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1、第十三章 本构方程（塑性应力应变关系）材料塑性本构关系材料塑性应力与应变关系称为材料塑性材料塑性应力与应变关系称为材料塑性材料塑性应力与应变关系称为材料塑性材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关系本构关系本构关系本构关系，其数学表达式称为其数学表达式称为其数学表达式称为其数学表达式称为本构方程本构方程本构方程本构方程，也称为，也称为，也称为，也称为物理方程物理方程物理方程物理方程材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料变形历史、组织结构等因素有关变形历史、组
2、织结构等因素有关变形历史、组织结构等因素有关变形历史、组织结构等因素有关材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等效应力与等效应变之间的关系效应力与等效应变之间的关系效应力与等效应变之间的关系效应力与等效应变之间的关系实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应力实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应力实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应力实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应力等效应变曲线基本相同等效应变曲线基本相同等效应变曲线基本相同等效应变曲线基本相同
3、通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件相同通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件相同通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件相同通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件相同的条件下，等效应力与等效应变曲线是单一的，称的条件下，等效应力与等效应变曲线是单一的，称的条件下，等效应力与等效应变曲线是单一的，称的条件下，等效应力与等效应变曲线是单一的，称为为为为单一曲线假设单一曲线假设单一曲线假设单一曲线假设可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力等效应变曲线等效
4、应变曲线等效应变曲线等效应变曲线材料塑性本构关系材料塑性本构关系常用实验方法有三种常用实验方法有三种常用实验方法有三种常用实验方法有三种PP单向拉伸实验单向拉伸实验单向拉伸实验单向拉伸实验PP单向压缩实验单向压缩实验单向压缩实验单向压缩实验PP平面应变压缩实验平面应变压缩实验平面应变压缩实验平面应变压缩实验简单拉伸的名义应力简单拉伸的名义应力名义应变曲线名义应变曲线等效应力等效应变简化模型OABCD 名义应变名义应变名义应变名义应变名名名名义义义义应应应应力力力力简单拉伸的真应力简单拉伸的真应力真应变曲线真应变曲线等效应力等效应变简化模型OABCD 名义应变名义应变名义应变名义应变名名名名义义
5、义义应应应应力力力力OABCD真应变真应变真应变真应变真真真真应应应应力力力力等效应力等效应变简化模型简单拉伸的真应力简单拉伸的真应力真应变曲线真应变曲线 真应变真应变真应变真应变真真真真应应应应力力力力弹性变形弹性变形弹性变形弹性变形理想塑性变形理想塑性变形理想塑性变形理想塑性变形强化变形强化变形强化变形强化变形硬化变形硬化变形硬化变形硬化变形一般由实验得到的真应力一般由实验得到的真应力一般由实验得到的真应力一般由实验得到的真应力真应变曲线（等效应真应变曲线（等效应真应变曲线（等效应真应变曲线（等效应力力力力等效应变曲线）比较复杂，不能用简单的函等效应变曲线）比较复杂，不能用简单的函等效应变
6、曲线）比较复杂，不能用简单的函等效应变曲线）比较复杂，不能用简单的函数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达的形式的形式的形式的形式主要等效应力主要等效应力主要等效应力主要等效应力等效应变简化模型等效应变简化模型等效应变简化模型等效应变简化模型vv理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型理
7、想弹塑性材料模型vv理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型vv幂指数硬化（强化）材料模型幂指数硬化（强化）材料模型幂指数硬化（强化）材料模型幂指数硬化（强化）材料模型vv刚塑性非线性硬化材料模型刚塑性非线性硬化材料模型刚塑性非线性硬化材料模型刚塑性非线性硬化材料模型vv弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型vv刚塑性线性硬化材料模型刚塑性线性硬化材料模型刚塑性线性硬化材料模型刚塑性线性硬化材料模型等效应力等效应变简化模型理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型 理想弹塑性材料模型
