小学数学知识点例题精讲《列方程组解应用题》教师版

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1、11、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量2、用代数法来表示各个量：利用“, x y”表示出所有未知量或变量3、找准等量关系,构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）一、列方程解应用题的主要步骤 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量,这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系; 用字母来表示关键量,用含字母的代数式来表示题目中的其他量; 找到题目中的等量关系,建立方程; 解方程; 通过求到的关键量求得题目最终答案二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程消元方法主要有代入消元和加减消元模块一、列方程组解应用题【例例

2、1】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨,45辆小车和6辆卡车一次运货120吨.每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设每辆卡车和每辆小车每次各运货xy、吨,根据题意可得：30375456120xyxy,解得25xy 所以,每辆卡车每次运货2吨,每辆小车每次运货5吨.【答案】每辆卡车每次运货2吨,每辆小车每次运货5吨【巩固】 甲、乙二人2时共可加工54个零件,甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个问：甲每时加工多少个零件?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲每小时加工x个零件,乙每小时加工y个零件.

3、则根据题目条件有：2254344xyxy,解得1611xy所以甲每小时加工16个零件,乙每小时加工11个零件【答案】甲每小时加工16个零件【例例 2】已知练习本每本0.40元,铅笔每支0.32元,老师让小虎买一些练习本和铅笔,总价正好是老师所给的 10 元钱但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了,结果找回来0.56元,那么老师原来打算让小虎买多少本练习本?知识精讲知识精讲教学目标教学目标列方程组解应用题列方程组解应用题2【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设老师原本打算让小虎买x本练习本和y支铅笔,则由题意可列方程组：0.40.32100.40.32100.56xy

4、yx,整理得403210004032944xyyx,即54125(1)54118(2)xyyx,将两式相加,得9()243xy,则27(2)xy,14 ,得17x 所以,老师原打算让小虎买 17 本练习本【答案】老师原打算让小虎买 17 本练习本【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共45双,胶鞋每双3.5元,布鞋每双2.4元,全部卖出后,胶鞋比布鞋收入多10元问：两种鞋各多少双?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设布鞋有x双,胶鞋有y双453.52.410xyxy,解得2025xy所以布鞋有20双,胶鞋有25双【答案】布鞋有20双,胶鞋有25双【例例 3】松鼠妈妈采松子,晴

5、天每天可以采20个,雨天每天可以采12个,它一连几天采了112个松子,平均每天采14个,问这几天当中有几天是下雨天?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意,松鼠妈妈采的松子有晴天采的,也有雨天采的,总的采集数可以求得,采集天数也确定,因此可列方程组来求解设晴天有x天,雨天有y天,则可列得方程组： 20121121112214xyxy 1化简为5328xy 3用加减法消元： 253得：5()(53 )4028xyxy解得6y .所以其中6天下雨.【答案】其中6天下雨【例例 4】运来三车苹果,甲车比乙车多 4 箱,乙车比丙车多 4 箱,甲车比乙车每箱少 3 个苹果

6、,乙车比丙车每箱少 5 个苹果,甲车比乙车总共多 3 个苹果,乙车比丙车总共多 5 个苹果,这三车苹果共有多少个?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设乙车运来x箱,每箱装y个苹果,根据题意列表如下：车别甲乙丙箱数4x x4x 每箱苹果数3y y5y 根据上表可列出如下方程：433455xyxyxyxy,化简为4315(1)5415(2)yxxy,得：230x ,于是15x 将15x 代入或,可得：15y 所以甲车运 19 箱,每箱 12 个;乙车运 15 箱,每箱 15 个;丙车运 11 箱,每箱 20 个三车苹果的总数是：19 1215 1511 20673(个

7、)【答案】三车苹果的总数是：673个3【例例 5】有大、中、小三种包装的筷子27盒,它们分别装有18双、12双、8双筷子,一共装有330双筷子,其中小盒数是中盒数的2倍问：三种盒各有多少盒?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设中盒数为x,大盒数为y,那么小盒数为2x,根据题目条件有两个等量关系：227181282330xxyyxx 该方程组解得69xy,所以大盒有 9 个,中盒有 6 个,小盒有 12 个.【答案】大盒有 9 个,中盒有 6 个,小盒有 12 个【巩固】 用62根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15个.其中正方形的个数是三角形与五

