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1、第五章第五章 离中趋势丈量法离中趋势丈量法 主要内容：主要内容：1 1变异目的；变异目的； 2 2全距和四全距和四分位差；分位差； 3 3平均差、规范差和规范分；平均差、规范差和规范分； 4 4绝对离势和相对离势；绝对离势和相对离势；5 5偏度及峰度。偏度及峰度。 所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。 例如有例如有A A、B B、C C、D D四组学生各四组学生各5 5人的成人的成果如下：果如下： A A组：组：60 60 ，6060，6060，6060，6060 B B组：组：5858，5959，6060，6161，6262
2、 C C组：组：4040，5050，6060，7070，8080 D D组：组：8080，8080，8080，8080，8080 数据显示，平均数一样，离势能够不数据显示，平均数一样，离势能够不同；平均数不同，离势能够一样。同；平均数不同，离势能够一样。 变异目的如按数量关系来分有以下两类；变异目的如按数量关系来分有以下两类；凡用绝对数来表达的变异目的，统称绝对离势凡用绝对数来表达的变异目的，统称绝对离势; ;凡用相对数来表达的变异目的，统称相对离势凡用相对数来表达的变异目的，统称相对离势; ;主要有极差、平均差、四分位差、规范差等。主要有异众比率、规范差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
3、 变异目的用以反映总体各单位标志值的变动范围或变异目的用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均目的相对应，从另一个侧面反映了总体参差程度，与平均目的相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。的特征。 第一节第一节 全距与四分位差全距与四分位差1.1.全距全距全距全距(Range) (Range) R =Xmax Xmin R =Xmax Xmin 例例例例 求求求求7474，8484，6969，9191，8787，7474，6969这这些数字些数字些数字些数字的全距。的全距。的全距。的全距。 解解解解 把数字按把数字按把数字按把数字按顺顺序重新序重新序重新序重新陈陈列：列：列：列：69
4、69，6969，7474，7474，8484，8787，9191，显显然有然有然有然有 R =Xmax Xmin R =Xmax Xmin 916991692222全距全距全距全距R R：最大值和最小值之差。也叫极差。全：最大值和最小值之差。也叫极差。全：最大值和最小值之差。也叫极差。全：最大值和最小值之差。也叫极差。全距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。距越大，表示变动越大。 运用上述方法计算左边数列的全距对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值
5、和最小值，求全距： 1 1用组值最大组的组中值减去最小组的组中值用组值最大组的组中值减去最小组的组中值用组值最大组的组中值减去最小组的组中值用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 2 2用组值最大组的上限减去最小组的下限用组值最大组的上限减去最小组的下限用组值最大组的上限减去最小组的下限用组值最大组的上限减去最小组的下限 3 3用组值最大组的组中值减去最小组的下限；用组值最大组的组中值减去最小组的下限；用组值最大组的组中值减去最小组的下限；用组值最大组的组中值减去最小组的下限；或最大组的上限减去最小组的组中值或最大组的上限减去最小组的组中值或最大组的上限减去最小组的组中值或最大组的上限减去最小
6、组的组中值优点：优点：缺陷：缺陷：计算简单、计算简单、计算简单、计算简单、直观。直观。直观。直观。 1 1受极端值影响大；受极端值影响大；受极端值影响大；受极端值影响大； 2 2 没有量度中间各个单位没有量度中间各个单位没有量度中间各个单位没有量度中间各个单位间的差别性，数据利用率间的差别性，数据利用率间的差别性，数据利用率间的差别性，数据利用率 低，信息低，信息低，信息低，信息丧失严重；丧失严重；丧失严重；丧失严重； 3 3受抽样变动影响大，大样受抽样变动影响大，大样受抽样变动影响大，大样受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。本全距比小样本全距大。本全距比小样本全距大。本全距比小样本全