8、的理想弹塑性材料模型的理想弹塑性材料模型的理想弹塑性材料模型的特点是应力达到屈服应特点是应力达到屈服应特点是应力达到屈服应特点是应力达到屈服应力前，应力与应变呈线力前，应力与应变呈线力前，应力与应变呈线力前，应力与应变呈线性关系，应力达到屈服性关系，应力达到屈服性关系，应力达到屈服性关系，应力达到屈服应力之后，保持为常数应力之后，保持为常数应力之后，保持为常数应力之后，保持为常数等效应力等效应变简化模型 O O e e s s适合于应变不太大，适合于应变不太大，适合于应变不太大，适合于应变不太大，强化程度较小的材料强化程度较小的材料强化程度较小的材料强化程度较小的材料等效应力等效应变简化模型理
9、想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型 理想刚塑性材料模型的理想刚塑性材料模型的理想刚塑性材料模型的理想刚塑性材料模型的特点是忽略材料的强化特点是忽略材料的强化特点是忽略材料的强化特点是忽略材料的强化和弹性变形，数学表达和弹性变形，数学表达和弹性变形，数学表达和弹性变形，数学表达式为式为式为式为 O O s s适合于热加工和超塑适合于热加工和超塑适合于热加工和超塑适合于热加工和超塑性的金属材料性的金属材料性的金属材料性的金属材料等效应力等效应变简化模型幂指数硬化材料模型幂指数硬化材料模型幂指数硬化材料模型幂指数硬化材料模型 幂指数硬化材料模型的幂指数硬化材料模型
10、的幂指数硬化材料模型的幂指数硬化材料模型的数学表达式为数学表达式为数学表达式为数学表达式为 O Ok k适合于大多数金属材料适合于大多数金属材料适合于大多数金属材料适合于大多数金属材料可以简化为线弹性模型可以简化为线弹性模型可以简化为线弹性模型可以简化为线弹性模型和理想刚塑性模型和理想刚塑性模型和理想刚塑性模型和理想刚塑性模型k k为强度系数或者称为为强度系数或者称为为强度系数或者称为为强度系数或者称为强化（硬化）系数强化（硬化）系数强化（硬化）系数强化（硬化）系数n n为硬化指数，为硬化指数，为硬化指数，为硬化指数，00n n11n = n = 0 0n = n = 0.30.3n = n
11、= 1 1理想刚塑性理想刚塑性理想刚塑性理想刚塑性线弹性线弹性线弹性线弹性等效应力等效应变简化模型刚塑性硬化材料模型刚塑性硬化材料模型刚塑性硬化材料模型刚塑性硬化材料模型 刚塑性非线性硬化材料刚塑性非线性硬化材料刚塑性非线性硬化材料刚塑性非线性硬化材料模型的数学表达式为模型的数学表达式为模型的数学表达式为模型的数学表达式为 O O s s适合于预先经过冷加工适合于预先经过冷加工适合于预先经过冷加工适合于预先经过冷加工的金属材料。材料在屈的金属材料。材料在屈的金属材料。材料在屈的金属材料。材料在屈服前为刚性的，屈服后服前为刚性的，屈服后服前为刚性的，屈服后服前为刚性的，屈服后硬化曲线接近于抛物线
12、硬化曲线接近于抛物线硬化曲线接近于抛物线硬化曲线接近于抛物线k k1 1和和和和mm与材料性能有关与材料性能有关与材料性能有关与材料性能有关的参数的参数的参数的参数理想刚塑性理想刚塑性理想刚塑性理想刚塑性刚塑性非线性硬化刚塑性非线性硬化刚塑性非线性硬化刚塑性非线性硬化等效应力等效应变简化模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型 弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型的数学表达式为的数学表达式为的数学表达式为的数学表达式为 O O e e s s适合于弹性变形不可忽适合于弹性变形不可忽适合于弹性
13、变形不可忽适合于弹性变形不可忽略，且塑性变形的硬化略，且塑性变形的硬化略，且塑性变形的硬化略，且塑性变形的硬化率接近于不变的材料。率接近于不变的材料。率接近于不变的材料。率接近于不变的材料。例如合金钢、铝合金等例如合金钢、铝合金等例如合金钢、铝合金等例如合金钢、铝合金等E E1 1为塑性模量为塑性模量为塑性模量为塑性模量等效应力等效应变简化模型刚塑性线性硬化材料模刚塑性线性硬化材料模刚塑性线性硬化材料模刚塑性线性硬化材料模型型型型 如果弹性变形可以忽略，如果弹性变形可以忽略，如果弹性变形可以忽略，如果弹性变形可以忽略，材料的硬化认为是线性材料的硬化认为是线性材料的硬化认为是线性材料的硬化认为是
14、线性的。其数学表达式为的。其数学表达式为的。其数学表达式为的。其数学表达式为 O O s s适合于经过较大的冷适合于经过较大的冷适合于经过较大的冷适合于经过较大的冷变形量之后，并且其加变形量之后，并且其加变形量之后，并且其加变形量之后，并且其加工硬化率几乎不变的金工硬化率几乎不变的金工硬化率几乎不变的金工硬化率几乎不变的金属材料属材料属材料属材料广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律材料弹性本构关系EE弹性模量；弹性模量；弹性模量；弹性模量； 泊松比；泊松比；泊松比；泊松比；GG切变模量切变模量切变模量切变模量 广义胡克定律的张量表达式广义胡克定律的张量表达式广义胡克定律的张量表达式
15、广义胡克定律的张量表达式 材料弹性本构关系应力与应变之间是线性关系应力与应变之间是线性关系应力与应变之间是线性关系应力与应变之间是线性关系在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径量理论