8、边形个数和的一半,三角形、正方形和五边形各有多少个?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设三角形的个数为x,五边形的个数为y,那么正方形的个数为2xy,由此可列得方程组：152345622xyxyxyxy该方程组解得：46xy,所以52xy,因此三角形、正方形、五边形分别有4、5、6个.【答案】三角形、正方形、五边形分别有4、5、6个【例例 6】有1克、2克、5克三种砝码共16个,总重量为50克;如果把1克的砝码和5克的砝码的个数对调一下,这时总重量变为34克.那么1克、2克、5克的砝码有多少个?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】5克砝

9、码比1克砝码每多1个,对调后总重量将减少514 克,所以5克砝码比1克砝码多503444（个） 在原来的砝码中减掉4个5克砝码,此时剩下12个砝码,且1克砝码与5克同样多,总重量为30克设剩下 1 克、5 克各x个,2 克砝码y个,则212(15)230xyxy,解得36xy所以原有 1 克砝码 3 个,2 克砝码 6 个,5 克砝码347个【答案】原有 1 克砝码 3 个,2 克砝码 6 个,5 克砝码347个【巩固】 某份月刊,全年共出12期,每期定价2.5元某小学六年级组织集体订阅,有些学生订半年而另一些学生订全年,共需订费1320元;若订全年的同学都改订半年,而订半年的同学都改订全年,

10、则共需订费1245元则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设订半年的x人,订全年的y人,则：2.5(612 )13202.5(126 )1245xyxy,得288283xyxy,两式相加,得3()171xy,所以57xy,即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 57 人【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有 57 人【例例 7】有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市,由于可能超载,所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去,如果第一辆卡车转移出 20 筐,第二辆卡车转移出 30 筐,那么第一辆卡车剩4下的水果筐数是第二辆的1

11、.2倍,如果第一辆卡车转移出 21 筐,第二辆卡车转移出 25 筐,那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半,求原来两辆车上有多少筐水果?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设第一辆卡车上的水果有x筐,第二辆卡车上的水果有y筐,则有20301.2(1)212521252(2)xyxy ,由得1.216xy,代入得2.26292y ,解得70y ,所以1.21668xy,原来两辆车上分别装有 68 筐水果和 70 筐水果【答案】两辆车上分别装有 68 筐水果和 70 筐水果【巩固】 大、小两个水池都未注满水若从小池抽水将大池注满,则小池还剩5吨水;若从大池

12、抽水将小池注满,则大池还剩30吨水已知大池容量是小池的1.5倍,问：两池中共有多少吨水?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设大池中有x吨水,小池中有y吨水.则根据题目条件,两池一共有xy吨水,大池可装5xy 吨水,小池可装30xy吨水,所以可列得方程5(30) 1.5xyxy,方程化简为80xy,所以两池中共有80吨水【答案】两池中共有80吨水【例例 8】某公司花了 44000 元给办公室中添置了一些计算机和空调,办公室每月用电增加了 480 千瓦时,已知,计算机的价格为每台 5000 元,空调的价格为 2000 元,计算机每小时用电0.2千瓦时,平均每天使用 5

13、 小时,空调每小时用电0.8千瓦时,平均每天运行 5 小时,如果一个月以 30 天计,求公司一共添置了多少台计算机,多少台空调?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设添置了x台计算机,y台空调则有5000200044000(1)0.25 300.8 5 30480(2)xyxy 式整理得416xy,则164xy;代入得5000 164200044000yy,解得2y ,则8x ,所以公司一共添置了 8 台计算机和 2 台空调【答案】8 台计算机和 2 台空调【巩固】 甲、乙两件商品成本共600元,已知甲商品按45%的利润定价,乙商品按40%的利润定价;后来甲打8折出

14、售,乙打9折出售,结果共获利110元.两件商品中,成本较高的那件商品的成本是多少?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲、乙两件商品成本分别为x元、y元.根据题意,有方程组：600(145%)0.8(140%)0.9600110xyxy,解得460140xy所以成本较高的那件商品的成本是460元【答案】成本较高的那件商品的成本是460元【巩固】 某市现有 720 万人口,计划一年后城镇人口增涨0.4%,农村人口增长0.7%,这样全市人口增加0.6%,求这个城市现在的城镇人口和农村人口【解析】假设这个城市现在的城镇人口是x万人,农村人口是y万人,得：7200.4%0

