高三数学第二轮复习教案

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1、高三数学第二轮复习教案高三数学第二轮复习教案第第 10 10 讲讲参数取值问题的题型与方法参数取值问题的题型与方法（4 4 课时）课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。一、一、若在等式或不等式中出现两个变量， 其中一个变量的范围已知， 另一个变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例例 1 1已知当 xR 时，不等式a+cos2x54sinx+5a 4恒成立，求实数a 的取值范围。分析分析：在不等

2、式中含有两个变量 a 及 x，其中 x 的范围已知（xR） ，另一变量 a 的范围即为所求，故可考虑将a 及 x 分离。解解：原不等式即：4sinx+cos2x3 即5a 4a+2a 2 0a 2 04上式等价于5a 4 0或，解得a8.55a 4 (a 2)25a 4 0说明说明：注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=12sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。另解另解：a+cos2x54sinx+5a 4即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设 f(t)= 2t24t+4a+5a 4则二次函数的对称轴为 t=1,

3、f(x)在1，1内单调递减。只需 f(1)0,即5a 4a2.(下同)例例 2 2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。分析分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 ksinxk2sin2x1 对于任意 xR 恒成立，这又等价于k21sin2x (1)对于任意 xR 恒成立。2112k k (sin x ) (2)42不等式（1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2k+119(sinx)2max=,

4、424即 k1 或 k2,-(4)由（3） 、 （4）求交集，得 k=1,故存在 k=1 适合题设条件。说明说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。1x2y2AP例例 3 3设直线l过点 P（0，3） ，和椭圆的 1顺次交于 A、B 两点，试求94PB取值范围.APx分析分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=A，但从此后却一筹莫展, 问题的PBxB根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路思路 1:1: 从第一条

5、想法入手，APx=A已经是一个关系式，但由于有两个变量PBxBxA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程求根公式xA= f（k） ，xB= g（k）AP/PB = （xA/ xB）得到所求量关于 k 的函数关系式由判别式得出 k 的取值范围所求量的取值范围解解 1 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得AP1 ；PB5当l

6、与 x 轴不垂直时，设Ax1, y1,B(x2，y2)，直线l的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k 4 x 54kx 45 0，22解之得x1,2 27k 6 9k25.9k2 4因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑k 0的情形. 27k 6 9k25 27k 6 9k25当k 0时，x1，x2，229k 49k 42x19k 2 9k2518kAP18 =所以=1=1PBx29k 2 9k259k 2 9k259 2 952由 (54k) 180 9k 4 0, 解得k2.k225，9所以11189 2 95k21 ，5综上1AP1 .PB5思路思路 2

7、:2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于xAP 1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有PBx2了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理xA+ xB= f（k） ，xA xB= g（k）AP/PB = （xA/ xB）构造所求量与 k 的关系式由判别式得出

8、k 的取值范围关于所求量的不等式解解 2 2：设直线l的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k则2 4 x254kx 45 0（*）54kx x ,21324k219k2 4令x1.，则， 2 245k 2045x2x x .1229k 42在（*）中，由判别式 0,可得k5，93324k236136从而有4 ，所以，4 2 2545k 20511 5.结合0 1得1.55AP1综上，1 .PB5解得说明说明：范围问题不等关系的建立途径多多， 诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手， 给出又一优美解法.二、直接根据图像

9、判断二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象， 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。例例 4 4 （2003 年江苏卷第 11 题、天津卷第 10 题）已知长方形四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为的方向射到 BC上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3和 P4（入射角等于反射角）.设 P4的坐标为（x4，0）.若 1 x42，则tan 的取值范围是 （）(A)y1( ,1)3D(0

10、,2)P3(B)P2C(2,1)1 2( , )3 3(C)P1A(0,0)PxP4B(2,0)图 12 1( , )5 2(D)( , )分析分析: : 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数2 25 3yDP3AP2P4P4CP1P2P3P3H图 24PP4BP4x学探究”学习活动, 03 年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设P4与 AB 的中点 P 重合（如图1 所示） ，则 P1、P2、P3分别是线段 BC、CD、DA 的中点，所以tan中只有 C 含有1由于在四个选择支21，

11、故选 C2当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化y1=(x-1)2y成“直线”问题来直接求解（如图2 所示） y2=logax说明说明 由本题可见, 0年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位这也是选择题的应有特点1例例 5 5当x(1,2)时，不等式(x1)2logax 恒成立，求a 的xo2取值范围。分析：分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线， 右边为常见的对数函数的图象， 故可以通过图象求解。解解：设y1=(x1)2,y2=logax,则 y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当 x=2 时 y2的函

