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1、抛物线复习数学教案教学设计抛物线复习数学教案教学设计1 抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线.2 抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。顶点平分焦点到准线的垂线段： 。焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点 F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦为直径的圆必与准线相
2、切。所有这样的圆的公切线是准线。3 抛物线标准方程的四种形式：4 抛物线 的图像和性质：焦点坐标是： ，准线方程是： 。焦半径公式：假设点 是抛物线 上一点，那么该点到抛物线的焦点的间隔(称为焦半径)是： ，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线 上的动点可设为 P 或 或 P5 一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y2=kx k0 时开口向右 (k/4,0) x= k/4 到焦点(k/4,0)的间隔等于到准线 x= k/4 的间隔k0 时开口向左x2=ky k0 时开口向上 (0,k/4) y= k/4 到焦点(0,k/4)的间隔等于到准线 y= k/4 的间隔k0 时开口向下抛物线的定义
3、：例 1：点 M 与点 F (-4，0)的间隔比它到直线 l：x-6=0 的间隔4.2，求点 M 的轨迹方程.分析：点 M 到点 F 的间隔与到直线 x=4 的间隔恰好相等，符合抛物线定义.答案：y2=-16x例 2：斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于点 A、B，求线段 A、B 的长.分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.根本思路是：把求弦长AB 转化为求 A、B 两点到准线间隔的和.解：如图 8-3-1，y2=4x 的焦点为 F (1，0)，那么 l 的方程为y=x-1.由 消去 y 得 x2-6x+1=0.设 A (x1，y1)，B (x2，y2) 那么
4、x1+x2=6.例 3:(1) 抛物线的标准方程是 y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;(2) 抛物线的焦点是 F (0，3)求它的标准方程;(3) 抛物线方程为 y=-mx2 (m0)求它的焦点坐标和准线方程;(4) 求经过 P (-4，-2)点的抛物线的标准方程;分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的根底题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求 P 值(注意 p0).特别是(3)题，要先化为标准形式： ，那么 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.答案：(1) ， .(2) x2=12y (3) ， ;(4) y2=-x 或 x2=-8y.例 4 求满足以下条
5、件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3，2);(2)焦点在直线 x-2y-4=0 上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p;从实际分析，一般需确定 p 和确定开口方向两个条件，否那么，应展开相应的讨论解：(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p0)，过点(-3，2)，4=-2p(-3)或 9=2p2p= 或 p=所求的抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是 y=-(2)令 x=0 得 y=-2，令 y=0 得 x=4，抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)当焦点为(4，0)时
6、， =4，p=8，此时抛物线方程 y2=16x;焦点为(0，-2)时， =2，p=4，此时抛物线方程为 x2=-8y所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y，对应的准线方程分别是 x=-4，y=2常用结论 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p 设 A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线 y2=2px 上的两点， 那么 AB 过 F 的充要条件是 y1y2=-p2 设 A， B 是抛物线 y2=2px 上的两点，O 为原点， 那么 OAOB的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p，0)例 5：过抛物线 y2=2px (p0)的顶点 O 作弦 OAOB
7、，与抛物线分别交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=-4p2.分析：由 OAOB，得到 OA、OB 斜率之积等于-1，从而得到 x1、x2，y1、y2 之间的关系.又 A、B 是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到 y1、y2 的值.证：由 OAOB，得 ，即 y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 .而 y1y20.所以 y1y2=-4p2.弦的问题例 1 A,B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，满足 OAOB(O 为坐标原点) 求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;(2)直线 AB 经过
8、一个定点(3)作 OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程解：(1)设 A(x1,y1), B(x2,y2), 那么 y12=2px1, y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线 AB 的斜率 k= = = ,直线 AB 的方程为 yy1= (x ),即 y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x2p),直线 AB 过定点 C(2p,0)(3)解法 1:设 M(x,y), 由(2)知 y= (x2p) (i),又 ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即 = 1 (
9、ii)由(i),(ii)得 x22px+y2=0 (x0)解法 2: 由 OMAB 知点 M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短间隔，并求此时点 M 的坐标解：如图，设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 那么 x= , y= ,又设点 A，B，M 在准线 :x=1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/,MM/与 y 轴的交点为 N，那么|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,x= (x1+x2)= (|AF
10、|+|BF| ) (|AB| )=等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x )由 得 16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时 x= (x1+x2)= =y= 即 M( , ), N( , )例 3 设一动直线过定点 A(2, 0)且与抛物线 相交于 B、C 两点,点 B、C 在 轴上的射影分别为 , P 是线段 BC 上的点,且适合 ,求的重心 Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设 ,由 得又 代入式得 由 得 代入式得:由 得 或 , 又由式知 关于 是减函数且, 且所以 Q 点轨迹为一线
