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1、第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲线域曲线域曲面域曲面域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 2021/6/41第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲
2、线积分 2021/6/42一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB AB , , 其线密度为其线密度为“ “大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, , 求极限求极限” ” 可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,1.1.1.1.引例引例引例引例: : 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用2021/6/43设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线, ,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数, , 都存在都存在, , 上上对弧长的曲线积分对弧长的曲
3、线积分, ,记作记作若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, , 2 2. . . .定义定义定义定义下列下列“ “乘积和式极限乘积和式极限” ”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分. .称为称为被积函数，被积函数， 称为称为积分弧段积分弧段 . .曲线形构件的质量曲线形构件的质量和对和对2021/6/44如果如果 L L 是是 XOYXOY 面上的曲线弧面上的曲线弧 , ,如果如果 L L 是闭曲线是闭曲线 , , 则记为则记为则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为思考思考思考思考: :(1) (1) 若在若在 L
4、 L 上上 f f ( (x x, , y y)1, )1, (2) (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? ? 否否! ! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 d ds s 0 , 0 , 但定积分中但定积分中d dx x 可能为负可能为负. .2021/6/453. 3. 性质性质性质性质（k k 为常数为常数) )( ( 由由 组成组成) ) ( ( l l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度) )2021/6/46二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路基本思路基本思路: :计算定积分计算定积分转转 化化定
5、理定理定理定理: :且且上的连续函数上的连续函数, ,证证证证: :是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 2021/6/47点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 则则2021/6/48说明说明说明说明: :因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2) (2) 注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“ “换元法换元法” ”. . 因此因此2021/6/49如果曲线如果曲线 L L 的方程为的方程为则有则有如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式: :则则推广推广推广推广: : 设空间曲线弧的参数方程
6、为设空间曲线弧的参数方程为则则2021/6/410例例例例1.1. 计算计算其中其中 L L 是抛物线是抛物线与点与点 B B (1,1) (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . . 解解解解: :上点上点 O O (0,0)(0,0)2021/6/411例例例例2. 2. 计算半径为计算半径为 R R , ,中心角为中心角为的圆弧的圆弧 L L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I I ( (设线密度设线密度 = = 1). 1). 解解解解: : 建立坐标系如图建立坐标系如图, ,则则 2021/6/412例例例例3. 3. 计算计算其中其中L L为双纽线为双纽线解解解解:
7、 : 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 , , 得得2021/6/413例例例例4. 4. 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧. .解解解解: : 线线2021/6/414例例例例5.5. 计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. . 解解解解: : 由对称性可知由对称性可知2021/6/415内容小结内容小结1. 1. 定义定义定义定义2. 2. 性质性质性质性质( ( l l 曲线弧曲线弧 的长度的长度) )2021/6/4163. 3. 计算计算计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对
8、光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧2021/6/417思考与练习思考与练习1. 1. 已知椭圆已知椭圆周长为周长为a a , , 求求提示提示提示提示: :原式原式 = =利用对称性利用对称性分析分析分析分析: :2021/6/418EX:1. 1. 设设 C C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界, , 求求提示提示提示提示: : 分段积分分段积分2021/6/419第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的
9、联系 对坐标的曲线积分 2021/6/420一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 1. 引例引例引例引例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功. .设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoyxoy 平面内从点平面内从点 A A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L L 移动到点移动到点 B, B, 求移求移“ “大化小大化小” ” “ “常代变常代变” ”“ “近似和近似和” ” “ “取极限取极限” ”常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功解决办法解决办法: :动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功WW. .2021/6/4211) “1) “大