15、.7%7200.6%xyxy,解得240480xy,即这个城市现在的城镇人口有 240 万,农村人口有 480 万【答案】城镇人口有 240 万,农村人口有 480 万5【例例 9】某次数学竞赛,分两种方法给分.一种是先给40分,每答对一题给4分,不答题不给分,答错扣1分,另一种是先给60分,每答对一题给3分,不答题不给分,答错扣3分,小明在考试中只有2道题没有答,以两种方式计分他都得102分,求考试一共有多少道题?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设小明答对了x道题,答错了y道题.由题目条件两种计分方式,他都得102分,可得到两条等量关系式：4041026033

16、102xyxy解得162xy,所以考试一共有162220道题.【答案】考试一共有162220道题【巩固】 某次数学比赛,分两种方法给分一种是答对一题给5分,不答给2分,答错不给分;另一种是先给40分,答对一题给3分,不答不给分,答错扣1分某考生按两种判分方法均得81分,这次比赛共多少道题?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设答对a道题,未答b道题,答错c道题,由条件可列方程 52811403812abac 由 1式知,a是奇数,且小于17 2 式可化简为 3413ca由 3式知,a大于13综合上面的分析,a是大于13小于17的奇数,所以15a 再由 1 3式得到3

17、b ,4c 153422abc,所以共有22道题【答案】共有22道题【巩固】 下表是某班40名同学参加数学竞赛的分数表,如果全班平均成绩是2.5分,那么得3分和5分的各有多少人?分数012345人数4710?8?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意,只要设得3分和5分的各有多少人,即可利用总人数和总分数而列方程组求解,等量关系有两条：一是各分数段人数之和等于总人数,各分数段所有人得分之和等于总分数.设得 3 分的人数有x人,得5分的人数有y人,那么：47108401 72 1034 85402.5xyxy ,化简为： 11135412xyxy 213,得到2

18、8y ,即4y ,再代入 1,最后得到方程组得解47xy,所以40名学生当中得3分的有7人,得5分的有4人【答案】得3分的有7人,得5分的有4人【例例 10】 在S岛上居住着100个人,其中一些人总是说假话,其余人则永远说真话,岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神向岛上的每一位居民提三个问题：您崇拜太阳神吗?您崇拜月亮神吗?您崇拜地球神吗?对第一个问题有60人回答：“是”;对第二个问题有40人回答：“是”;对第三个问题有30人回答：“是” 他们中有多少人说的是假话?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们将永远说真话的人称为老实人,把总说假话的人称

19、为骗子.每个老实人都只会对一个问题“是”.而每个骗子则都对两个问题答“是”.将老实人的数目计为x,将骗子的数目计为y.于是62130xy又由于在S岛上居住着100个人,所以100xy,联立两条方程,解得30y .所以岛上有30个人说的是假话【答案】30个人说的是假话【例例 11】 甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A配件与一个B配件组成甲每天生产 300 个A配件,或生产 150 个B配件;乙每天生产 120 个A配件,或生产 48 个B配件为了在 10 天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】

20、假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件,则他们生产B配件所用的时间分别为(10)x天和(10)y天,那么 10 天内共生产了A配件(300120 )xy个,共生产了B配件150(10)48(10)198015048xyxy个要将它们配成套,A配件与B配件的数量应相等,即300120198015048xyxy,得到7528330xy,则3302875yx此时生产的产品的套数为330283001203001201320875yxyyy,要使生产的产品最多,就要使得y最大,而y最大为 10,所以最多能生产出13208 101400 套产品【答案】最多能生产出1400套产品【巩固】 某服装厂有甲、乙两

21、个生产车间,甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件;乙车间每天能生产上衣 18 件或裤子 24 件现在要上衣和裤子配套,两车间合作 21 天,最多能生产多少套衣服?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天,则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x天和(21)y天,那么总共生产了上衣(1618 )xy件,生产了裤子20(21)24(21)9242024xyxy件根据题意,裤子和上衣的件数相等,所以16189242024xyxy,即67154xy,即15476yx那么共生产了15472216181618410633

22、yxyyy套衣服要使生产的衣服最多,就要使得y最小,则x应最大,而x最大为 21,此时4y 故最多可以生产出22410440833套衣服【答案】最多可以生产出408套衣服【例例 12】 一片青草,每天长草的速度相等,可供10头牛单独吃20天,供60只羊单独吃10天如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么,10头牛与60只羊一起吃草,这片草可以吃_天【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】把1只羊每天的吃草量当作单位“1”,则1头牛每天的吃草量为4,设原有草量为x,每天的长草量为y,那么：204 1020101 60 10xyxy 解得400x ,20y ,如果10头牛

