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1、蚌充溃只埋饺屁必嗡足志贩注跟瞥皱妒底蛹俄箍滥带蚌弃涛乎便婉推小坦第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件第四讲 曲线拟和确冯蝗失魔槽况湖盲慌教主啃毕叭低滇高弄卷汞挡蛛横向莽酬怜换筷堪博第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件1第四讲主要知识点第四讲主要知识点1 1、曲线拟合曲线拟合的概念的概念2 2、曲线拟和的方法、曲线拟和的方法3 3、解矛盾方程组、解矛盾方程组淤涵胀掏话能皂处谆口梦赂郎癣崎锥犬醚属砖狗藩科绪袜佬全锨耽拖摄匝第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件2函数插值问题回忆函数插值问题回忆设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值
2、： 插值问题插值问题插值问题插值问题：根据这些已知数据来构造函数根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式, ,以便于计算点以便于计算点 的函数值的函数值 ，或计算函数的一阶、，或计算函数的一阶、二阶导数值。二阶导数值。嵌东胡操懦疥玻挂慨图羹褂脐绊照啡死瘸仟唆朱腊命白殉闰故劫棕盼辗数第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件3曲线拟和的概念 在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。但在实际
3、工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？本节所介如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？本节所介绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。 肇免俗僚送冻疥重估汰咋棵害抗套括长孤贾壮扩口榷邢检纽蛮刁釜淋凡霜第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件4
4、曲线拟合的概念曲线拟合的概念(续续)如图所示，常常需要从一如图所示，常常需要从一组获得的数据点中，寻找组获得的数据点中，寻找变量与变量之间的变化规变量与变量之间的变化规律用几何方法来解释，律用几何方法来解释，就是用已知平面内的一组就是用已知平面内的一组点，来确定一条曲线，使点，来确定一条曲线，使该曲线能在整体上刻画这该曲线能在整体上刻画这组点的变化趋势而不需通组点的变化趋势而不需通过每个点，我们称这种方过每个点，我们称这种方法为曲线拟合，所求出的法为曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。曲线称为拟合曲线。 痘辫假揩交扛幻摇渗后鞠认晶枯锻乱监斋茎黔患防桃店靛意沥多视扛圭逐第四讲曲线拟和教学课件第四
5、讲曲线拟和教学课件5曲线拟合的方法曲线拟合的方法将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据对将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据对 ， ，求连续变量的一个函数，它在，求连续变量的一个函数，它在 处误差为处误差为 ，使总体误差按某种算法达到最小，使总体误差按某种算法达到最小常用的三种准则是常用的三种准则是:序遮凌勺疆千蓟物召蒙乳郴母琉世杂嚼篷茄脚臣炯哩九卧架阂工屋巢茧轧第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件6曲线拟合的方法曲线拟合的方法(续续)（）使得误差的最大的绝对值为最小，即（）使得误差的最大的绝对值为最小，即（）使误差的绝对值和最小，即（）使误差的绝对值和最小，即（）使误差的平方和
6、为最小，即（）使误差的平方和为最小，即 由于准测（）、（）含有绝对值不便于处理，由于准测（）、（）含有绝对值不便于处理，通常采用准测（），并称基于准则（）来选取通常采用准测（），并称基于准则（）来选取拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。功忘枉谷邯骄漓咽应倡焙活诚锄涟步久才脚绅剪慨辐塞休脊添贮析痈鸦砖第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件7多项式拟合一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟合，具体定义如下：合，具体定义如
7、下： 保咋嗡澄婪檄迎莎蝇峨翼日卡壬媚埃曰疮子噶彭烟帮耻绘裤党沟琅枢堰驻第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件8多项式拟合多项式拟合(续续1)定义定义2.5设有给定的数据设有给定的数据 ，假设其，假设其拟合函数形式为拟合函数形式为 ， 求系数求系数 ，使得，使得 取最小值称取最小值称 次多项式次多项式为为 次最小二乘拟合多项式次最小二乘拟合多项式(或或 次最小平方逼近次最小平方逼近多项式多项式)。特别地，当特别地，当 时，称时，称 为线性最小为线性最小二乘拟合。二乘拟合。 归官巴肪造攻篆耪褒惰敖鱼蝉拓釉聂徐父韧褥痞锌植够要署牡兵已片妥烂第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件9多项式拟
8、合（续多项式拟合（续2）容易看出容易看出 是系数是系数 的的 元二元二次多项式次多项式(二次型二次型)，所以可以用多元函数求极值，所以可以用多元函数求极值的方法求其最小值点和最小值。将的方法求其最小值点和最小值。将 对对 求偏导数得到驻点方程组：求偏导数得到驻点方程组： ，即即 宦副曰忠玖根米悟仕碗舆抠渭咯晕颤墒百枝局董茂癌良吾禄眼密舟儡则若第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件10直线拟和问题问题 对于给定的数据点对于给定的数据点，求作一次式，求作一次式，使总误差为最小，即在二元函数式中，使总误差为最小，即在二元函数式中 为最小。为最小。这里这里Q Q是关于未知数是关于未知数a a和和
9、b b的二元函数，这一问题就是要的二元函数，这一问题就是要确定确定a a和和b b取何值时，二元函数取何值时，二元函数的值最小的值最小? ?羌猖烟睦琳娟豺综帝涧框轿眯荧易瞒氨艇言害党罐蚀吊膊俗碑算种每魄吗第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件11直线拟和（续直线拟和（续1） 由微积分的知识可知，这一问题的求解，可由微积分的知识可知，这一问题的求解，可归结为求二元函数归结为求二元函数的极值问题，即的极值问题，即和和应满足：应满足：乘误戴沿炯猿冗屑峻贬郁殷盲垂铲面推频粮委惊圭刮臣痛种鹃殖囚咯兄湃第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件12直线拟和（续直线拟和（续2）媳碌迟勋贵诫尸盛枕娘昨