10、化小大化小大化小大化小” ”. .2) 2) “ “常代变常代变常代变常代变” ”把把L L分成分成 n n 个小弧段个小弧段, ,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替, , 则有则有所做的功为所做的功为F F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在2021/6/4223) “3) “近似和近似和近似和近似和” ”4) 4) “ “取极限取极限取极限取极限” ”( (其中其中 为为 n n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度) )2021/6/4232. 2. 定义定义定义定义. .设设 L L 为为xoyxoy 平面内从平面内从 A A 到到B B 的一条的一条有向光滑有
11、向光滑有向光滑有向光滑弧弧弧弧, ,若对若对 L L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, , 都存在都存在, ,在有向曲线弧在有向曲线弧 L L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分坐标的曲线积分坐标的曲线积分, ,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分. . 其中其中, ,L L 称为称为积分弧段积分弧段积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线 . .称为称为被积函数被积函数被积函数被积函数 , , 在在L L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作2021/6/424若若
12、 为空间曲线弧为空间曲线弧 , , 记记称为对坐标称为对坐标 x x 的曲线积分的曲线积分; ;称为对坐标称为对坐标y y 的曲线积分的曲线积分. .若记若记, , 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地, , 2021/6/4253. 3. 性质性质性质性质(1) (1) 若若 L L 可分成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2) (2) 用用L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧 , , 则则则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例. .说明说明说明说明: : : : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意
13、积分弧段的方向方向方向方向 ! !2021/6/426二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理定理定理: :在有向光滑弧在有向光滑弧 L L 上有定义且上有定义且L L 的参数方程为的参数方程为则曲线积分则曲线积分连续连续, ,存在存在, , 且有且有2021/6/427特别是特别是, , 如果如果 L L 的方程为的方程为则则对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 : :类似有类似有2021/6/428例例例例1. 1. 计算计算其中其中L L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法解法解法1 1 取取 x x 为参数为参数, , 则则解法解法解法解法2 2 取取 y y 为参数为参
14、数, , 则则从点从点的一段的一段. . 2021/6/429例例例例2. 2. 计算计算其中其中 L L 为为(1) (1) 半径为半径为 a a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, , 方向为逆时针方向方向为逆时针方向; ;(2) (2) 从点从点 A A ( ( a a , 0 ), 0 )沿沿 x x 轴到点轴到点 B B ( ( a a , 0 ). , 0 ). 解解解解: : (1) (1) 取取L L的参数方程为的参数方程为(2) (2) 取取 L L 的方程为的方程为则则则则nextnext2021/6/430例例例例3. 3. 计算计算其中其中L L为为(1) (
15、1) 抛物线抛物线 (2) (2) 抛物线抛物线 (3) (3) 有向折线有向折线 解解解解: : (1) (1) 原式原式(2) (2) 原式原式(3) (3) 原式原式nextnext2021/6/431例例例例4. 4. 设在力场设在力场作用下作用下, , 质点由质点由沿沿 移动到移动到解解解解: : (1)(1)(2) (2) 的参数方程为的参数方程为试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功. .其中其中 为为2021/6/432三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L L 以弧长为参数以弧长为参数 的参数方程为的参数方程为则两类曲线积分有如
16、下联系则两类曲线积分有如下联系2021/6/433类似地类似地, , 在空间曲线在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是2021/6/434例例例例5 5. . . .将积分将积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分, ,解：解：解：解：其中其中L L 沿上半圆周沿上半圆周2021/6/4351. 1. 定义定义2. 2. 性质性质(1) (1) L L可分成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2) (2) L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向! !内容小
17、结内容小结2021/6/4363. 3. 计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧2021/6/4374. 4. 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 : :2021/6/4381.1. 已知已知为折线为折线 ABCOAABCOA( (如图如图), ), 计算计算提示提示提示提示: :2021/6/4392. .解解解解: :线移动到线移动到向坐标原点向坐标原点, , 其大小与作用点到其大小与作用点到 xoyxoy 面的距离成反比面的距离成反比. .沿直沿直求求 F F 所作的功所作的功 WW. . 已知已知 F F 的方向指的方向指一质点
18、在力场一质点在力场F F 作用下由点作用下由点2021/6/4403.3. 设曲线设曲线C C为曲面为曲面与曲面与曲面从从 oxox 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向, ,(1) (1) 写出曲线写出曲线 C C 的参数方程的参数方程 ; ;(2) (2) 计算曲线积分计算曲线积分解解解解: : (1) (1)2021/6/441(2) (2) 原式原式 = =令令利用利用“ “偶倍奇零偶倍奇零” ”2021/6/442例例例例5. 5. 求求其中其中从从 z z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向. .解解解解: : 取取 的参数方程的参数方程2021/6/4431. 1.