23、与60只羊一起吃草,这片草可以吃400(4 101 6020)5 (天)【答案】5【例例 13】 甲、乙、丙沿着环形操场跑步,乙与甲、丙的方向相反甲每隔19分钟追上丙一次,乙每隔5分钟与丙相遇一次如果甲4分钟跑的路程与乙5分钟跑的路程相同,那么甲的速度是丙的速度的多少倍?甲与乙多长时间相遇一次?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】把环形操场的周长看作 1,设甲每分钟跑的路程为x,丙每分钟跑的路程为y根据题意可知乙每7分钟跑的路程为45x有：1194155xyxy,解得857557xy所以甲的速度是丙的速度的851.65757倍;甲与乙相遇一次所用的时间为884231

24、()35757524分钟【答案】甲的速度是丙的速度的1.6倍;甲与乙相遇一次所用的时间为23324分钟【例例 14】 甲、乙二人从相距60千米的两地同时出发,沿同一条公路相向而行,6小时后在途中相遇如果两人每小时所行走的路程各增加1千米,则相遇地点距前一次地点差1千米.求甲、乙两人的速度【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲速为每小时x千米,乙速为每小时y千米.根据第一次相遇的条件,可知：660xy,则10xy,即甲、乙两人的速度和为10千米/小时,所以第二次相遇两人的速度和为12千米/小时.第二次相遇时,甲走的路程可能比第一次少1千米或多1千米,即(61)x 千

25、米,或(61)x 千米.由此可列第二条方程：5(1)61xx或5(1)61xx.因此可列的方程组有：105(1)61xyxx解得64xy,或105(1)61xyxx解得46xy.所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为6千米/小时和4千米/小时【答案】甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为6千米/小时和4千米/小时【例例 15】 从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米车从甲地开往乙地需9小时,从乙地到甲地需7.5小时,问：甲乙两地公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解

26、答 【关键词】华杯赛,复赛【解析】 (法 1)从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得： 920351735202xyxy解得140x ,70y ,所以甲、乙两地间的公路有14070210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路答：甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路【答案】甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路【巩固】 从A村到B村必须经过C村,其中A村至C村为上坡路,C村至B村为下坡路,A村至B村的总路程为20千米某人骑

27、自行车从A村到B村用了2小时,再从B村返回A村又用了1小时45分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变,而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设A、C之间的路程为x千米,自行车上坡速度为每小时y千米,则C、B之间的路程为(20) x 千米,自行车下坡速度为每小时2y千米依题意得：82022203124xxyyxxyy,两式相加,得：202032124yy,解得8y ;代入得12x 故A、C之间的路程为12千米,自行车上坡时的速度为每小时8千米【答案】A、C之间的路程为12千米,自行车上坡时的速度为

28、每小时8千米【巩固】 华医生下午 2 时离开诊所出诊,走了一段平路后爬上一个山坡,给病人看病用了半小时,然后原路返回,下午 6 时回到诊所医生走平路的速度是每小时 4 千米,上山的速度是每小时 3 千米,下山的速度是每小时 6 千米,华医生这次出诊一共走了 千米【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】2004年,南京市,冬令营【解析】设平路长a千米,山坡长b千米,则共走了2()ab千米,根据题意,列方程3.54346abab,1()3.52ab,2()14ab所以,华医生这次出诊一共走了 14 千米【答案】14【例例 16】 小明从自己家到奶奶家时,前一半路程步行,后

29、一半路程乘车;他从奶奶家回家时,前13时间乘车,后23时间步行结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时已知小明步行每小时行5千米,乘车每小时行15千米,那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛【解析】设小明家到奶奶家的路程为x千米,而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y小时,那么根据题意有：112225151215533xxyxyy,解得： 15018xy答：小明从自己家到奶奶家的路程是150千米【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是150千米【例例 17】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从A到B,唐老鸭

30、从B到A,米老鼠与唐老鸭行走速度之比是6 5,如下图所示426BDMCAM是A、B的中点,离M点 26 千米的C点有一个魔鬼,谁从它处经过就要减速 25%,离M点 4千米的D点有一个仙人,谁从它处经过就能加速 25%现在米老鼠与唐老鸭同时出发,同时到达,那么A与B之间的距离是 千米【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】设AMMBx,米老鼠的行走速度为6k,则唐老鸭的行走速度为5k(0k ),如下图,则有米老鼠从A到B需要时间9x-430x-26ACMDB2630466(125%)6(125%)(125%)xxkkk11614(4)615xxk,唐老鸭从B到A需要时间4

