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1、第四章第四章 不定积分不定积分高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)1. 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3) 已知物体运动的位置函数已知物体运动的位置函数 s = s(t)，求时刻求时刻 t 的瞬时速度的瞬时速度 v = s(t)。 微分学解决的问题微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数已知物体运动的速度函数 v = v(t)求运动的位置函数求运动的位置函数 s = s(t)。 积分学解决的问题积分学解决的问题 一般，已知函数一般，已知函数 f(x), 要找另一要找另一个函数个函数F(x),使使 F(x) = f (x)。 积分学的
2、任务积分学的任务 高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义定义定义1 1 1 1：已知已知 f (x)是一个定义在区间是一个定义在区间I上的函数，上的函数，则称则称 F (x) 为为 f (x) 在在 I 上的上的原函数原函数。如：如： x 2 是是 2 x 的原函数的原函数;d sin x = cos x d x, sin x 是是 cos x 的原函数的原函数; s (t) 是是 v (t) 的原函的原函数。数。如果存在函数如果存在函数F (x), 使在使在 I 内的任一点
3、都有内的任一点都有高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)有关原函数的几个问题有关原函数的几个问题有关原函数的几个问题有关原函数的几个问题1. 在什么条件下在什么条件下, f (x) 一定存在原函数一定存在原函数？ 原函数存原函数存在定理在定理：若若 f (x) 在区间在区间 I 上连续，上连续，则在则在 I 上必存在原函数。上必存在原函数。2.如果如果 f (x) 有原函数，那么共有几个有原函数，那么共有几个？设设F (x) 为为 f (x) 的原函数，则的原函数，则 如果有多个，则它们之间有何关系？如果有多个，则它们之间有何关系？ f (x) 如有原函数，就有无穷多个。如有原函数，就
4、有无穷多个。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)F (x) + C 包含了包含了 f (x) 的所有原函数。的所有原函数。3. 如果如果 f (x) 有一个原函数有一个原函数 F (x) ,那么那么F (x) + C 是否包含了是否包含了 f (x) 的的所有原函数所有原函数？高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)定义定义定义定义2 2 2 2：函数函数 f (x) 的全体原函数就称的全体原函数就称为为 f (x) 的的不定积分不定积分。 记作记作其中其中 积分号积分号f (x) 被积函数被积函数f (x) d x 被积表被积表 达式达式x 积分变量积分变量例：例：若若F (
5、x) 为为 f (x) 的一个原函数，则的一个原函数，则高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义: : : : f (x) 的一个原函数的一个原函数F (x) 的图形称的图形称为为 f (x) 的一条的一条积分曲线积分曲线，方程为方程为 y = F (x) .就表示了一族积分曲线就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .它们相互平行，即它们相互平行，即在横坐标相同的点在横坐标相同的点处有相同的切线斜处有相同的切线斜率。率。xy0x高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)积分号与微分号的作用相互抵消。积
6、分号与微分号的作用相互抵消。由不定积分的定义，由不定积分的定义，则有则有又又或或积分号与微分号的作用抵消后加任意常数积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例：例：求通过点求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处且其上任一点处的切线斜率均为的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。的一条曲线。解：解：设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率的切线斜率为一簇积分曲线。为一簇积分曲线。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3) 二、二、二、二、 基本积分表基本积分表基本积分表基本积
7、分表注意：注意： 依基本导数公式与不定积分的定义，依基本导数公式与不定积分的定义，既可得基本积分公式（既可得基本积分公式（15个）：个）：请同学们参见教材第请同学们参见教材第238页。页。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)三、三、三、三、 不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质 性质性质1.1.函数和的不定积分等于函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。各个函数的不
8、定积分的和。 性质性质2.2.被积函数中不为零的常被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。数因子可提到积分号外。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)利用基本积分表和不定积分性质，可计算利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意一些简单函数的不定积分。注意3 3点：点：1 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。一个常数。2 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积
9、函数即可。看它的导数是否等于被积函数即可。3 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的中的 x 可用其它变量可用其它变量 u 替代，公式仍正确。替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。的类型，然后再积分。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例例例 题题题题 讨讨讨讨 论论论论求下列不定积分：求下列不定积分：例例1.1.例例2.2.高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例3.3.例例4.4.掌握被积函数的恒等变形。掌握被积函数的恒等变形。高等数学A(一)复习资料
10、及上海大学出版社(3)例例5.5.同理，同理，例例6.6.例例7.7.高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例8.8.例例9.9.( (假分式假分式= =多项式多项式+ +真分式真分式) )高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)从理论上来讲，只需把积分结果从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确是至关所以注重积分过程的正确是至关重要的。重要的。 即每一步运算都要看能否还原到即每一步运算都要看能否
11、还原到上一步。上一步。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习习 4 1（A）1(2，6)，2，5习习 4 1（B）1(1，3，4，5，10)，4高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)一、第一类换元法一、第一类换元法 ( ( 凑微分法凑微分法 ) )1.1.凑常数凑常数例例1 1：2(2x = u)2. 2. 2. 2. 换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例2 2：例例3 3：( +1)(x + 1 = u)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例4 4：/aa-1同理：同理：