11、段(抠去一点):( 且 )例 4 抛物线 ,焦点为 F,一直线 与抛物线交于 A、B 两点,且 ,且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6, 0)求抛物线方程; 求 面积的最大值解: 设 , AB 中点由 得又 得所以 依题意 ,抛物线方程为由 及 ,令 得又由 和 得:例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短间隔，并求此时点 M 的坐标解：如图，设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 那么 x= , y= ,又设点 A，B，M 在准线 :x=1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/,MM/与 y 轴的
12、交点为 N，那么|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,x= (x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )=等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x )由 得 16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时 x= (x1+x2)= =y= 即 M( , ), N( , )综合类(几何)例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴?解：思路一：求出 M、Q 的纵坐标并进展比拟，如果相等
13、，那么MQ/x 轴，为此，将方程 联立，解出直线 OP 的方程为 即令 ，得 M 点纵坐标 得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 来证.设 、 、 ，并从 及 中消去 x，得到 ，那么有结论 ，即 .又直线 OP 的方程为 ， ，得 .因为 在抛物线上，所以 .从而 .这一证法运算较小.思路三：直线 MQ 的方程为 的充要条件是 .将直线 MO 的方程 和直线 QF 的方程 联立，它的解(x ,y)就是点 P 的坐标，消去 的充要条件是点 P 在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进展逆
14、向思维，运算量也较小.说明：此题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.例 2 过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 上一点，求RAB 的最大面积.分析：求 RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设 AB 所在的直线方程为 .将其代入抛物线方程 ，消去 x 得当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时，RAB 的面积有最大值.设直线 l 方程为 .代入抛物线方程得由 得 ，这时 .它到 AB 的间隔为RAB 的最大面积为 .例
15、 3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P 是线段 的中点，直线 过 P 和抛物线的焦点 F，设直线 的斜率为 k.(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为 k 的函数 ;(2)求出 的定义域及单调区间.分析： 过点 P 及 F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用 k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得设 ，那么将 代入 得： ，即 P 点坐标为 .由 ，知焦点 ，直线 的斜率函数 .(2) 与抛物线有两上交点， 且解得 或函数 的定义域为当 时， 为增函数.例 4 如下图：直线 l 过抛物线 的焦点，并且与这抛物
16、线相交于 A、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线 l不是 CD 的垂直平分线.分析：此题所要证的命题结论是否认形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D间隔相等来得矛盾结论.证法一：假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线，因为直线l 与抛物线交于 A、B 两点，所以直线 l 的斜率存在，且不为零;直线 CD 的斜率存在，且不为 0.设 C、D 的坐标分别为 与 .那么l 的方程为直线 l 平分弦 CDCD 的中点 在直线 l 上，即 ，化简得：由 知 得到矛盾，所以直线 l 不可能是抛物线的弦 CD 的垂直平分线.证法
17、二：假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线焦点 F 在直线 l 上，由抛物线定义， 到抛物线的准线 的间隔相等. ，CD 的垂直平分线 l： 与直线 l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.例 5 设过抛物线 的顶点 O 的两弦 OA、OB 互相垂直，求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方程.分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.解法一：设那么： ， 即， 把 N 点看作定点，那么 AB 所在的直线方程为： 显然代入 化简得：， 由、得： ，化简得用 x、y 分别表示 得：解法二：点 N 在以
18、OA、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，那么以 OA 为直径的圆方程为：设 ，OAOB，那么在求以 OB 为直径的圆方程时以 代 ，可得由+得：例 6 如下图，直线 和 相交于点 M， ，点 ，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 的间隔与到点 N 的间隔相等，假设AMN 为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程.分析：因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以此题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程.解：以 为 x 轴，MN 的中点为坐标原点 O，建立直角坐标系.由题意，曲线段 C 是 N 为焦点
19、，以 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段的两端点.设曲线段 C 满足的抛物线方程为： 其中 、 为 A、B 的横坐标令 那么 ，由两点间的间隔公式，得方程组：解得 或AMN 为锐角三角形， ，那么 ，又 B 在曲线段 C 上，那么曲线段 C 的方程为例 7 如下图，设抛物线 与圆 在 x 轴上方的交点为 A、B，与圆在 x 由上方的交点为 C、D，P 为 AB 中点，Q 为 CD 的中点.(1)求 .(2)求ABQ 面积的最大值.分析：由于 P、Q 均为弦 AB、CD 的中点，故可用韦达定理表示出 P、Q 两点坐标，由两点间隔公式即可求出 .解：(1)设由 得： ，由 得 ，同
20、类似，那么 ，(2)，当 时， 取最大值 .例 8 直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线的方程.分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，那么有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，那么有 解得解得如图， 、 在抛物线上两式相除，消去 ，得 ，故 ，由 ， ，得 .把 代入，得 .直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，又设 ，依
