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1、第第1 1页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 概率论与数理统计概率论与数理统计第第十一讲十一讲王小才主讲教师：主讲教师：淮阴工学院数理学院淮阴工学院数理学院淮阴工学院数理学院淮阴工学院数理学院4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数第第2 2页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 问题的提出问题的提出 协方差协方差第第3 3页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.3.1 4.3.1 协方差协方差
2、 定义：定义：若若 E X-E(X)Y-E(Y) 存在，则称其存在，则称其为为X 与与Y 的协方差，记为的协方差，记为Cov(X,Y), 即即Cov(X, Y) = E X-E(X)Y-E(Y) . CovarianceCovariance 协方差反映了协方差反映了X与与Y不独立的事实不独立的事实X与与Y联系的密切程度联系的密切程度第第4 4页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2. 性质性质 (1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； Cov(X, X) = D(X)；对称性对称性对称性对称性(3). Cov(X1+
3、X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；(2). 设设 a, b, c, d 是常数，则是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；线性性线性性第第5 5页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 3. 3. 协方差的计算公式协方差的计算公式证明证明当当 X 和和 Y 相互独立时，相互独立时，Cov(X, Y)=0；第第6 6页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 若若 X1, X2, , Xn 两两独立，则两两独
4、立，则 可推广到可推广到 n 个随机变量的情形个随机变量的情形(了解了解)第第7 7页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 协方差的大小在一定程度上协方差的大小在一定程度上反映了反映了X 和和Y相互相互间的关系间的关系，但它还受，但它还受X 和和Y 本身度量单位的影响。本身度量单位的影响。 例如：例如：Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了就引入了就
5、引入了就引入了相关系数相关系数相关系数相关系数 。第第8 8页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4 4.3.2 .3.2 相关系数相关系数为随机变量为随机变量X 和和Y 的相关系数的相关系数 。 定义定义: 设设D(X) 0, D(Y) 0, 则称则称无量纲无量纲无量纲无量纲的量的量的量的量Correlation coefficientCorrelation coefficient 第第9 9页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 引理引理引理引理: : 对于二维随机
6、向量对于二维随机向量对于二维随机向量对于二维随机向量( (X X, ,Y Y), ),若若若若E E( (X X2 2), ), E E( (Y Y2 2) )存存存存在在在在, ,则有则有则有则有| |E E( (XYXY)| )|2 2 E E( (X X2 2) )E E( (Y Y2 2) ) 证明证明: 考虑实变量考虑实变量t的二次函数的二次函数h(t)=E(tX-Y)2=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因为对一切因为对一切t t, ,有有(tX-Y)20,0,所以所以h( (t)0. )0. 从而二次方程从而二次方程h(t)=0或者没有实根或者没有实根,或者只有重根或者
7、只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得因而，由二次方程根的判别式知识得|E(XY)|2E(X2)E(Y2)第第1010页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 性质性质1 1:随机变量随机变量X和和Y的相关系数满足的相关系数满足|XY|1.证明证明证明证明 令令令令则则则则从而从而从而从而| |XY|1.|1.相关系数的性质相关系数的性质第第1111页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 性质性质2PY=aX + b=1存在常数存在常数 使得使得第第1212页页第第第第
8、4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 的大小反映了的大小反映了X与与Y之间的线性关系：之间的线性关系： ，X 与与 Y 间间 正相关正相关. ，X 与与 Y 间间 负相关负相关. ，X 与与 Y 不相关不相关. 完全正相关完全正相关. 完全负相关完全负相关.X 与与Y 不相关表示不相关表示X 与与Y 间没有线性关系间没有线性关系.UncorrelatedUncorrelated positive correlatedpositive correlatednegative correlatednegative correlated第第1313页
9、页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 oXYoooXXXYYY0101-1 0, D(Y) 0 .所以，所以， XY = 0，即即 X 与与 Y 不相关。不相关。xy0第第2323页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 此题此题 XY = 0，即即 X 与与 Y 不相关。不相关。由由75页，页， X 与与 Y 不独立。不独立。不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系相互独立相互独立不相关不相关第第2424页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征
10、随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第第2525页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 k k 阶阶阶阶( (原点原点原点原点) )矩矩矩矩： k k = = 特别地，特别地，特别地，特别地，1 1阶矩就是期望：阶矩就是期望：阶矩就是期望：阶矩就是期望： 1 1 = = EXEX. . k k 阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩： k k = = E E( (X X EX EX ) )k k ， k k = 2, 3, = 2, 3, 特别地，特别地，特别地，特别地，2 2阶中心矩就是方差：阶中心矩就是方差：阶中心矩就是方差：阶中心
11、矩就是方差： 2 2 = = DXDX. . 定义定义定义定义原点矩与中心矩原点矩与中心矩原点矩与中心矩原点矩与中心矩k kthth raw moment raw moment k kthth central momentcentral moment EXEXk k ， k k = 1, 2, = 1, 2, 第第2626页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 k k 阶阶阶阶( (原点原点原点原点) )矩矩矩矩： k k = = k k 阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩： k k = = E E( (X X EX EX ) )k
12、k ， k k = 2, 3, = 2, 3, 定义定义定义定义原点矩与中心矩原点矩与中心矩EXEXk k ， k k = 1, 2, = 1, 2, k+l k+l 阶混和矩阶混和矩阶混和矩阶混和矩：E E( (X Xk kY Yl l) ) ， k,lk,l= 1, 2, 3, = 1, 2, 3, k+l k+l 阶混和中心矩阶混和中心矩阶混和中心矩阶混和中心矩：E E X X EX EX k k Y Y EY EY l lk,lk,l= 1, 2, 3, = 1, 2, 3, 第第2727页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特
13、征 4.3.4. 协方差矩阵协方差矩阵第第2828页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第第2929页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究变量的研究第第3030页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 由于由于引入
14、矩阵引入矩阵第第3131页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 由此可得由此可得第第3232页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 由于由于第第3333页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第第3434页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 推广推广第第3535页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变
15、量的数字特征 4.3.5 4.3.5 n 维正态变量的性质维正态变量的性质第第3636页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 线性变换不变性线性变换不变性第第3737页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 例例: 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且服从正态分布，且解解: 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X与与Y
16、相互独立相互独立,D(Z) = D (X)+D (Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)-E(Y)+3 = 2-0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) .Z 的概率密度为的概率密度为第第3838页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 解解例例第第3939页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 解解例例第第4040页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 解解例例第第4141页页第第第第4 4章章章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征 解解例例