16、近似地描述加载历史和复杂的应变路径由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出了各种不同的本构理论了各种不同的本构理论了各种不同的本构理论了各种不同的本构理论应用广泛的有应用广泛的有应用广泛的有应用广泛的有Levy-MisesLevy-Mises理论和理论和理论和理论和Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理论理论理论理论增量本构理论又称为流动理论增量本构理论又称为流动理论增量本构理论又称为流动理论增量本构理论又称为流动理论材料增量塑性本构关系LevyMis
17、esLevyMises理论理论理论理论 材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量；塑性应变增量就是总应变增量；塑性应变增量就是总应变增量；塑性应变增量就是总应变增量； 材料服从材料服从材料服从材料服从MisesMises屈服准则，即屈服准则，即屈服准则，即屈服准则，即 ； 塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应变增量偏张量
18、；变增量偏张量；变增量偏张量；变增量偏张量；材料增量塑性本构关系在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张量成正比量成正比量成正比量成正比 d d 正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是变化的，在卸载时变化的，在卸载时变化的，在卸载时变化的，在卸载时 d d = =0 0材料增量塑性本构关系LevyMisesLevyMises理论理论理论理论 的展开式为的展开式为的展开式为
19、的展开式为材料增量塑性本构关系LevyMisesLevyMises理论理论理论理论 正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一起写出起写出起写出起写出代入等效应变增量代入等效应变增量代入等效应变增量代入等效应变增量材料增量塑性本构关系LevyMisesLevyMises理论理论理论理论 再利用等效应力公式再利用等效应力公式再利用等效应力公式再利用等效应力公式整理后可得瞬时比例系数整理后可得瞬时比例系数整理后可得瞬时比例系数整理后可得瞬时比例系数d d 可得可得可得可得LevyM
20、isesLevyMises本构理论为本构理论为本构理论为本构理论为 材料增量塑性本构关系LevyMisesLevyMises理论理论理论理论 张量表达式为张量表达式为张量表达式为张量表达式为 Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理论理论理论理论 uuLevyMisesLevyMises理论没有考虑弹性变形的影响，仅理论没有考虑弹性变形的影响，仅理论没有考虑弹性变形的影响，仅理论没有考虑弹性变形的影响，仅适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，弹性变形不
21、可忽略，以及求解弹性回复和残余应弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和残余应弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和残余应弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和残余应力问题时不宜采用力问题时不宜采用力问题时不宜采用力问题时不宜采用LevyMisesLevyMises理论理论理论理论uuPrandtlPrandtl于于于于19241924年提出了平面应变情况下理想弹塑年提出了平面应变情况下理想弹塑年提出了平面应变情况下理想弹塑年提出了平面应变情况下理想弹塑性材料的本构关系性材料的本构关系性材料的本构关系性材料的本构关系uuReussReuss在在在在19301930年也独立提出了该理论，并将其推年也独立
22、提出了该理论，并将其推年也独立提出了该理论，并将其推年也独立提出了该理论，并将其推广到一般情况广到一般情况广到一般情况广到一般情况uu通常将它称为通常将它称为通常将它称为通常将它称为Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理论理论理论理论 材料增量塑性本构关系材料增量塑性本构关系Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理论理论理论理论 uuPrandtl-ReussPrandtl-Reuss理论考虑了弹性变形部分，将总的理论考虑了弹性变形部分，将总的理论考虑了弹性变形部分，将总的理论考虑了弹性变形部分，将总的应变增量应变增量应变增量应变增量d d ij ij分解为弹性应
23、变增量分解为弹性应变增量分解为弹性应变增量分解为弹性应变增量d d ij ije e和塑性应和塑性应和塑性应和塑性应变增量变增量变增量变增量d d ij ijp p之和之和之和之和 其中塑性应变增量其中塑性应变增量其中塑性应变增量其中塑性应变增量d d ij ijp p由由由由LevyMisesLevyMises理论理论理论理论给出给出给出给出材料增量塑性本构关系Prandtl-ReussPrandtl-Reuss理论理论理论理论 其中弹性应变增量其中弹性应变增量其中弹性应变增量其中弹性应变增量d d ij ije e 由广义虎克定律的由广义虎克定律的由广义虎克定律的由广义虎克定律的微分形式给
