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1、向心加速度向心加速度（精品教案）（精品教案）精讲精练知识精讲知识点 1 速度变化量(1) 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差/(2) 速度变化量是矢量.因为速度是矢量,有大小,有方向，故末速度与初速度之差也有大小和方向。例如，小球向正东方向做直线运动，初速度为v1=5m/s,10s后末速度变为 v2=10m/s,方向向西。取正东为正方向，则有:v=v2-v1=(-10m/s)-5m/s=-15m/s即速度变化量的大小为 15m/s,它的方向是向西.(3)用矢量图表示速度变化量 作法:从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量 v1和 v2,从初速度矢量 v1的末端作一个
2、矢量v 至末速度矢量 v2的末端，所作的矢量v就等于速度的变化量. 直线运动中的速度变化量:如果速度是增加的 ,它的变化量与初速度方向相同 (图甲);如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反(图乙).v1vv1乙v甲v2v2 曲线运动中的速度变化量:物体沿曲线运动时,初末速度v1和v2不在同一直线上,速度的变化量v 同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由 A 向 B 运动,在 A,B 两点的速度分别为 v1,v2(如图 1).在此过程中速度的变化量如图 2 所示.可以这样理解:物体由 A 运动到 B 时,速度获得一个增量v,因此 v1与v 的矢量和即为 v2.我们知道，求力 F1
3、和 F2的合力 F 时,可以以 F1和 F2为邻边作平行四边形，则 F1和 F2所夹的对角线就表示合力 F.与次类似，以 v1和v 为邻边作平行四边形,两者所夹的对角线就是 v1和v 的矢量和,即 v2.如图 3 所示.因为 AB 与 CD 平行且相等,故可以把 v1, v,v2放在同一个三角形中，就得到如图 2 所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.Dv1v1vv1Cv2Av2v2BvA图 2图 1B图 3例 1物体做匀速圆周运动的速度大小为 v,则该物体从 A 运动到 B 转过 90角过程中，速度变化的大小为 ,方向为 .vvBBAvAA思路分析做 A,B 两点的速度矢量,并将 B 的速度
4、矢量移到 A 点， 如图所示,则v 为速度变化，由 Rt得: v=2vv 与 A 点速度方向夹角=135斜向上方.答案2v速度变化的方向与 A 点速度方向成 135角斜向上方.方法总结速度矢量变化量v=v末-v初,用作图法求v 的方法:从同一点作出初,末速度矢量(不在同一点的,平移至同一点),从 v初矢量末端至 v末矢量末端作有向线段v, v 即速度的变化量.变式训练 1如图所示,设支点沿半径为 r 的圆周做匀速云周运动，在某时刻 t位于 A 点，速度为vA,经过很短时间t 运动到 B 点，速度为vB,做图求出速度改变量v=vA-vBAvABvAOvBvB答案 知识点向心加速度(1)探究向心加
5、速度的大小和方向做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度 a 没有与 v 同方向的分量，它只是反映了速度 v 方向的不断改变.如图甲所示,设质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，在某时刻 t 位于 A点，速度为 vA,经过很短的时间t,运动到 B 点，速度为 vB,把速度矢量 vA和 vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量v=vB - vA,如图乙所示.AvAvAvBvBvB乙甲比值v/t 是质点在t 时间内的平均加速度， 方向与v 方向相同， 当t 足够短,或者说t 趋近于零时, v/t 就表示出质点在 A 点的瞬时加速度，在图乙所示矢量三角形中，vA和
6、vB大小相等,当t 趋近于零时, 也趋近于零, v 的方向趋近于跟 vA垂直而指向圆心，这就是说，做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心.图乙中的矢量三角形与图甲的三角形OAB 是相似形,用 v 表示 vA和 vB的大小，用l 表示弦 AB 的长度，则有:v/v =l/r或v=lv/r用t 除上式得v/t=(l/t)(v/r)当t趋近于零时, v/t表示向心加速度a的大小, l/t表示线速度的大小 v,于是得到 a = v2/r2这就是向心加速度的公式，再由 v=r得 a=r =v(2)向心加速度 定义:做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心， 这个加速度称为向心加速度。
7、大小:an= v2/r 或 an=r2方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.注意:an方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. 相同，a1/r 向心加速度描述的是速度方向变化的快慢. 向心加速度 a=v2/r 是在匀速圆周运动中推导出来的,对非匀速圆周运动同样适用,只要将公式中的速度 v 改为瞬时速度即可. 利用 v=r,向心加速度公式可写成 a=v. 利用=2/T,向心加速度公式可写成 a=(2/T)2R.例 2关于向心加速度，下面说法正确的是( )A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C. 向心加速度大