19、 定义定义定义定义2. 2. 性质性质性质性质( ( l l 曲线弧曲线弧 的长度的长度) )2021/6/4443. 3. 计算计算计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧2021/6/4451. 1. 定义定义2. 2. 性质性质(1) (1) L L可分成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2) (2) L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向! !2021/6/4463. 3. 计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光
20、滑弧对有向光滑弧2021/6/4474. 4. 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系2021/6/448第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 2021/6/449区域区域 D D 分类分类单单连通区域连通区域 ( ( 无无“ “洞洞” ”区区域域 ) )多多连通区域连通区域 ( ( 有有“ “洞洞” ”区域区域 ) )域域 D D 边界边界L L 的的正向正向正向正向: : 域的内部靠左域的内部靠左域的内部靠左域的内部靠左定理定理定理定理1. 1. 设区域设区域 D D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正
21、向曲线 L L 围成围成, ,则有则有( ( 格林公式格林公式格林公式格林公式 ) )函数函数在在 D D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, ,一、一、 格林公式格林公式nextnext2021/6/450证明证明证明证明: :1) 1) 若若D D 既是既是 X - X - 型区域型区域 , , 又是又是 Y -Y - 型区域型区域 , , 且且则则2021/6/451即即同理可证同理可证、两式相加得两式相加得: :2021/6/4522) 2) 若若D D不满足以上条件不满足以上条件, ,则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域
22、 , , 如图如图证毕证毕2021/6/453推论推论推论推论: : 正向闭曲线正向闭曲线 L L 所围区域所围区域 D D 的面积的面积格林公式格林公式格林公式格林公式例如例如例如例如, , 椭圆椭圆所围面积所围面积2021/6/454例例例例1 1. . 设设 L L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, , 证明证明证证证证: : 令令则则利用格林公式利用格林公式 , , 得得nextnext2021/6/455例例例例2.2. 计算计算其中其中D D 是以是以 O O(0,0) , (0,0) , A A(1,1) , (1,1) , B B(0,1) (0,1) 为顶点的三
23、角形闭域为顶点的三角形闭域 . . 解解解解: : 令令, , 则则利用格林公式利用格林公式 , , 有有2021/6/456例例例例3.3. 计算计算其中其中L L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线. .解解解解: : 令令设设 L L 所围区域为所围区域为D D, ,由格林公式知由格林公式知2021/6/457在在D D 内作圆周内作圆周取逆时取逆时针方向针方向, , , 对区域对区域应用格应用格记记 L L 和和 l l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , , 得得2021/6/458二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线
24、积分与路径无关的等价条件定理定理定理定理2. 2. 设设D D 是单连通域是单连通域 , ,在在D D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,(1) (1) 沿沿D D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L L , , 有有(2) (2) 对对D D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L L, , 曲线积分曲线积分(3)(3)(4) (4) 在在 D D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, , 只与起止点有关只与起止点有关. . 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价: :在在 D D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分, ,即即 nextnext2021/
25、6/459说明说明说明说明: : 积分与路径无关时积分与路径无关时, , 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明证明证明 (1) (2)(1) (2)设设为为D D 内内任意任意两条由两条由A A 到到B B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, , 则则( (根据条件根据条件(1)(1)2021/6/460证明证明证明证明 (2) (3)(2) (3)在在D D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B B( ( x x, , y y ), ),与路径无关与路径无关, , 有函数有函数 2021/6/461证明证明证明证明 (3) (4)(3)
26、(4)设存在函数设存在函数 u u ( ( x , y x , y ) ) 使得使得则则P, Q P, Q 在在 D D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数, ,从而在从而在D D内每一点都有内每一点都有2021/6/462证明证明证明证明 (4) (1)(4) (1)设设L L为为D D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线, ,( (如图如图) ,) ,利用利用格林公式格林公式格林公式格林公式 , , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕2021/6/463说明说明说明说明: :根据定理根据定理2 , 2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 2) 求曲线积分时求曲线积分时, , 可利用格
27、林公式简化计算可利用格林公式简化计算, ,3) 3) 可用积分法求可用积分法求d d u u = = P P d dx x + + Q Q d dy y在域在域 D D 内的原函数内的原函数: :及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, , 可可添加辅助线添加辅助线; ;取定点取定点1) 1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, , 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径; ;2021/6/464例例例例4.4. 计算计算其中其中L L 为上半为上半从从 O O (0, 0) (0, 0) 到到 A A (4, 0).(4, 0).解解解解: : 为了使用格
28、林公式为了使用格林公式, , 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D ,D , 则则2021/6/465例例例例5. 5. 验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分, , 并求并求出这个函数出这个函数. . 证证证证: : 设设则则由定理由定理2 2 可知可知, , 存在函数存在函数 u u ( (x , yx , y) ) 使使。2021/6/466例例例例6.6. 验证验证在右半平面在右半平面 ( ( x x 0 ) 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , , 并求出它并求出它. . 证证证证: : 令令则则由由定理定理定理定理 2 2 可知存在原
29、函数可知存在原函数2021/6/467或或2021/6/468内容小结内容小结1. 1. 格林公式格林公式2. 2. 等价条件等价条件在在 D D 内与路径无关内与路径无关. .在在 D D 内有内有对对 D D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L L 有有在在 D D 内有内有设设 P P, , Q Q 在在 D D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则有则有2021/6/469思考与练习思考与练习1. 1. 设设且都取正向且都取正向, , 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? ?提示提示提示提示: :2021/6/4702. 2. 设设提示提示提示提示: :2021/6/471
