《第七讲第二章弹性力学平面问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七讲第二章弹性力学平面问题（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ZSRock Mass Mechanics弹性力学弹性力学张盛张盛 副教授副教授能源科学与工程学院能源科学与工程学院ZSRock Mass Mechanics 2-5 2-5 物理方程物理方程 弹性模量，弹性模量， 泊松比泊松比 2-6 2-6 边界条件边界条件 应力边界，位移边界，混合边界应力边界，位移边界，混合边界 2-7 2-7 圣维南原理圣维南原理 静力等效，静力等效， 原理应用原理应用上讲回顾（引言）上讲回顾（引言）22024/7/22平面问题的基本方程平面问题的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程（2-2）2. 几何方程几何方程（2-9）3. 物理方程物理方程（平面应力问题）（平
2、面应力问题）（2-15）4. 边界条件边界条件位移：位移：（2-17）应力：应力：（2-18）ZSRock Mass Mechanics 2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程 2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化本讲主要内容本讲主要内容42024/7/22ZSRock Mass Mechanics2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2024/7/22ZS1、弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：
3、（2-9）（3）物理方程：）物理方程：（2-15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）2、弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量 ，再由几
4、何方程、物理方程求出再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3、按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有（2-19）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有（2-20）（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：
5、应力边界条件：应力边界条件：（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得（2-21）（2-17）式（式（2-20）、（）、（2-17）、（）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程）构成按位移求解问题的基本方程说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：应
6、力边界条件：（2-21）ZSRock Mass Mechanics 相容方程相容方程2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题2024/7/22ZS1、变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程，需寻求补充方程， 从从形变形变、形形变与应力的关系变与应力的关系建立补充方程。建立补充方程。将几何方程：将几何方程：（2-9）作如下运算：作如下运算：显然有：显然有：（2-22） 形变协调方程（或相
7、容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：积分得：积分得：由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。2、变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：利用平衡
8、方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：将上述两边相加：（b）将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：将将 上式整理得：上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得（2-24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）注意：注意：注意：注意：当体力当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）3、按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基
9、本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程的解，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。ZSRock Mass Mechanics 例例8 8： 例例
10、9 9：图示矩形截面悬臂梁，在自由图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力端受集中力P P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0=0，然后说明这些，然后说明这些表达式是否代表正确解。表达式是否代表正确解。课堂练习与讨论课堂练习与讨论2024/7/22ZS例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（
11、2）解解（a）（b）（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：（2-2） 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：式（式（a）不是一组可能）不是一组可能的应力场。的应力场。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解解将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。例例
12、9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。解解材料力学解答：材料力学解答：式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是否满足边界条件边界条件？代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。再验
13、证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？ 满足满足满足满足近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解代入代入相容方程：相容方程：上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：ZSRock Mass Mechanics2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化2024/7/22ZS1、常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令： 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为： 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 X、Y 为常
14、数时，为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即，即或或（2-25）2、常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（2-18）（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1） Laplace方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同。）不同。（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具
15、有相同外力外力和边界条件和边界条件时，其计算结时，其计算结果相同。果相同。 光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平平面应变试验面应变试验模型，为实验应力模型，为实验应力分析提供理论基础。分析提供理论基础。满足：满足： 的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。3、常体力下常体力下体力体力与与面力面力的变换的变换平衡方程平衡方程:相容方程相容方程:边界条件边界条件:令：令：常体力下，常体力下， 满足的方程：满足的方程：(a)将式将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)(c
16、)表明：表明： （1）变换后的平衡方程、相容方程均为）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程齐次方程（容易求解）；（容易求解）；（2）变换后问题的）变换后问题的边界面力边界面力改变为：改变为：结论：结论：结论：结论：当体力当体力X =常数，常数，Y =常数时，可先求解常数时，可先求解无体力无体力而而面力面力为：为：问题的解：问题的解： ，而原问题的解为：，而原问题的解为：ZSRock Mass Mechanics课堂练习与讨论课堂练习与讨论2024/7/22ZSxyxy例例10：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的应力分析。图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：原问题：体力：体力：
17、边界面力：边界面力：所求应力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：变换后的问题：体力：体力：边界面力：边界面力：(1) 当当 y = 0 时，时，(2) 当当 y = h 时，时，(3) 当当 y = 2h 时，时，所求得的应力：所求得的应力：原问题的应力原问题的应力原问题的应力原问题的应力常体力下体力与面力转换的优点（好处）：常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原原问问题题的的求求解解方方程程变变换换后后问问题题的的求求解解方方程程常体力问题常体力问题无体力问题无体力问题作用：作用：(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。方便分析计算（齐次方程易求解）。 (2) 实验测