8、小恒定，方向时刻改变D.向心加速度的大小也可用 a=(vt-v0)/t 来计算思路分析加速度是描述速度变化快慢的物理量， 向心加速度是描述线速度方向快慢的物理量,因此 A 错,B 对.只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C 错.公式 a=(vt-v0)/t 适用于匀变速运动,圆周运动是变速运动,D 错.答案 B方法总结 向心加速度是矢量,方向始终指向圆心.变式训练 物体做半径为 R 的匀速圆周运动，它的向心加速度，角速度，线速度和周期分别为 a,v 和 T.下列关系正确的是( )A. =aR B、v aR C、a=v D、T 2Ra答案ABCD难点精析 1圆周运动中的速度和加速度例 3关于匀
9、速圆周运动，下列说法中正确的是( )A. 匀速圆周运动是匀速运动B. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动C. 物体做匀速圆周运动是变速曲线运动D. 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态思路分析做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变 ,方向时刻在变,因此匀速圆周运动不是匀速运动，也不是匀变速运动,选项 A,B 错，做匀速圆周运动物体的合外力即向心力,提供向心加速度，当然物体不是处于平衡状态，选项 D 错答案 C方法总结 速度和加速度均是矢量,矢量的变化不仅考虑大小的变化， 还要考虑方向的变化，匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动.变式训练 3如右图所示,圆轨道 AB 是在竖直平面内的 1/4 圆周，在 B
10、 点轨道的切线是水平的,一质点自 A 点从静止开始下滑,不计摩擦和空气阻力,则在质点刚要到达 B 点时的加速度大小为 ,滑过 B 点时的加速度大小为 .AB答案 2g g难点精析 2例 4关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是( )A. 由 a= v2/r 知 a 与 r 成反比B. 由 a= r2知 a 与 r 成正比C. 由=v/r 知与 r 成反比D. 由=2n 知 与转速 n 成正比思路分析由 a= v2/r,只有在 v 一定时,a 才与 r 成反比，如 v 不一定，a 与 r不一定成反比.同理,只有当一定,a 才与 r 成正比；v 一定时,与 r 成正比.因 2是定值,故与 n 成正比
11、.答案 D方法总结公式 a= v2/r = r2=(2/T)2R 中有三个量时,在某一个量不变时,剩余的两个量的关系才能明确.即在 v 一定时 a 与 r 成反比,在一定时,a 与 r成正比.公式=v/r 在 v 一定时,与 r 成反比. =2n 知, 与转速 n 成正比.变式训练 4如图所示,A,B 两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中 A 为双曲线的一个分支,由图可知 ( )AA.A 物体运动的线速度大小不变aBB.A 物体运动的角速度大小不变C.B 物体运动的角速度大小不变D.B 物体运动的线速度大小不变答案 A COr难点精析 3传动装置中物理量的联系例 5如图为一皮带
12、传动装置，右轮的半径为r,a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则 ( )A.a 点与 b 点线速度大小相等B.a 点与 c 点C.a 点与 d 点向心加速度大小相等E. a,b,c,d 四点中,加速度最小的是 b 点d4rrbarc2r思路分析皮带轮传动的是线速度,所以 ac 两点线速度大小相等。 所以 A,B 错;a,d两点加速度由 a=v2/r 有:aa=vc2/r,ad=(2vc2)2/4r,所以 aa=ad;在 b,c,d 中,由 a=2r,有 b点加速度
13、最小，所以 C,D 正确.答案CD方法总结(1)在传动装置中要抓住两个基本关系 :皮带(或齿轮)带动的接触面上线速度大小相等，同一转轴上的各部分角速度相等.(2)在线速度相等的情况下，比较向心加速度的大小，用公式 a=vc2/r;在角速度相等的情况下,用公式 a=2r 则较为方便.变式训练 5如下图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动 ,大轮的半径是小轮的2倍,大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的1/3,当大轮边上 P 点的向心加速度是 12cm/s2时,大轮上的 S 点和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度多大?QPS答案 as=4cm/s2;aQ=24 cm/s2综合拓展向心加
14、速度大小 a=v2/r= r2=(2/T)2R;向心加速度方向时刻指向圆心,与速度方向垂直。圆周运动知识与其他力学知识相结合解决问题.例 6如图所示,定滑轮的半径 r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放，测得重物以加速度 a=2m/s2做匀加速运动在重物由静止下落距离为1m的瞬间， 滑轮边缘上的点的角速度= rad/s,向心加速度a= m/s2思路分析重物下落 1m 时,瞬时速度为 v2ax 2m/s显然,滑轮边缘上每一点的线速度也都是 2m/s,故滑轮转动的角速度,即滑轮边缘上每一点的转动角速度为:=v/r=(2/0.02)rad/s=100rad/s向心加速度为a= r
