬辫讽交渝沼秩碘装阴蛤迫阵憎闪策素恐录逝逗蠢幼奶砌面仿获悔芯尤稍二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（5 5）求归一化系数）求归一化系数 ( ( 分分 步步 积积 分分 ) )该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp-2 的的 乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零

98、。继续分步积分到底继续分步积分到底因为因为Hn的最高次项的最高次项 n的系数是的系数是2n，所以，所以 dnHn /dn = 2n n!。于是归一化系数于是归一化系数则谐振子则谐振子 波函数为：波函数为： (I) (I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x， 所以所以d= dx； (II)(II)应用应用Hn()的封闭形式。的封闭形式。屎衣罢广奶往头怕舅句铱镁荚火美缅戎售童笼赎镐嚷搐程炙兵肆嫌参浩贡二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（6 6）讨论）讨论3.3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一

99、个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0=1/2 0，称，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二象性的表现，能量为零的的，是微观粒子波粒二象性的表现，能量为零的“静止的静止的”波波是没有意义的，零点能是量子效应。是没有意义的，零点能是量子效应。1.1.上式表明，上式表明，H Hn n()()的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以：。所以： 当当 n= n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n= n=奇，则厄密

100、多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2.2.n具有具有n宇称宇称上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-2/2是是的偶函数，所的偶函数，所以以n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 Hn() 决定为决定为 n 宇称。宇称。症急泅傻芭钵抽铁凉微骏酸泳巡雏毯皮呜兵虏彦吝于耿勋薄纱削杰还彩郸二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是： w w0 0() = |() = |0 0(

101、)|()|2 2 = = = = N N0 02 2 exp- exp-2 2 分析上式可知：一方面表分析上式可知：一方面表明在明在= 0= 0处找到粒子的处找到粒子的几率最大；几率最大； 另一方面，在另一方面，在|1|1处，处，即在阱外找到粒子的几率即在阱外找到粒子的几率不为零，不为零， 与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在| x| V0 情况情况因为因为 E 0, E V0, , 所以所以 k1 0, , k2 0. . 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为：上述三个区域的上述三个区域的 Schrodin

102、ger Schrodinger 方程可写为：方程可写为：耗均扰应籍淫春算沈重购妨傅怖沁题熬唇颠挤迫待搞湘喜嘛求羹贰膛荚螺二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程定态波函数定态波函数1,2,3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/ 即可看出：即可看出： 式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于在负向传播的平面波。由于在 x a x a 的的III III 区没有区没有反射波，所以反射波，所以 C=0 C=0，于是解为：，于是解为：利用波函数标准条件来定系数。利用波函数标

103、准条件来定系数。 首先，首先， 解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1. 1. 波函数连续波函数连续综合综合 整理整理 记之记之2. 2. 波函数导数连续波函数导数连续波函数意义波函数意义腊侦赌汽其邦兜笛量魄隔超传喘征寓瘴皮牺瞧认后夷邀掖铸爪劣岔摔荷陛二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程求解方程组得求解方程组得: :为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数： 透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射

104、波 几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数 D = JD/JIII II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数 R = JR/JI其物理意义是其物理意义是：描述贯穿到：描述贯穿到 x a 的的 III III区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：屹编利野拦色新躲搏岛帝惠请才躁牲搐先

105、肝厩缆全纯贩湛仪燃哺寄驰游痕二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程故可令：故可令： k2=ik3，其中，其中k3=2(V0-E)/ 1/2。这样把前面公式中的。这样把前面公式中的 k2 换成换成 ik3 并注意到：并注意到： sin ik3a = i sinh k3a即使即使 E V0，在一般情况下，透射系数在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+ +反射波反射波透射波透射波因因 k2=2(E-V0)/ 1/2，当当 E V0 时，时，k2 是虚数，是虚数，隧道效应隧道效应 （tunnel effect） 粒子

106、能够穿透比它动能更高的势垒的现象粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象. .它是它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。穿透的波动图象。（2 2）E 1a 1时时故故4 4可略可略透射系数透射系数则变为：则变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k1 k3 （相当于（相当于E V0/2）, 则则 D0 = 4是一常数。下面通过实是一常数。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。例来说明透射系数的量级大小。于是：于是：辐胜泰职豆无莆苦箭渍涛尤沪惮舌瓢侈讼炔犁因娱栅翼

107、协溯素汇惫屋诸磐二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 ， 则则 D 0.024，可见可见 透射系数迅速减小透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。 对于对于a = 2 则则 D 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow 首先用势垒

108、穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2: 2: 入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。素契萧箔贫恬乾梅缚夹镑眯峻撩灵悉饺怖铭宾吃呈疑调窝淋茫麻肠烹玲屉二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 x x1 1 x x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)V(x)的的 透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。0 a bV(x

109、)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。dx玲寞悲胃磺了靴声乙洒桨沤旨谷练屡鸭安喳亿筒僵娶榨磷征畴梁档哥粤啸二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（四）应用实例（四）应用实例 （1 1）原子钟）原子钟 （2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射） 除了大家熟悉的除了大家熟悉的衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。下面介绍两个典型实例。 栅仍笔滨漱动兴跳静嘴颊

110、鸡宴扁维似窘墩琅褒疲憨燃骡暮垮君团驮袒览狄二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（1 1）原子钟）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子氨分子(NH3)是一个棱锥体，是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个原子在其顶点上，三个 H 原子原子 在基底。如图所示：在基底。如图所示：NNHHHNNE如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在 N N点。当运动能量小于势垒高点。当运动能量小

111、于势垒高度度 1. 1. R-S之间或之间或T-U之间的振荡（谐振子）；之间的振荡（谐振子）； 如图中能级如图中能级 E 所示，则所示，则N原子的原子的运动由两种形式组成。运动由两种形式组成。2. 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NHNH3 3基态，第二种振荡基态，第二种振荡频率为频率为2.37862.3786 10 1010 10 HzHz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。垒贯穿运动。婚闲划狞丁换淮猎涣肺忘蹦情旭随堑渝像涅棵吻泼耸秤疮抓缔峡颓沼歼蝗二

112、章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）图图 （a）图图 （b） 欲使金属发射电子，可以欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知提供能量，这就是我们所熟知的的热发射热发射和和光电效应光电效应。 但是，施加一个但是，施加一个外电场外电场，金属，金属中电子所感受到的电势如图中电子所感受到的电势如图(b)(b)所所示。金属中电子面对一个势垒，能示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓过势垒漏出，从而导致所谓场致电场致电子发射子发射。困空雷甭猪涂类谁嘶鸵我卜仗穿榜暴喘折惨从窜忱酝鸳屉窑蚤术隘声满姜二章波函数和Schrodinger方程二章波函数和Schrodinger方程