21、题意，有 ， .故 ， .由 ，知 .， .又 ， ，故 为第一象限的角.、 .将 、 的坐标代入抛物线方程，得，即 从而 ， ，得抛物线 的方程为 .又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .直线 的方程为 .说明：(1)此题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的根本方法，它的思路明确，但运算量大，假设不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.(2)此题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.例 9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.分析
22、：此题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.解：直线 ， ，设 的方程为 ，且 、 .由方程组 ，消去 ，得 ，于是， ， (其中 ).由， 为正方形， ，可视为平行直线 与 间的间隔，那么有，于是得 .两边平方后，得， ， 或 .当 时，正方形 的面积 .当 时，正方形 的面积 .正方形 的面积为 18 或 50.说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最根本的、贯穿始终的方法，此题应充分考虑正方形这一条件.例 10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，
23、经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短间隔.分析：利用抛物线有关性质求解.解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，彗星位于点 处.直线 的方程为 .解方程组 得 ，故 .故 ，得 .由于顶点为抛物线上到焦点间隔最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点间隔最近的点.焦点到抛物线顶点的间隔为 ，所以彗星与地球的最短间隔为 或 ，( 点在 点的左边与右边时，所求间隔取不同的值).说明：(1)此题结论有两个，不要漏解;(2)此题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点间隔最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最
24、小，故抛物线上到焦点间隔最近的点是抛物线的顶点.例 11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为 2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.分析：此题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，此题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为 2，又由抛物线焦点为圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ， 为圆的直径， ，那么 .设 、 ， ，而 、 在抛物线上，由可知，直线 方程为 ，于是，由方程组消去 ，得 ， .，因此， .说明：此题如果分别求 与 那么很
25、麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而防止了一些繁杂的运算.11.抛物线 y2=2px(p0)，过焦点 F 的弦的倾斜角为(0),且与抛物线相交于 A、B 两点.(1)求证：|AB|= ;(2)求|AB|的最小值.(1)证明：如右图，焦点 F 的坐标为 F( ,0).设过焦点、倾斜角为的直线方程为 y=tan(x- ),与抛物线方程联立，消去 y 并，得tan2x2-(2p+ptan2)x+ =0.此方程的两根应为交点 A、B 的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .设 A、B 到抛物线的准线 x=- 的间隔分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有
26、|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .(2)解析：因|AB|= 的定义域是 0，又 sin21，所以，当= 时，|AB|有最小值 2p.12.抛物线 y2=2px(p0)的一条焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m、n 两局部，求证： 为定值，此题假设推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?解析：(1)当 ABx 轴时，m=n=p，= .(2)当 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB:y=k(x- ),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m= +x1,n= +x2.将 AB 方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+ =0,= .此
27、题假设推广到椭圆，那么有 = (e 是椭圆的离心率);假设推广到双曲线，那么要求弦 AB 与双曲线交于同一支，此时，同样有 =(e 为双曲线的离心率).13.如右图，M 是抛物线 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x轴于 A、B 两点，且?|MA|=|MB|.(1)假设 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值;(2)假设 M 为动点，且 EMF=90，求EMF 的重心 G 的轨迹方程.(1)证明：设 M(y02,y0)，直线 ME 的斜率为?k(k0),那么直线 MF的斜率为-k，直线 ME 的方程为 y-y0=k(x-y02).由 得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得
28、y0yE= ,yE= ,xE= .同理可得 yF= ,xF= .kEF= (定值).(2)解析：当 EMF=90 时，MAB=45，所以 k=1，由(1)得 E(1-y0)2,(1-y0)F(1+y0)2,-(1+y0).设重心 G(x,y)，那么有消去参数 y0,得 y2= (x0).14.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点 M(1,-3)、N(5，1)，假设点 C 满足 =?t +(1-t) (tR),点 C 的轨迹与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点.(1)求证：(2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0)，使得过点 P 任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.假设存在
29、，请求出 m 的值及圆心的轨迹方程;假设不存在，请说明理由.(1)证明：由 =t +(1-t) (tR)知点 C 的轨迹是 M、N 两点所在的直线，故点 C 的轨迹方程是：y+3= (x-1),即 y=x-4.由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.x1x2=16，x1+x2=12，y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.x1x2+y1y2=0.故 .(2)解析：存在点 P(4，0)，使得过点 P 任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入 y2=x，得 y2-4ky-16=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.kOAkOB= =-1.OAOB,故以 AB 为直径的圆都过原点.设弦 AB 的中点为 M(x,y)，那么 x= (x1+x2),y= (y1+y2).x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k(4k)+8=4k2+8.弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为： 消去 k，得 y2=2x-8.