12、数值大于等于 y1的函数值。故 loga21,a1,10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于a 0a 0f (m) 0）或）亦可合并定成f (m) 0f (n) 0f (n) 0 f (m) 0同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。分析分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解略解：不等式即(x1)p+x22x+10,设 f(p)= (x1)p+x22x+1,则 f(p)在2,2上恒大于 0，故有：2x 3或x

13、 1f (2) 0x 4x 3 0即解得：2f (2) x 1或x 1x 1 0x3.5例例 8 8.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，都有f(x)a恒成立，求 a 的取值范围。分析分析：题目中要证明f(x)a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于 0 的问题。解解：设 F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（a1)(a+2)0 时，即2a0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。y4ox 0x1 x2 (4 a) 0即x x 4 012(4 a)216 0a 0或a 8a 4a 4解得 a8.解法解法 2 2

14、（利用根与系数的分布知识） ：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0 或 a=8.a=0 时，f(x)=(t+2)2=0,得 t=20,符合题意。a=8.20.0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴y4ox4 a 0，即 a4.2a0,y0,x,yZ） 。28x 58y 1200计年利润为 s，那么 s3x+6y-2.4x-4y，即 s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线 0.6x+2xs0 截距的最大值。过点 A 作0.6x+2y=0 的平行线即可求出 s 的最大值。11联立x y

15、 30得 A（18,12） 。28x 58y 1200将 x18，y12 代入 s0.6x+2y 求得 Smax34.8。设经过 n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得 n33.5。学校规模初中 18 个班级，高中12 个班级，第一年初中招生6 个班 300 人，高中招生4个班 160 人。从第三年开始年利润34.8 万元，大约经过 36 年可以收回全部投资。说明说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想， 解析几何知识和数据处理的综合能力。 通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济

16、效益不明显。五、五、强化训练强化训练1若对n个向量a1,a2,an存在n（南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题）个不全为零的实数k1,k2,kn，使得k1a1 k2a2 knan 0成立，则称向量依此规定， 能说明a1(1,0)，a2 (1,1)，a3 (2,2)“线a1,a2,an为“线性相关”性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况） y2x21，直线l过点A2,0，斜率为k，当0 k 1时，双2 2已知双曲线C :22曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为2，试求k的值及此时点 B 的坐标。3 3 设函数f(x)=2x-12-x-1,x

17、R,若当0 恒成立，求实数 m 的取值范围。4 已知关于 x 的方程lg(x +20x)lg(8x6a3)=0有唯一解， 求实数 a 的取值范围。5试就k的不同取值，讨论方程(k 2)x (6k)y (6k)(k 2)所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。22时， f(cos2+2msin)+f(2m2)0226 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机， 由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量， 以使得总利润达到最大。 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下

18、表：资金单位产品所需资金（百元）12成本劳动力空调机305洗衣机2010月资金供应量（百元）300110（工资）单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉4个单位，售价 0.5 元，米食每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8发电厂主控室的表盘，高m 米，表盘底边距地面 n 米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人

19、员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2 米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为144 平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50 米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？六、参考答案六、参考答案1 1分析分析：本题将高等代数中n维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了n个平面向量线性相关 在解题过程中， 首先应该依据定义， 得到k1a1 k2a2 k3a3 0，k k2 2k3 0,即k1(1,0) k2(1,1) k3(2,2) 0，于是(k1 k2 2k3,k2 2k3) 0，所以1k2 2k3 0. k1 4k3,即则k1:k2:k3 4

20、: 2:1所以，k1,k2,k3的值依次可取4c,2c,c（c是不等于k2 2k3.零的任意实数） 2 2分析分析 1 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与l平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0. 由此出发，可设计如下解题思路：l :y k(x 2)0 k 12直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为l:y kx 2k2 2 2k把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 013解得k的值解题过程略.分析分析 2 2

21、：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线l的距离为2” ，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：问题kx2 x22k关于 x 的方程k 1220 k 1有唯一解转化为一元二次方程根的问题求解解解：设点M(x, 2 x2)为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线l的距离为：kx 2 x22kk 12220 k 1于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x x kx，从而有kx2 x22k kx2 x22k.于是关于x的方程kx 2 x 2k 22(k21)2 x22 ( 2(k21) 2k kx)2,22(k

