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1、2.3幂幂函函数数枣庄三中枣庄三中 高高超超1 (1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P = _w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V = _ (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S
2、,那么正方形的边那么正方形的边长长_ a是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1_是是_的函数的函数Sa2他们有以下共同特点：他们有以下共同特点：(1)都是函数；都是函数；(3) 均是以自变量为底的幂；均是以自变量为底的幂；(2) 指数为常数指数为常数.(4) 只有一项；只有一项；3一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function) ，其中，其中x x为自变量，为常数。为自变量，为常数。注意注意: :1.1.幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是 的形式，的形式， 其特征可归纳为
3、其特征可归纳为“两个系数为，只有项两个系数为，只有项”4判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 判一判5你能说出幂函数与指数函数的区别吗你能说出幂函数与指数函数的区别吗?指数函数：指数函数：解析式解析式 ，底数为常数，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量，指数为自变量x；幂函数：幂函数：解析式解析式 ，底数为自变量，底数为自变量x，指数为常数指数为常数， R；6 式子式子 名称名称 a x y 指数函数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值二
4、、幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点函数切入点看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数指数指数指数指数函数函数7（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）快速反应快速反应（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）8下面研究幂函数下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六六个幂函数的图象个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究研究 y
5、=x9 x-3-2-10123-3-2-101239410149-27-8-10182701-1/3-1/2-111/21/3y=xy=x1011 x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x29410 1 4 91213 x-3-2 -1 0 1 2 3y=x3-27 -8 -1 0 1 8 2714 x 0 1 2 4 0 1 21516x-3-2-1 123-1/3-1/2-11 1/2 1/3171819在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当00时，
6、图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当00时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点21 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在在R R上上增增在在0 0，+）上增，上增，在（在（-，00上减上减, ,在在0 0，+）上增，）上增，在在(0(0，+)+)上减上减22(1) 所有的幂函数在所有的幂函数
7、在(0,+)都有定义，并且图都有定义，并且图象都通过点象都通过点(1,1);(2) 如果如果，则幂函数图象过原点，并且，则幂函数图象过原点，并且在区间在区间0,+)上是增函数；上是增函数；(3) 如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于从右边趋向于原点时，图象在原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴，当轴，当x趋趋向于向于+时，图象在时，图象在X轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴；轴；(4) 当当为奇数时，幂函数为奇函数；当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶为偶数时，幂函数为偶函数数时，幂函数
8、为偶函数幂函数的性质幂函数的性质23说一说说一说判断正误判断正误1.函数函数f(x)=x+ 为奇函数为奇函数.2.函数函数f(x)=x2,x -1,1)为偶函数为偶函数.3.函数函数y=f(x)在定义域在定义域R上是奇函数上是奇函数,且在且在(- ,0上是递增的上是递增的,则则f(x)在在0,+ )上也是递增的上也是递增的.4.函数函数y=f(x)在定义域在定义域R上是偶函数上是偶函数,且在且在(- ,0上是递减的上是递减的,则则f(x)在在0,+ )上也是递减的上也是递减的.24例例1如如果果函函数数 是是幂幂函函数数，且且在在区区间间（0，+）内内是是减减函函数数，求求满满足足条条件件的的
9、实数实数m的集合。的集合。解解:依题意依题意,得得解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=225例例2. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)解解:(1)y= x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数 0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在
10、在(0,+)内是减函数内是减函数 2.52.7-2/526练习练习21）2）3）4）27练习练习3: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象在第一象限内的图象，已知限内的图象，已知 k分别取分别取 四个四个值，则相应图象依次为值，则相应图象依次为:_ 一般地，幂函数的图象在直线一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，的右侧，大指数在上，小指数在下，在在Y轴与直线轴与直线x =1之间正好相反。之间正好相反。 C4C2C3C1128证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.复习复习用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调
11、性的步骤:(1). 设设x1, x2是某个区间上任意二值，且是某个区间上任意二值，且x1x2;(2). 作差作差 f(x1)f(x2)，变形，变形 ;(3). 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号；的符号；(4). 下结论下结论.例例3证明证明: :任取任取所以所以幂函数幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.29 证法二证法二: 任取任取x1 ,x2 0，+）,且且x1 x2 ； 证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.(1)(1)作差法作差法: :若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子, ,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法: :证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数, ,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2) )。即即所以所以30幂函数幂函数定义定义五个特殊幂函数五个特殊幂函数图象图象基本性质基本性质本节知识结构本节知识结构: 课堂小结：课堂小结： 31