7、距大。2.2.四分位差四分位差四分位差四分位差(Quartile deviation)(Quartile deviation) 第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。第三四分位数和第一四分位数的半距。防止全距受极端值影响大的缺陷。防止全距受极端值影响大的缺陷。防止全距受极端值影响大的缺陷。防止全距受极端值影响大的缺陷。 求以下两组成果的四分位差：求以下两组成果的四分位差：求以下两组成果的四分位差：求以下两组成果的四分位差：A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81A: 78 80 82 85 89
8、 87 90 86 79 88 84 81B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 8181 请大家计算一下，看能否算对第二节第二节 平均差平均差(Mean absolute deviation) 要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值变量值相对于平均数的差别情况，一个很自然的想法相对于平均数的差别情况，一个很自然的想法就是计算就是计算各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值的绝对值的算术平均数。算术
9、平均数。 1. 1.对于未分组资料对于未分组资料 2. 2.对于分组资料对于分组资料 3. 3.平均差的性质平均差的性质 在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，在受抽样变动、极端值影响，处置不确定组距方面均同于算术平处置不确定组距方面均同于算术平处置不确定组距方面均同于算术平处置不确定组距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其实际意均数；不适于代数运算，其实际意均数；不适于代数运算，其实际意均数；不适于代数运算，其实际意义不易论述。义不易论述。义不易论述。义不易论述。 例例例例1 1 试试分分分分别别以算以算以算以算术术平均数平均数平均数平均数为为基准
10、，求基准，求基准，求基准，求8585，6969，6969，7474，8787，9191，7474这这些数字的平均差。些数字的平均差。些数字的平均差。些数字的平均差。 例例例例2 2 试试以算以算以算以算术术平均数平均数平均数平均数为为基准，求下表所示数据基准，求下表所示数据基准，求下表所示数据基准，求下表所示数据的平均差。的平均差。的平均差。的平均差。 计算左边数列的平均差第三节第三节 规范差规范差standard deviation) 各变量值对其算术平均数的离差平方的算术各变量值对其算术平均数的离差平方的算术各变量值对其算术平均数的离差平方的算术各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数
11、的平方根，均方差，又称用平均数的平方根，均方差，又称用平均数的平方根，均方差，又称用平均数的平方根，均方差，又称用S S表示。表示。表示。表示。 即抑制平均差带有绝对值的缺陷，又保管其即抑制平均差带有绝对值的缺陷，又保管其即抑制平均差带有绝对值的缺陷，又保管其即抑制平均差带有绝对值的缺陷，又保管其综合平均的优点。综合平均的优点。综合平均的优点。综合平均的优点。1. 1. 对于未分组资科对于未分组资科对于未分组资科对于未分组资科 求求求求7272、8181、8686、6969、5757这些数字的规范差。这些数字的规范差。这些数字的规范差。这些数字的规范差。2. 2. 对于分组资料对于分组资料对于
12、分组资料对于分组资料 计算左边数列的规范差 计算左边数列的规范差 例例例例 调查大一男生调查大一男生调查大一男生调查大一男生6060人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求人的身高情况如下表所示，求他们身高的规范差。他们身高的规范差。他们身高的规范差。他们身高的规范差。 解解解解 由于是分组资料，计算规范差运用加权式，并由于是分组资料，计算规范差运用加权式，并由于是分组资料，计算规范差运用加权式，并由于是分组资料，计算规范差运用加权式，并参见下表参见下表参见下表参见下表 规规范差是反映范差是反映总总体各体各单单位位标标志志值值的离散情况和差的离散情况和差别