15、2=10020.02m/s2=200m/s2答案 =100rad/s a=200m/s2方法总结本题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮运动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加， 但在任何时刻角速度与线速度的关系(v=r),向心加速度与角速度,线速度的关系(a= r2=v2/r)仍然成立.活学活练基础达标1.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是( )A. 它描述的是线速度方向变化的快慢B. 它描述的是线速度大小变化的快慢C. 它描述的是向心力变化的快慢D. 它描述的是角速度变化的快慢2.由于地球的自转,下列关于向心加速度的说法正确的是( )A. 在地球表面各处的向心加速度都指向地
16、心B. 在赤道和北极上的物体的角速度相同,但赤道上物体的向心加速度大C. 赤道和北极上物体的向心加速度一样大D. 赤道和地球内部物体的向心加速度一样大3.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为 a1和 a2,且 a1 a2,下列判断正确的是( )A. 甲的线速度大与乙的线速度B. 甲的角速度比乙的角速度小C. 甲的轨道半径比乙的轨道半径小D. 甲的速度方向比乙的速度方向变化得快4.“月球勘探号”空间探测器绕月球飞行可以看作为匀速圆周运动。关于该探测器的运动，下列说法正确的是（）A匀速运动B匀变速曲线运动C变加速曲线运动D加速度大小不变的运动5如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，
17、图中有 A、B、C 三点，这三点所在处半径 rArB=rC则这三点的向心加速度 aAaBaC的关系是( )A. aA= aB=aC B. aC aA aB C. aC aA aAABOC6.小球 m 用长为 L 的悬线固定在 O 点，在 O 点正下放 L/2 处有一光滑钉 C,如图所示,今把小球拉到悬线呈水平后无初速度地释放，当悬线呈竖直状态且与钉相碰时( )OA. 小球的速度突然增大LmB. 小球的角速度突然增大C. 小球的向心加速度突然增大CD. 小球的速度突然变小7.做匀速圆周运动的物体， 其角速度为 6rad/s,线速度为 3m/s,则在 0.1s 内，该物体通过的圆弧长度为 m,物体
18、连接圆心的半径转过的角度为 rad,运动的轨道半径为 m.8.质量相等的 A,B 两质点分别做匀速圆周运动， 若在相等的时间内通过的弧长之比为 2:3,而转过角度之比为 3:2,则 A,B 两质点周期之比为 TA:TB= ,向心加速度之比 aA:aB= .9.一列火车以 72km/h 的速率在半径是 400m 的弧形轨道上飞快的行驶,此时列车的向心加速度是 m/s.10.如图所示,长度 L=0.5m 的轻杆,一端上固定着质量为 m=1.0kg 的小球,另一端固定在转动轴 O 上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆子每0.1s 转过 30角,试求小球运动的向心加速度.OAL11.一物体以 4m/s
19、的线速度做匀速圆周运动,转动周期为 2s,则物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为多少?基础达标答案1. A 2. B 3. D 4. CD 5. C 6. BC 7. 0.3;0.6;0.5 8. 2:3 ; 1:1 9.110. 252m/s2/18 11.4m/s2能力提升1.下列说法中，正确的是( )A. 匀速圆周运动是一种匀速运动B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动C. 匀速圆周运动是一种变加速运动D. 物体做圆周运动时其向心力垂直于速度方向，不改变线速度的大小2.如图所示为质点 P,Q 做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象， 表示质点 P 的图线是双曲线，表示质点 Q 的
20、图线是过原点的一条直线，由图象可知( )aPQA. 质点 P 的线速度大小不变B. 质点 P 的角速度大小不变C. 质点 Q 的角速度随半径变化D. 质点 Q 的线速度大小不变Or3.如图所示的皮带传动装置,主动轮 O1上两轮的半径分别是 3r 和 r,从动轮 O2的半径为 2r,A,B,C 分别为轮边缘上的三点,设皮带不打滑,则:(1) A,B,C 三点的角速度之比A:B:C= ;(2)A,B,C 三点的线速度大小之比 vA:vB:vC= ;(3)A,B,C 三点的向心加速度大小之比 aA:aB:aC= ;ACO2O1B4.做匀速圆周运动的物体，线速度为 10m/s,物体从 A 到 B 速度增量为 10m/s,已知 A,B 间弧长是 3.14m,则 AB 弧长所对的圆心角为 ,圆半径为 ,向心加速度为 .5.一汽车以 30m/s 的速率沿半径为 60m 的圆形跑道行驶,汽车在运动中向心加速度为多少?能力提升答案1.CD 2.A 3.(1) 2:2:1 (2) 3:1:1 (3) 6:2:1 4. /3;3m;33.3m/s2 5. 15m/s2