12、高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例5 5：同理：同理：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例6 6：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)2. 凑函数（变量）凑函数（变量）定理定理1.1. 设设 F(u) 是是 f (u) 的一个原函数，且的一个原函数，且原函数，且有原函数，且有换元公式换元公式： u = (x)可导可导,证明：证明：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)换元公式：换元公式： (x) = u前例：前例：(u = sin x)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1 1：例例2 2：题目做得熟练后，中间变量题目做得熟练后，中
13、间变量 u 可以不写出来。可以不写出来。高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例3 3：同理：同理：例例4 4：(sec x + tan x)(sec x + tan x)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)同理：同理：例例5 5：或或高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例6 6：2高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例7 7：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例8 8：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例9 9：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)一般：一般：一般：一般：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社
14、(3)例例1010：例例1111：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)一般：一般：一般：一般：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1212：例例1313：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习习 4 2（A）3（4，6，7，9，11），），4（3，4，5，9，12）习习 4 2（B）1（双双），），2（1，3，5，7，8，10）高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)二、第二类换元法二、第二类换元法 ( (变量代换法变量代换法) )定理定理2.2.设设 x = (t) 是单调的可导函数，是单调的可导函数，换元公式：换
15、元公式： 令令 x = (t)，高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)1. 1. 三角代换三角代换例例1 1：分析：分析：目的：消去根式。目的：消去根式。利用三角恒等式：利用三角恒等式：若令若令 x = a sin t ,被积函数被积函数高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1 1：解：解：令令 x = a sin t , d x = a cos t d t ,txa高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例2 2：分析：分析：若令若令 x = a tan t ,解：解：令令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t .txa高等数学A(一
16、)复习资料及上海大学出版社(3)也可令也可令 x = a sh t ( t 0 )解：解：令令 x = a sh t ，d x = a ch t d t , 高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例3 3：分析：分析：若令若令 x = a sec t ,解：解：令令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t ,txa高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)或令或令 x = a ch t ( t 0 )如：如：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)小结：小结：当被积函数含有因子：当被积函数含有因子：目的：目的： 去根号。去根号。高等数学A
17、(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例例例 题题题题 讨讨讨讨 论论论论例例1 1：解：解：tx高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例2 2：解：解： 令令 x = tan t ,d x = sec 2 t d t .x1t高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)2. 2. 2. 2. 根式代换根式代换根式代换根式代换例例1 1：分析：分析： 目的：化分数幂为整数幂。目的：化分数幂为整数幂。(去根号去根号)解：解：-1+1高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)回代回代高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例2 2：解：解：高等数学A(一)复习资料及上海大学
18、出版社(3)例例3 3：令令 x = sec t ,d x = a sec t tan t d t ,解二：解二：解一：解一：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)3. 3. 3. 3. 倒代换倒代换倒代换倒代换对形如：对形如：前例前例3 3：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例4 4：解二：解二：解一：解一：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)熟记！熟记！熟记！熟记！教材第教材第 251 页积分公式页积分公式：(16)(24)补补 积分公式：积分公式：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)基基本本积积分分表表(2(2) ) 高等数学A(一)复习资料及上
19、海大学出版社(3)高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)杂杂杂杂 例例例例例例1 1：例例2 2：例例3 3：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例4 4：例例5 5：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例6 6：例例7 7：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例8 8：例例9 9：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1010：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1010：另解：另解：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)例例1111：例例1212：高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)课外作业课外作业课外作业课外作业习习 4 2（A）5（1，4，5，6，7，9）习习 4 2（B）3（1，3，4，6），），4（1）高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(3)