31、302655(125%)5(125%)(125%)xxkkk11620(26)515xxk因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同,所以列方程11611614(4)20(26)615515xxxxkk,解得46x 所以,A、B两地相距 92 千米【答案】A、B两地相距 92 千米【例例 18】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点.如果甲速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点10千米如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点E距C点5千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米?【考点】列方程组

32、解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲速度不变,乙每小时多行4千米,相遇点D距C点10千米,出发后 5 小时,甲到达C,乙到达F,因为乙每小时多行4千米,所以4520FC 千米,那么10FDDC千米,也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同,也就是说原来甲比乙每小时多行4千米.乙速度不变,甲每小时多行3千米,相遇点E距C点5千米,出发后5小时乙到达C,甲到达G,因为甲每小时多行3千米,所以3 515GC 千米.那么10GE 千米,5EC 千米.所以2EGEC,即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的 2 倍,所以甲每小时多行 3 千米后,速度是乙的两倍. 于是可列得方程组：432v

33、vvv乙甲乙甲,解得117vv甲乙,所以甲原来每小时11千米.【答案】甲原来每小时11千米【例例 19】 甲、乙二人共存款100元,如果甲取出49,乙取出27,那么两人存款还剩60元.问甲、乙二人各有存款多少元?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲存款x元,乙存款y元,根据题目条件有两条等量关系,一是两人存款加起来等于100元,二是取钱后两人存款加起来有60元.由此可列得方程组:100421006097xyxy方程组最终解得7228xy,所以甲存款72元,乙存款28元【答案】甲存款72元,乙存款28元【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液2600克,从甲容器取出14的

34、溶液,从乙容器取出15的溶液,结果两个容器共剩下2000克.问：两个容器原来各有多少溶液?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 10【解析】设甲容器有溶液x克,乙容器有溶液y克,根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来等于 2600 克,二是取溶液后两容器加起来有 2000 克.由此可列得方程组:26001111200045xyxy方程组最终解得16001000xy,所以甲容器中有溶液 1600 克,乙容器中有溶液 1000 克【答案】甲容器中有溶液 1600 克,乙容器中有溶液 1000 克【例例 20】 某班有45名同学,其中有6名男生和女生的17参加了数学竞赛,

35、剩下的男女生人数正好相等.问：这个班有多少名男生?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设有x名男生和y名女生,那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为 45 人,二是剩下的男女生人数相等,由此可列得方程组：451617xyxy该方程组解得2421xy,所以这个班有24名男生【答案】这个班有24名男生【巩固】 甲、乙两班人数都是 44 人,两班各有一些同学参加了数学小组的活动,甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的13,乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的14,那么共有多少人未参加数学小组?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设

36、甲、乙两班参加数学小组的人数分别为x人、y人,未参加人数分别为44x人、44y人,由题设已知条件可以得到：1(44)31(44)4xyxy,解之得128xy所以未参加兴趣小组的人数 444468xy人【答案】未参加兴趣小组的人数68人【例例 21】 一群小朋友去春游,男孩戴小黄帽,女孩戴小红帽在每个男孩看来,黄帽子比红帽子多5顶;在每个女孩看来,黄帽子是红帽子的2倍问：男孩、女孩各有多少人?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设男孩有x人,女孩有y人根据条件可列方程：(1)52(1)xyxy由第一条方程可以得到6xy,代入第二条方程得到62(1)yy.解得8y ,再

37、代入第一条方程方程解得148xy.所以男孩有14人,女孩有8人【答案】男孩有14人,女孩有8人【巩固】 有大小两盘苹果,如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里,两盘苹果一样多;如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里,大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 11【解析】设原来大盘有苹果x个,小盘有苹果y个.那么可列方程组：11131xyxy ,方程组解得53xy,所以大盘原来有苹果5个,小盘原来有苹果3个【答案】大盘原来有苹果5个,小盘原来有苹果3个【巩固】 教室里有若干学生,走了10名女生后,男生是女生人数的2倍,又走了9

38、名男生后,女生是男生人数的5倍.问：最初有多少名女生? 【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设原来男生人数为x,女生人数为y,那么根据题目条件有以下数量关系：2(10)5(9)(10)xyxy方程组化简为：1015xy,所以最初有15名女生【答案】以最初有15名女生【例例 22】 一位牧羊人赶着一群羊去放牧,跑出一只公羊后,他数了数羊的只数,发现剩下的羊中,公羊与母羊的只数比是9:7;过了一会儿跑走的公羊又回到羊群,却又跑走了一只母羊,牧羊人又数了数羊的只数,发现公羊与母羊的只数比是7:5这群羊原来有多少只?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【