13、别程度的最正确程度的最正确测测度。度。 1 1以算以算术术平均数平均数为为基准基准计计算的算的规规范差比以其他任范差比以其他任何数何数值为值为基准基准计计算的算的规规范差要小。范差要小。“ “最小二乘方性最小二乘方性质质各各变变量量值对值对算算术术平均数的离差的平方和，必定小于他平均数的离差的平方和，必定小于他们们对对任何其他数偏向的平方和。任何其他数偏向的平方和。 2 2它将它将总总体中各体中各单单位位标标志志值值的差的差别别全包括在内，受全包括在内，受抽抽样变动样变动影响小。但在受极端影响小。但在受极端值值影响以及影响以及处处置不确定置不确定组组距方面，缺陷同算距方面，缺陷同算术术平均数。
14、平均数。 值值得留意的是，在推得留意的是，在推论统计论统计中我中我们们将将发现发现，方差是，方差是比比规规范差更有范差更有实际实际价价值值的概念。所的概念。所谓谓方差，即方差，即规规范差的范差的平方，它直接写成平方，它直接写成 。 也常被称也常被称为变为变异数。异数。 3. 3. 规规范差的性范差的性范差的性范差的性质质4.4.规范分规范分规范分规范分(standard score)(standard score) 以离差和规范差的比值来测定变量以离差和规范差的比值来测定变量以离差和规范差的比值来测定变量以离差和规范差的比值来测定变量 与与与与 的相的相的相的相对位置。使原来不能直接比较的离差
15、规范化，可以相对位置。使原来不能直接比较的离差规范化，可以相对位置。使原来不能直接比较的离差规范化，可以相对位置。使原来不能直接比较的离差规范化，可以相互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。互比较，加、减、平均。 1 1Z Z是和是和是和是和X X一一对应的变量值；一一对应的变量值；一一对应的变量值；一一对应的变量值； 2 2Z Z分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资分数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的相对数，所以可以用于不同单料单位影响的
16、相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；位资料的比较；位资料的比较；位资料的比较； 3 3Z Z分数实践表达了变量值距总体均分数实践表达了变量值距总体均分数实践表达了变量值距总体均分数实践表达了变量值距总体均值有几个规范差。值有几个规范差。值有几个规范差。值有几个规范差。 Z Z分数也有规范正态变量之称。按分数也有规范正态变量之称。按分数也有规范正态变量之称。按分数也有规范正态变量之称。按Z Z值大值大值大值大小编制小编制小编制小编制出的正态分布表，其用途非常广泛。出的正态分布表，其用途非常广泛。出的正态分布表，其用途非常广泛。出的正态分布表，其用途非常广泛。 Z Z分数的性质：分数的性质：分
17、数的性质：分数的性质：Z Z Z Z分数之和等于分数之和等于分数之和等于分数之和等于0 0 0 0Z Z分数的算分数的算分数的算分数的算术术平均数等于平均数等于平均数等于平均数等于0 0Z Z分数的分数的分数的分数的规规范差等于范差等于范差等于范差等于1 1，方差也等于，方差也等于，方差也等于，方差也等于1 1第四节第四节 相对离势相对离势 上述各种反映离中趋势的变异目的，都具有和原上述各种反映离中趋势的变异目的，都具有和原资料一样的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不资料一样的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不同单位的资料的参差程度，或比较单位虽一样而均值同单位的资料的参差程度，或比较单位
18、虽一样而均值不一样的资料的参差程度，离势的绝对目的那么很能不一样的资料的参差程度，离势的绝对目的那么很能够够导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对离势。离势。 1. 1. 变异系数变异系数 绝对离势统计量与其算术平均数的比率，绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用用V V表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。n n全距系数全距系数 n n 全距系数是众数据的全距系数是众数据的全全n n距与其算术平均数之比，其距与其算术平均数之比，其计计n n算公式是算公式是n n平均差系数平均差系数n n 平均差系