24、出微分形式给出微分形式给出微分形式给出可以得到可以得到可以得到可以得到Prandtl-ReussPrandtl-Reuss本构方程为本构方程为本构方程为本构方程为 材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从工程应用的角度讲是不方便的工程应用的角度讲是不方便的工程应用的角度讲是不方便的工程应
25、用的角度讲是不方便的许多学者（例如许多学者（例如许多学者（例如许多学者（例如HenckyHencky、NadaiNadai、伊留申）相继提、伊留申）相继提、伊留申）相继提、伊留申）相继提出了描述应力与全量应变之间的关系，称为出了描述应力与全量应变之间的关系，称为出了描述应力与全量应变之间的关系，称为出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理全量理全量理全量理论论论论，也称为，也称为，也称为，也称为形变理论形变理论形变理论形变理论其中伊留申提出的全量理论较为实用其中伊留申提出的全量理论较为实用其中伊留申提出的全量理论较为实用其中伊留申提出的全量理论较为实用伊留申指出，在塑性变形时，只有满足伊留
26、申指出，在塑性变形时，只有满足伊留申指出，在塑性变形时，只有满足伊留申指出，在塑性变形时，只有满足简单加载简单加载简单加载简单加载（也称为（也称为（也称为（也称为比例加载比例加载比例加载比例加载）条件时，才可以建立材料全量）条件时，才可以建立材料全量）条件时，才可以建立材料全量）条件时，才可以建立材料全量本构理论本构理论本构理论本构理论材料全量塑性本构关系简单加载简单加载简单加载简单加载 指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增加加加加为了建立
27、全量理论，需要提出以下几点假设：为了建立全量理论，需要提出以下几点假设：为了建立全量理论，需要提出以下几点假设：为了建立全量理论，需要提出以下几点假设：应力主方向与应变主方向是重合的；应力主方向与应变主方向是重合的；应力主方向与应变主方向是重合的；应力主方向与应变主方向是重合的；塑性变形时体积保持不变；塑性变形时体积保持不变；塑性变形时体积保持不变；塑性变形时体积保持不变；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个函数等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个
28、函数等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个函数等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个函数都可以通过实验来确定；都可以通过实验来确定；都可以通过实验来确定；都可以通过实验来确定；材料全量塑性本构关系EE为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关根据以上假设，可以写出如下方程根据以上假设，可以写出如下方程根据以上假设，可以写出如下方程根据以上假设，可以写出如下方程材料全量塑性本构关系GG为塑性剪切模量，与材料性能和塑性变形程为塑性剪切模量，与材料性能和塑性变形程为塑性剪切模
29、量，与材料性能和塑性变形程为塑性剪切模量，与材料性能和塑性变形程度有关度有关度有关度有关将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式一将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式一将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式一将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式一起写出起写出起写出起写出材料全量塑性本构关系再利用等效应力和等效应变公式再利用等效应力和等效应变公式再利用等效应力和等效应变公式再利用等效应力和等效应变公式材料全量塑性本构关系整理后可得整理后可得整理后可得整理后可得利用利用利用利用材料全量塑性本构关系全量形变理论可以表示为全量形变理论可以表示为全量形变理论可以表示为全量形变理论可以表示为上式
30、与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克上式与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克上式与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克上式与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克定律中的定律中的定律中的定律中的E E、G G、 分别用分别用分别用分别用EE、GG、0.50.5替代即可。但替代即可。但替代即可。但替代即可。但是是是是广义虎克定律中广义虎克定律中广义虎克定律中广义虎克定律中E E、G G都是常数，而全量理论中都是常数，而全量理论中都是常数，而全量理论中都是常数，而全量理论中EE、GG是与材料性能和加载历史有关的变量是与材料性能和加载历史有关的变量是与材料性能和加载历史有关的变量是与材料性能和加载历史有关的变量