39、解析】设原来公羊有x只,母羊有y只,那么根据题目条件有以下数量关系：1 :9:7:17:5xyxy,根据有关比例性质,方程组可化简为：2821xy,所以这群羊原来有282149只.【答案】这群羊原来有49只【巩固】 口袋中有若干红色和白色的球若取走一个红球,则口袋中的红球占27;若取出的不是一个红球而是两个白球,则口袋中的白球占23.原来口袋中白球比红球多多少个?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设原来红球数为x,白球数为y,那么根据题目条件有以下数量关系：21172223xxyyxy方程组解得920xy,原来口袋中白球比红球多20911个【答案】原来口袋中白球比

40、红球多11个【例例 23】 甲、乙两种商品的原来价格比是7:3如果它们的价格各自上涨70元,它们的价格比变为7:4求甲乙两种商品的原价各是多少元?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法1：设甲乙两种商品原来价格分别为7x元,3x元,根据涨价后价格比为7:4,列方程得(770):(370)7:4xx,解得30x ,原来两种商品的原价各是730210元,3 3090元方法2：设甲乙两种商品原价各是x元,y元,依题意列方程组得73707704xyxy解得21090xy12甲乙两种商品原价各是210元,90元方法3：由于原来两种商品相差734份,涨价后相差743份,由于涨

41、价钱数相同,所以应涨3,412份,所以原来两种商品的价格比73:3 321:9,涨价后价格比74:4428:16,所以价格涨了7份,恰是70元,所以1份是10元,所以原来两种商品的价格各是为210元,90元【答案】原来两种商品的价格各是为210元,90元【巩固】 兄弟两人每月收入比4:3,支出钱数比18:13,他们每月都节余360元,求兄弟两人月收入各多少?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法1:设兄弟两人每月收入分别为4x元,3x元,根据支出钱数比18:13列方程得(4360):(3360)18:13xx,解得900x ,所以兄弟两人收入各是49003600元

42、,3 9002700元方法2：设兄弟两人月收入各是x元,y元根据两个比例列方程得:4:3(360):(360)18:13x yxy解得36002700xy所以兄弟两人收入各是3600元,2700元方法3：由于兄弟结余相同,所以兄弟收入差和支出差相同,而收入差为431份,支出差为18135份,所以收入差应为和支出差应为5份,所以兄弟收入比为45:3 520:15,所以结余应为201815132份对应360元,所以1份就是180元,所以兄弟两人月收入各是180203600元,180 152700元【答案】兄弟两人月收入各是3600元,180 152700元【例例 24】 小明用8个一样大的小长方形

43、拼图,拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形,图案乙是一个大的长方形;图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞求小长方形的长和宽?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽,由乙图可以看出小长方形的3个长等于小长方形的5个宽,所以设小长方形的长为x cm,宽为y cm,依题意列方程得2235xyxy,解得106xy【答案】长10厘米,宽6厘米【例例 25】 如图,图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积试问：包含X这个字母的四边形面积是多少?X8105 baX8105【考点】列方程组解应

44、用题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如图,设虚线把四边形X分成面积为a、b的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于乙甲13相应底边之比,可得：55108aab（可化简为28ab）和88105bab（可化简为5420ba）,由这两条方程构成方程组：285420abba,方程组可解得：1012ab,所以四边形X的面积为101222【答案】四边形X的面积为22【例例 26】 图中的三角形都是等边三角形,三角形A的边长是24.7,三角形B的边长是26问：所夹三角形C的边长是多少?CBA yx4321CBA【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,总决赛【解

45、析】如图,设相应的三角形的边长是x和y,则可知： 标号为1的三角形的边长是：26x 标号为4的三角形的边长是：xy 标号为3的三角形的边长是：2yxyyx 最小的三角形的边长是：26226xxx; 标号为2的三角形的边长是： 2226226yxxyx或26226523xxx 所以,24.7239xyyx 解上述方程,14.310.4xy,可以得到三角形C的边长是15.6【答案】三角形C的边长是15.6【例例 27】 甲、乙、丙三个人玩三张牌,这三张牌分别写着不同的自然数,洗牌后发给每人一张,按每人所拿的自然数得分,重复玩了3次后,甲共得19分,乙和丙各得13分,那么这三张牌上写的数是哪三个数?