18、试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：注意：面力变换公式：面力变换公式： 与坐标系的选取有关，与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。2.平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：（2-9）位移边界条件位移边界条件（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）应力边界条件应力边界条件（3）物理方程：）物理方程：（2-15）平面应力问题平面应力问题3.平面问题一点的应力、应变分析平面问题一点的应力、应
19、变分析(b) 主应力与应力主向主应力与应力主向（2-7）（2-8）(c) 最大、最小剪应力及其方向最大、最小剪应力及其方向max、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。(a) 任意斜面上应力任意斜面上应力或或4.圣维南原理的应用圣维南原理的应用（d）任意斜方向的线应变）任意斜方向的线应变（2-11）（e）一点任意两线段夹角的改变）一点任意两线段夹角的改变（2-12） 若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布不同但，变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有显著改变，而的应力分布将有显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不
20、计所受的影响可忽略不计。注意事项：注意事项：(1)必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2)只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。P次要边界次要边界5.平面问题的求解方法：平面问题的求解方法：（2-17）位移边界条件位移边界条件（2-21）应力边界条件应力边界条件（1）按位移求解基本方程）按位移求解基本方程（2-20）平衡方程平衡方程（2）按应力求解平面问题的基本方程）按应力求解平面问题的基本方程（2-22） 形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）相容方程相容方程（2-23）（平面应力情形）（平面应力情形）
21、应应力力表表示示的的相相容容方方程程（2-24）（平面应变情形）（平面应变情形）（2-25）（体力（体力 fx、fy 为常数情形）为常数情形）（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（2-23）（平面应力情形）（平面应力情形）按应力求解的基本方程按应力求解的基本方程常体力下可以简化：常体力下可以简化：求解方法？求解方法？（ 两种平面问题形式相同）两种平面问题形式相同）（ 1）体力体力X、Y 转化为面力处理。转化为面力处理。（ 2）ZSRock Mass Mechanics 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法应
22、力函数解法应力函数解法2024/7/22ZS常体力下问题的基本方程：常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。边界条件、位移单值条件。(a)(b)式式(a)为非齐次方程，其解：为非齐次方程，其解：全解全解 = 齐次方程齐次方程通解通解1、平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1) 特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。(1)(2)(3)(2) 通解通解式式(a) 的齐次方程：的齐次方程：(c)(d)的通解。的通解。将式将式(d)第一式改写为第一式改写为由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数 A(x,y)，使得，使得(e)(f
23、)同理，将式同理，将式(d)第二式改写为第二式改写为(g)(h)比较式比较式( f )与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得(2) 通解通解式式(a) 的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解。的通解。由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数 (x,y)，使得，使得(i)(j)将式将式 (i)、(j) 代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得，得通解通解同理，将式同理，将式(d)第二式改写为第二式改写为(g)(h)比较式比较式( f )与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得由微分方程理论，必存在一函由微分方程理
24、论，必存在一函数数 (x,y)，使得，使得(k)(2) 通解通解式式(a) 的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解：的通解：(k) 对应于平衡微分方程的对应于平衡微分方程的齐次方程通解齐次方程通解。(3) 全解全解取特解为：取特解为：则其全解为：则其全解为：(2-26) 常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（a a）的全解。）的全解。）的全解。）的全解。 由式（由式（2-26）看：不管）看：不管(x,y)是是什么函数，都能满足平衡方程。什么函数，都能满足平衡方程。(x,y) 平面问题的平面问题的应力函数应力函数 Airy 应力函数应力函数2、相容方程的应力函数表
25、示相容方程的应力函数表示(2-26)将式（将式（2-26）代入常体力下的相容方程：）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：有：注意到体力注意到体力fx、 fy 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有(2-27) 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。2、相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将式（将式（2-26）代入常体力下的相容方程：）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：有：注意到体力注意到体力 fx、 fy 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有(2-27)
26、 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。式（式（2-27）可简记为：）可简记为：或：或：式中：式中：满足方程满足方程(2-27)的函数的函数(x,y) 称称为为重调和函数（或双调和函数）重调和函数（或双调和函数）结论：结论：结论：结论：应力函数应力函数应为一应为一重调和函数重调和函数按应力求解平面问题（按应力求解平面问题（fx = 常量、常量、fy = 常量）的归结为：常量）的归结为：（1）(2-27)（2） 然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由
27、方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3） 再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法(2-28)（无体力情形）（无体力情形）3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法（1） 逆解法逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2） 主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式（然后利
28、用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y) 对对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求可以求解什么问题。解什么问题。（2） 半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，
29、求出出(x,y) 的形式；的形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。 半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。ZSRock Mass Mechanics第二章小结第二章小结2024/7/22ZS1. 两类平面问题：两类平面问题： 平面应力问题；平面应变问题。平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程的异同）（两类平面问题中基本方程的异同）2. 平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。平衡方程、几何方程
30、、物理方程、边界条件（位移、应力）。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）（几何特点、受力特点、应力或应变特点）3. 平面问题的求解平面问题的求解（1） 按位移求解平面问题按位移求解平面问题（2） 按应力求解平面问题按应力求解平面问题基本方程：基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；）用位移表示的应力边界条件；（3）边界条件：应力、位移边界条件。）边界条件：应力、位移边界条件。相容方程相容方程（形变协调方程）：（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）形式、应力函数表示。）（2）按应力求
31、解平面问题按应力求解平面问题相容方程相容方程（形变协调方程）：（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）示形式、应力函数表示。）应力函数表示的应力分量表达式：应力函数表示的应力分量表达式：(2-26)常体力下的简化；常体力下的简化；应力函数的求解方法：应力函数的求解方法： （逆解法、半逆解法。）（逆解法、半逆解法。）按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的基本步骤：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的基本步骤：4. 应力边界条件应力边界条件的列写及圣维南原理的应用的列写及圣维南原理的应用.5. 任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。6. 任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。