22、 1) 2k kx 0k21 x2 2k2(k21) 2k x 22(k 1) 2k kx 0.由0 k 1可知：方程k 1 x 2k2 2(k21) 2k 2 0,2222(k21) 2k x 2(k21) 2k 2 0的二根同正，2故2(k 1) 2k kx 0恒成立，于是等价于14k21 x 2k2(k 1) 2k x 22 2(k21) 2k 2 0.2 5.52由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 0，就可解得k 说明说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3 3分析与解分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断 f(x)的奇偶性和单调

23、性，不难证明，在 R 上 f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msinsin 0,t0,1-(*)恒成立时，求实数 m 的取值范围。接下来， 设 g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴 t=m 与区间0， 1的位置关系， 分类使 g(t)min0,综合求得 m1.2本题也可以用函数思想处理，将（*）化为 2m(1t)(t2+1),t0,1当 t=1 时，mR;22,由函数 F（u)=u+在（1，1上是减函数，u1t1。1,易知当 t=0 时，h(x)max=1, m综合（1） 、 （2）知 m22当 0th(t)=2(1t)+说明说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条

24、件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、 数形结合、 分类讨论、 转化和化归的思想方法解题， 是综合性较强的一道好题。4 4分析分析：方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而y得 x2+20x=8x6a30,注意到若将等号两边看成是二次函数l1ly= x2+20x 及一次函数 y=8x6a3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解解：令 y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如l2图所示，y1的图象为一个定抛物线， y2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使y1和 y2在 x 轴上有唯一x交点，则直线必须位于 l1

25、和 l2之间。 （包括 l1但不包括 l2)当直线为 l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为-20o6a3=160,a=12163;6当直线为 l2时， 直线过点 （0， 0） ， 纵截距为6a3=0，a=a 的范围为1163，） 。625 5解：解：（1）当k 2时，方程化为y 0，表示x轴。（2）当k 6时，方程化为x 0，表示y轴x2y21(*)（3）当k 2,6时，方程为标准形式：6kk 215当6k当k k 2 k 4时，方程化为x2 y2 2表示以原点为圆心，2为半径的圆。 4时，方程（*）表示焦点在x轴上的椭圆，焦点为( 82k,0) 6时，方程（*）表示焦点在y轴上的椭圆，焦

26、点为(0, 2k 8) 2时，方程（*）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点为( 82k,0)当2 k当4 k当k 6时，方程（*）表示焦点在y轴上的双曲线，焦点为(0, 2k 8)6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y 台，总利润是 P，则 P6x+8y由题意：30x+20y 3005x+10y110x0，y0x、y 均为整数画图知直线 y3/4x1/8P 过 M（4,9）时，纵截距最大，这时 P 也取最大值 Pmax648996（百元）故：当月供应量为：空调机4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润9600 元。7解：设每盒盒饭需要面食x（百克） ，米食 y（百克）则目标函数为 S0.5x

27、+0.4y且 x，y 满足 ：6x+3y84x+7y10x0 ，y0画图可知，直线 y5/4x+5/2S过 A（13/15,14/15）时，纵截距 5/2S 最小，即 S 最小。故每盒盒饭为 13/15 百克，米食 14/15 百克时既科学又费用最少。8解答从略，答案是：值班人员的眼睛距表盘距离为x (n1.2)(m n1.2)（米） 。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程， 并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。 这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系， 联系的纽带是值班人员的眼睛！ 因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，

28、才能避免盲目性。9.解：假设围栏的边长为x 米和玉米，于是由题设可知x0，y0，且xy144（1）2x+y50（2）双 曲 线xy 144在 第 一 象 线 内 的 一 支 与 直 线2x y 50的 交 点 是A16（2533725337,25337）,25337），B（，满足条件（1） 、 （2）的解集是222533725337 x ） ，这一段上的点集（即如图中双曲线 A、22在双曲线 xy144（B 之间的一段） ，当过双曲线 A、B 之间上的任一点作一点作直线2xyk（k0）就是相应需用铁丝网的长度，直线 2x+y=k（k0）与双曲线 xy144 相切。这时，相应的 k 值最小， 消去 y 得 x 的二次方程：2x kx 144 0， 从0 得k 42144 0，即k242（米）所需用铁丝网的最短长度为 242米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点 A 的纵坐标给出， 即25337米， 利用墙的最短长度由B 纵坐标给出， 即25337米。2217