46、【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】三张牌上的三个数之和是191313315因为3不能整除13和19,所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌,又因为谁也没有拿到三张牌各1次,所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次设三张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分,推知乙、丙的三张牌是c、c、a和b、b、c.则甲的三张牌是a、a、b. 191132133aabbbccca由 212得425ac.由 243得963a ,从而7a 4 .14将7a 代入 1、 3得5b ,3c .所以,三张牌从大到小写的数依次是7,5,3.【答案】三张牌从大到小写的数依次是7

47、,5,3【例例 28】 三张卡片上分另标有p、q、r数码(整数)且0pqr,游戏时将三张卡片随意分发给A、B、C三个人,每人各一张,根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分,如此重复游戏若干轮,结果A、B、三人得分总数分别为 20、10、9已知B在最后一轮的得分是r,那么 在第一轮得分是q;p、q、r分别是 、 、 【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯【解析】三人总分为20109391 393 13 如果游戏进行了 39 或 13 轮,则1pqr或 3,与0pqr矛盾;如果游戏只进行了 1 轮,则20r ,被A得到,与“B在最后一轮的得分是r”矛盾所以游

48、戏进行了 3 轮,且13pqr因为B共得 10 分,且最后一次得r分,所以前两次都得p分,否则三次至少得 13 分因为C三次总分比B少,所以C没得过r分,前两次都得q分,即第一轮得q分的是C假设C三次都得q,由B得10ppr和A得20rrp,解得10r ,0p ,与0p 矛盾,所以C前两次得q,最后一次得p由29,210,220,pqprrq解得1p ,4q ,8r 【答案】第一轮得q分的是C 1p ,4q ,8r 【例例 29】 某校五年级共有 110 人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组已知参加语言语小组的有 52 人,只参加语文小组的有 16 人;参加英语小组的有 61

49、 人,只参加英语小组的有15 人;参加数学小组的有 63 人,只参加数学小组的有 21 人那么三组都参加的有 人【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】如图,由题设条件知,521636ABD,61 1546ACD,学 学学 学学 学161521DCBA632142BCD,三式相加得2()124ABCDD又110(161521)58ABCD,代入上式得8D 即三组都参加的有 8 人【答案】三组都参加的有 8 人【巩固】 有甲、乙、丙、丁4个人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17,这4人中最大年龄与最小年龄的差

50、是多少?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 15【解析】设甲、乙、丙、丁4个人的年龄分别为abcd、,那么有：293233213173abcdbcdaacdbabdc把四个式子加起来得到：45(1)abcd再将上面方程组里面的每个式子3后与1（）式相减分别得到：12a ,9b ,3c ,21d ,所以年龄最大与最小的差值为21318岁答：这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁【答案】这4人中最大年龄与最小年龄的差是18岁模块二、设而不求【例例 30】10位小学生的平均身高是1.5米,其中有些低于1.5米的,他们的平均身高是1.2米;另一些高于1.5米的,平均身高是1.7米,

51、那么最多有_位同学的身高恰好是1.5米【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设身高低于1.5米的有x人,身高高于1.5米的有y人,则：1.21.71.5()xyxy,得32xy,所以x最小为2,y最小为3,身高恰好是1.5米的同学最多有10(23)5人【答案】身高恰好是1.5米的同学最多有5人【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知7个大和尚每天共吃41个馒头,29个小和尚每天共吃11个馒头,平均每个和尚每天恰好吃一个馒头问：庙里至少有多少个和尚?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设庙里有7x个大和尚,29y个小和尚,则共吃411

52、1xy个馒头由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”,可列方程：7294111xyxy,化简为179xy当9x ,17y 时和尚最少,有7929 17556(个)和尚【答案】至少有556个和尚【巩固】 在一次团体知识竞赛中,某学校的平均分是 88 分,其中女生的平均成绩比男生高10%,而男生的人数比女生多10%问男、女生的平均成绩各是多少分?【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设男生的平均成绩为x分,女生的人数为y人,根据题意可知女生的平均成绩为(1 10%)1.1xx分,男生的人数为(1 10%)1.1yy分,则：1.11.188(1.1 )xyxyyy,解得84x

53、,所以男生的平均成绩为 84 分,女生的平均成绩为84 1.192.4分【答案】男生的平均成绩为 84 分,女生的平均成绩为92.4分【例例 31】 某次演讲比赛,原定一等奖10人,二等奖20人,现将一等奖中的最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】设原来一等奖的平均分为x分,二等奖的平均分为y分,得： 10(104)(3)(204)(1)20xxyy 418424xy16 4442xy 10.5xy, 即原来一等奖平均分比二等奖平均