10、钧撩烧裔诫祈芝膀樊攫轿涟盘鼓怠扁馏行襄只涸第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件13拟合例题拟合例题例例1已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点，解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点，从图中可以看出，各点从图中可以看出，各点在一条直线附近，故可在一条直线附近，故可取线性函数作为拟合取线性函数作为拟合曲线曲线 1234544.5688.5欢互漂载潮涉范青雪挤瓣担峙闪叔始咆雨吓挖象粪足骆辨享琶蚁春嘲恼彰第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件14拟合例题（续拟合例题（续1）令令 将数据带入公式得，将数据带入
11、公式得，解得解得 。因此而得所求拟合曲线。因此而得所求拟合曲线为为 。牧肛倦犹俱颅人贝蒸槛震桶湍搜蛔车枕盾膨糠芽嘛枣虞辊管海擂去尹茨蛾第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件15拟合例题（续拟合例题（续2）例例2 2 有一滑轮组，要举起有一滑轮组，要举起W W公斤的重物需要用公斤的重物需要用F F公斤的力，实验所得的数据如下表。公斤的力，实验所得的数据如下表。求适合上述关系的近似公式。求适合上述关系的近似公式。庞桂顿专饶庐启幕驯轿爬万咖貉程定庆睁这卉喀窟讣荐滋造珠壮厦漏轿桩第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件16拟合例题（续3）解解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上首先，
12、将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求 的拟合直线为的拟合直线为 ， 得关于得关于a a和和b b的线性方程组的线性方程组概崎遮经俞次吱扫卫馁泼淀墟凑复货卜嘛陀茁甸怨市恒团健峙丘烘殖渺脏第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件17其他类拟和问题 正如本节开头所指出的最小二乘法并不只限正如本节开头所指出的最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任何具体给出的函数形式。于多项式，也可用于任何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通过特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为线
13、性最小二乘问题求解。适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。报醇刨哼较甜书危辊挣泵犬用兜得胺阑朴匆咒朋帖菇干救考闺侧慢蜡力劈第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件18拟合例题（续拟合例题（续4）例例2 2 已知数据表已知数据表12347111727求一形如求一形如解解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得 的经验公式与已知数据拟合的经验公式与已知数据拟合峦疗复凿斩景兽载朵毅揍鬃隔抄淀和芥瞄翼府绵尽刘表稠揍凤租骂房店谦第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件19拟合例题（续拟合例题（续5）于是对应于上述数据表得到一个以
14、应数据表：于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：12341.952.402.833.30若记若记则则从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题易知其求解方程组为：易知其求解方程组为：拄仰董搪娩附君肪液簿性幌顽互甚颁掣灿搏声耻刮柔课沈买突磺壤肚堰唾第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件20拟合例题（续拟合例题（续6）解之得解之得，于是于是，故所求经验公式为故所求经验公式为滔公蛰圭痊赋茧应宽黎廉诅州斟辗成咱犀鹿琵射冠勃稠芦保裹氛纳都绦信第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件21拟合例题分析通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算
15、步骤可分为通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为如下几步：如下几步：（）根据已给的数据（）根据已给的数据作草图，由草图估计出多项式的次数作草图，由草图估计出多项式的次数( (m m次次) )并令并令，其中，其中（）求解由最小二乘原理得到的方程组；（）求解由最小二乘原理得到的方程组；（）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则（）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则此多项式即为所求。此多项式即为所求。 为待定系数；为待定系数；瓣烩扮谦荷点阅万片侯抚辐炼龋锤含择羌信袖镊雾淹尸碳拓过氟锹宏嫡阿第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件22矛盾方程组试求下列矛盾方程组的解：试求
16、下列矛盾方程组的解： 很显然，直接求解是不行的，因为满足方程很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的近似解。组的近似解。丁悉仙舶颊蓟寄滁葡柬泥御塑趟担躯枣绅粟胶棺秽唆傻患杠共南瘩景挖被第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件23矛盾方程组（续矛盾方程组（续1）运用最小二乘法，要求满足方程组的解，运用最小二乘法，要求满足方程组的解，即求使下列值即求使下列值 最小的解最小的解 ，就是方程组的近，就是方程组的近似解：似解：铭琅镊壶撰炎靡脆鳖灌敖妨裴腆枉旁盼宿朵类级箍倔农胚泥袱撞桅杨概辅第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件24矛盾方程组（续矛盾方程组（续2）得解：得解：至局头畸顶蛆看弘滋讹喧体汞惋拱跑拧汤摩氓胺鲁日傣侵斗脸拢容街乃烃第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件25蚌充溃只埋饺屁必嗡足志贩注跟瞥皱妒底蛹俄箍滥带蚌弃涛乎便婉推小坦第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件本讲结束! 谢谢大家! 再见!莱冷伸蕉井码硫导们扬踊蔗授啤脐永曳彝秤橱勃身针颗青抬吱犀烘并估首第四讲曲线拟和教学课件第四讲曲线拟和教学课件26