19、数是众数据的平均差系数是众数据的平平n n均差与其算术平均数之比，均差与其算术平均数之比，其其n n计算公式是计算公式是n n规范差系数规范差系数 n n 规范差系数是众数据的规范差系数是众数据的标标n n准差与其算术平均数之比，准差与其算术平均数之比，其其n n计算公式是计算公式是 2. 2. 异众比率异众比率 所所谓谓异众比率，是指非众数的异众比率，是指非众数的频频数与数与总总体体单单位数位数的比的比值值，用，用V RV R来表示来表示 其中：其中： 为为众数的众数的频频数；数； 是是总总体体单单位数位数 异众比率能阐明众数所异众比率能阐明众数所不能代表的那一部分变量值不能代表的那一部分变
20、量值在总体中的比重。在总体中的比重。 例例例例1 1：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多32%32%，求异众比率。某开发商根据这一报导，将房，求异众比率。某开发商根据这一报导，将房，求异众比率。某开发商根据这一报导，将房，求异众比率。某开发商根据这一报导，将房屋的户型大部分都设计为适宜三口之家居住的款式和面屋的户型大部分都设计为适宜三口之家居住的款式和面屋的户型大部分都设计为适宜三口之家居住的款式和面屋的户型大部分都设计为适宜三口之家居住的款式和面积，他以为如何呢？积，他以为如何
21、呢？积，他以为如何呢？积，他以为如何呢？ 例例例例2 2：设为测体重，得到成人组和婴儿组各：设为测体重，得到成人组和婴儿组各：设为测体重，得到成人组和婴儿组各：设为测体重，得到成人组和婴儿组各100100人的人的人的人的两个抽样总体。成人组平均体重为两个抽样总体。成人组平均体重为两个抽样总体。成人组平均体重为两个抽样总体。成人组平均体重为6565千克，全距为千克，全距为千克，全距为千克，全距为1010千千千千克；婴儿组平均体重为克；婴儿组平均体重为克；婴儿组平均体重为克；婴儿组平均体重为4 4千克，全距为千克，全距为千克，全距为千克，全距为2.52.5千克。能否认千克。能否认千克。能否认千克。
22、能否认为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？ 例例例例3 3：对一个群体丈量身高和体重，平均身高为：对一个群体丈量身高和体重，平均身高为：对一个群体丈量身高和体重，平均身高为：对一个群体丈量身高和体重，平均身高为170.2170.2厘米，身高规范差为厘米，身高规范差为厘米，身高规范差为厘米，身高规范差为5.305.30厘米；平均体重为厘米；平均体重为厘米；平均体重为厘米；平均体重为7070千克，千克，千克，千克，体重规范差为体重规范差为体重规范差为体重规范差为4.774.7
23、7千克。比较身高和体重的离散程度。千克。比较身高和体重的离散程度。千克。比较身高和体重的离散程度。千克。比较身高和体重的离散程度。3. 3. 偏态系数偏态系数 我我我我们们在前面在前面在前面在前面讨论统计图时讨论统计图时曾曾曾曾经对频经对频数分布的正数分布的正数分布的正数分布的正态态和和和和偏偏偏偏态态有所有所有所有所认识认识。我。我。我。我们们又看到了算又看到了算又看到了算又看到了算术术平均数与中位数、众平均数与中位数、众平均数与中位数、众平均数与中位数、众数之数之数之数之间间存在的关系：当存在的关系：当存在的关系：当存在的关系：当总总体呈体呈体呈体呈对对称分布称分布称分布称分布时时，、，、
24、，、，、三者完全相等；当三者完全相等；当三者完全相等；当三者完全相等；当总总体呈不体呈不体呈不体呈不对对称的偏称的偏称的偏称的偏态态分布分布分布分布时时，它，它，它，它们们之之之之间间存在着数量存在着数量存在着数量存在着数量( ( ( (位置位置位置位置) ) ) )的差的差的差的差别别。因此，偏。因此，偏。因此，偏。因此，偏态态可由与可由与可由与可由与的差来表示，即的差来表示，即的差来表示，即的差来表示，即 为为了使不同数列的偏了使不同数列的偏了使不同数列的偏了使不同数列的偏态值态值可比，同可比，同可比，同可比，同样样可可可可计计算偏算偏算偏算偏态态的相的相的相的相对对数，即偏数，即偏数，即偏数，即偏态态系数，用系数，用系数，用系数，用来表示来表示来表示来表示偏斜系数是以规范差为单位的算术平均偏斜系数是以规范差为单位的算术平均数与众数与众数的离差，其取值普通在数的离差，其取值普通在0 0与土与土3 3间。偏斜系间。偏斜系数为数为0 0表表示对称分布，偏斜系数为或那么表示极右或示对称分布，偏斜系数为或那么表示极右或极左偏态。极左偏态。年龄年龄人数人数15152525252535353535454545455555555565 65 3 3 7 71212181810 10 讨论左边数列关于年龄的偏态和偏态系数