30、 EX 1.1. 设设 C C 为沿为沿从点从点依逆时针依逆时针的半圆的半圆, , 计算计算解解解解: : 添加辅助线如图添加辅助线如图 , ,利用格林公式利用格林公式 . .原式原式 = =到点到点2021/6/472第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 2021/6/473一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, , 采用采用可得可得求
31、质求质 “ “大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, , 求极限求极限” ” 的方法的方法, ,量量 MM. .其中其中, , 表示表示 n n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ). 2021/6/474定义定义定义定义: :设设 为光滑曲面为光滑曲面, ,“ “乘积乘积和式极限和式极限” ” 都存在都存在, ,的的曲面积分曲面积分其中其中 f f ( (x, y, zx, y, z) ) 叫做被积叫做被积据此定义据此定义, , 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲
32、面面积为f f ( (x, y, zx, y, z) ) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数, ,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数 f f ( (x, y, zx, y, z) ) 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, , 叫做积分曲面叫做积分曲面. .2021/6/475则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. . 对积分域的可加性对积分域的可加性. .则有则有 线性性质线性性质. .在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, , 对面积对面积的曲面积
33、分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. . 积分的存在性积分的存在性. . 若若 是分片光滑的是分片光滑的, , 例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面2021/6/476定理定理定理定理: : 设有光滑曲面设有光滑曲面f f ( (x, y, zx, y, z) ) 在在 上连续上连续, ,存在存在, , 且有且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分2021/6/477说明说明说明说明: :可有类似的公式可有类似的公式. .如果曲面方程为如果曲面方程为2021/6/478例例例例1.1. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中
34、 是球面是球面被平面被平面截出的顶部截出的顶部. .解解解解: : : :nextnext2021/6/479思考思考思考思考: :若若 是球面是球面被平行平面被平行平面 z z = =h h 截截出的上下两部分出的上下两部分, ,则则2021/6/480例例例例2.2. 计算计算其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. . 解解解解: : 设设上的部分上的部分, , 则则与与 原式原式 = = 分别表示分别表示 在平面在平面 2021/6/481例例例例3.3. 设设计算计算解解解解: : 锥面锥面与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的
35、部分为上半球面夹于锥面间的部分, , 它在它在 xoy xoy 面上的面上的投影域为投影域为则则 2021/6/4822021/6/483内容小结内容小结1. 1. 定义定义: :2. 2. 计算计算: : 设设则则( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) )2021/6/484思考与练习思考与练习P219 P219 题题3 3；4(1) ; 7 4(1) ; 7 解答提示解答提示解答提示解答提示: :P219 P219 题题3. 3. 设设则则P246 P246 题题2 22021/6/485P219 P219 题题4(1).4(1). 在在 xoyxoy 面上的投影域为面上的投
36、影域为这是这是 的面积的面积 ! !2021/6/486P219 P219 题题7. 7. 如图所示如图所示, , 有有2021/6/487P246 P246 题题2. 2. 设设一卦限中的部分一卦限中的部分, , 则有则有( ).( ).2021/6/488EX1: 1. 1. 已知曲面壳已知曲面壳求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z z1 1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M . M . 解解解解: : 在在 xoyxoy 面上的投影为面上的投影为 故故2021/6/489第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
37、对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 2021/6/490一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧( (单侧曲面的典型单侧曲面的典型) ) 2021/6/491其方向用其方向用法向量指向法向量指向方向余弦方向余弦 0 0 为前侧为前侧 0 0 0 为右侧为右侧 0 0 0 为上侧为上侧
38、0 0 0 时时, , 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 x 0 0 内内, , 力力构成力场构成力场, ,其中其中k k 为常数为常数, , 证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关. .提示提示提示提示: :令令易证易证F F 沿右半平面内任意有向路径沿右半平面内任意有向路径 L L 所作的功为所作的功为2021/6/4158P247P247 11. 11.求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, , 其中其中 为平面为平面 x + y + z = x + y + z = 1 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标
39、面所截成三从从 z z 轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向. .角形的整个边界角形的整个边界, ,2021/6/4159设三角形区域为设三角形区域为 , , 方向方向向上向上, ,则则方法方法方法方法2 2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式2021/6/4160二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 1. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( ( 对面积对面积 ) )第二类第二类( ( 对坐标对坐标 ) )转化转化二重积分二重积分(1) (1) 统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2) (2) 积分元素投影积分元素投影第
40、一类第一类: : 始终非负始终非负第二类第二类: : 有向投影有向投影(3) (3) 确定二重积分域确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面2021/6/4161思思 考考 题题1) 1) 二重积分是哪一类积分二重积分是哪一类积分? ? 答答答答: : 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例. .2) 2) 设曲面设曲面问下列等式是否成立问下列等式是否成立? ? 不对不对不对不对 ! ! 对坐标的积分与对坐标的积分与 的的侧有关侧有关 2021/6/41622. 2. 基本技巧基本技巧基本技巧基本技巧(1) (1) 利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心
41、公式简化计算(2) (2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧( (辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面) )(3) (3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化2021/6/4163练习练习:P247 P247 题题题题4(3)4(3) 其中其中 为半球面为半球面的上侧的上侧. .且取下侧且取下侧 , , 提示提示提示提示: : 以半球底面以半球底面原式原式 = =记半球域为记半球域为 , ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面, , 利用利用2021/6/4164例例例例3. 3. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中, ,解解解解: :2021/6/4165