54、分多10.5分【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分【例例 32】 有两个学生参加 4 次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于 90 分的整数他们又参加了第 5 次测验,这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分求第 5 次测验两人的得分(每次测验满分为 100 分)【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设某一学生前 4 次的平均分为x分,第 5 次的得分为y分,则其 5 次总分为4905450xy,于是4504yx显然90100y,故904504100x,解得87.590x由于x为整数,可能为 88 和 89,而且这两个学生前 4 次的平均分不同,所

55、以他们前 4 次的平均分分别为 88 分和 89 分,那么他们第 5 次的得分分别为：45088498分;45089494分【答案】第 5 次的得分分别为：98分;94分【例例 33】 购买 3 斤苹果,2 斤桔子需要6.90元;购买 8 斤苹果,9 斤桔子需要22.80元,那么苹果、桔子各买1 斤需要 元.【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】希望杯,1 试,六年级 【解析】假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要x元、y元,则：326.98922.8xyxy,两式相加得111129.7xy,即2.7xy.所以各买 1 斤需要2.7元.点评：从上面的过程可以看出,本题可以

56、直接采用算术解法：买3811斤苹果和2911斤苹果,须6.9022.8029.7元,所以各买 1 斤需要29.7112.7元.【答案】各买 1 斤需要2.7元【例例 34】 有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需20元;若购甲4件、乙10件、丙1件,共需27元;则购买甲、乙、丙各1件,共需要 元.【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯【解析】设甲、乙、丙的单价分别为x,y,z,则3720(1)41027(2)xyzxyz,由(1)3(2)2 得3202276xyz,即各买一件需要6元.点评：本题实际上是三元一次方程,但整体代入消元的思想与二元

57、一次方程是相同的.【答案】各买一件需要6元【例例 35】 假设五家共用一井取水,甲用绳2根不够,差乙家绳子1根;乙用绳3根不够,差丙家绳子1根;丙用绳子4根不够.差丁家绳子1根;丁用绳子5根不够,差戊家绳子1根;戊用绳6根不够,差甲家绳子1根如果各得所差的绳子1根,都能到达井深问井深,绳长各是多少?（井深为小于1000的整数）【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A、B、C、D、E,井深k,则可列出方程组如下：23456ABkBCkCDkDEkEAk17这个方程组不是二元一次方程组,但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同,依次迭代2

58、BkA,362CkBAk,4924DkCkA,512044EkDAk,代入最后一个式子,612044AkAk,即721265Ak,所以265A ,721k 于是,191B ,148C ,129D ,76E 【答案】井深721,甲家绳长265,乙家绳长191,丙家绳长148,丁家绳长129,戊家绳长76【例例 36】 在同一路线上有4个人:第一个人坐汽车,第二个人开摩托车,第三个人乘助力车,第四个人骑自行车,各种车的速度是固定的,坐汽车的12时追上乘助力车的,14时遇到骑自行车的,而与开摩托车的相遇是16时开摩托车的遇到乘助力车的是17时,并在18时追上骑自行车的,问骑自行车的几时遇见乘助力车的

59、?【考点】列方程组解应用题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用,所以我们从12时开始考虑设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a、b、c、d,设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x,骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y有2.(1)4.(2)5.(3)6.(4)xadxyabxybcybd (1)2(3)2(2)(4)得到310xcd,即103xcd设骑自行车的在t时遇见骑助力车的,则 12xtcd,即10123t ,所以1153t 所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的【答案】骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的【例例 37】 河

60、水是流动的,在Q点处流入静止的湖中,一游泳者在河中顺流从P到Q,然后穿过湖到R,共用3小时若他由R到Q再到P,共需6小时如果湖水也是流动的,速度等于河水的速度,那么从P到Q再到R需52小时问在这样的条件下,从R到Q再到P需几小时?【考点】列方程组解应用题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】设游泳者的速度为1,水速为y,PQa,QRb,则有： 3115212631abyabyaby且有1y、1y、y均不为0 12得112byy,即 142yby 31得2231ayy,即 23 152yay由 2 、 4 、 5 得：5114322yyabyy,即543yy于是,12y 由 2 得：51151224ab 1511511422aby小时18即题中所述情况下从R到Q再到P需152小时【答案】从R到Q再到P需152小时