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1、2007 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二） 参考答案考试说明：1.考试时间为 150 分钟；2.满分为 150 分3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4.密封线左边各项要求填写清楚完整。一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有 8 个空格，每个空格，每一空格一空格 5 分，共分，共 40 分）分）1.设，其反函数为.) 1ln(1xy11xey2.设 ，函数的可去间断点为.23ln2xxxyy1x3.设，则曲线与直线及轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体xexxy)
2、()(xy1xxx积为 .)1 (412e4.级数收敛的必要条件为.1nnulim0nnu 5.确定曲线的垂直渐近线为，斜渐近线为.12xxy1x1 xy6.广义积分 1 .21lnedxxx7.对于，其特解可以假设为xxexyxyxyxsin)(2)(2)( . sin)(cos)(*xDCxxBAxeyx二、选择题：选择题： （本题共有（本题共有 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，每个小题给出的选项中，只分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求有一项符合要求.）1. 曲线的拐点为 （ A ）13xy（A） (B) (C) (D) 无拐点) 1, 0(1, 0)
3、2, 1(2. 当时， 是 的（ C ）.0x 2(1cos )x2sin x 同阶但不是等价无穷小 等价无穷小 ( )A( )B 高阶无穷小 低阶无穷小( )C()D3. 若，则（ A ）2) 1 ( f0(1)(1)limsinxfxfx（A） (B) (C) (D) 22104. 对于幂级数，下列说法中正确的为（ D ）11) 1(npnn(A）当时，发散 (B) 当时，条件收敛1p1p(C) 当时，条件收敛 (D) 当时，绝对收敛1p1p5. 若，分别为非齐次线性方程的解，则xxysinxysin)(xfqyypy 为下列方程中（ B ）的解：xxysin) 1( (A） （B）0 q
4、yypy)(2xfqyypy (C) (D) )(xfqyypy )(xxfqyypy 三、计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题共三、计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题共 10 个小题，个小题，每小题每小题 6 分，共分，共 60 分）分）1.求曲线在点的切线方程和法线方程.12xxey) 1, 0(解：， （1 分）xxxeexy22)( （1 分）2)0( y切线方程： （2 分）12 xy法线方程： （2 分）121xy2., 求.12xeyx)(xy解： （3 分）) 1ln(2121ln2xxy （3 分）)121 (12122x
5、xxeyx3.求微分方程的通解.xeyyy252 解：1）052 yyy 特征方程为 ，解为 （2 分）0522 rrir21 通解为 （2 分）)2sin2cos(21xCxCeyx 2）设特解为 ，代入 求得 （1 分）xAey *41A故原方程通解为 （1 分）xxexCxCey41)2sin2cos(214.设函数由方程确定，求微分.( )yy x2022ytdtexydy解： （4 分）2220yyxyyy e （2 分）dxxyeydyy2225.求极限.)cot11(lim20xxxx解： )cot11(lim20xxxx （2 分）xxxxxxsincossinlim20 （2
6、 分）30cossinlimxxxxx （2 分）313sinlim20xxxx6.确定级数的收敛性.13!sinnnnn解： ， （1 分）!sin33nnnnn由比值判别法判断，级数收敛 （3 分）13!nnn由比较判别法判断原级数绝对收敛 （2 分）7.计算定积分.22204xx dx解： 设， （1 分）txsin22cosdxtdt （1 分）2sin22222220044sin2 cosxtxx dxttdt （2 分）2204sin 2tdt （2 分）202(1cos4 ) t dt8.确定幂级数收敛半径及收敛域，其中为正常数.111nnnxnaa解： （2 分） aaannn
7、1lim1收敛半径为 （1 分）aR 当时，级数发散 （1 分）ax 当时，级数收敛 （1 分）ax 故收敛域为 （1 分）),aa9.求.dxxxxx) 1(322解： （3 分）1123) 1(3222xxxxxxx （3 分）Cxxxdxxxxxarctan) 1ln(ln3) 1(322210. 求解微分方程.xexyysincos解： 1) 0cosxyy （1 分）xdxydycos （1 分）Cxysinln （1 分）xCeysin2) （1 分）xexuysin)( xxxexuexuysinsincos)()( , 解得， （1 分）xxeexuxyysinsin)(cos
8、( )u xxC故 （1 分） xeCxysin)(四、综合题：（本题共四、综合题：（本题共 4 个小题，总分个小题，总分 30 分）分）1.(本题 7 分) 将函数展开为麦克劳林级数.xyarctan解：022) 1(11nnnxxy （3 分） （3 分）01212) 1(arctannnnxnxy （1 分） 1 , 1x2.(本题 7 分)计算222111lim242nnnnn 解： （3 分）2214121222222nnnnnnnnn 由 （3 分）22limlim122nnnnnnn 可得 （1 分）222111lim1242nnnnn 3.(本题 8 分)设，其中具有二阶导数，
9、且，0,0,cos)()(xaexxxxxfx( )x1)0(，0)0(1)0( (1) 确定的值，使在处连续；a)(xf0x(2) 求.)(xf 解：（1） （1 分）0lim( )1xf xa 00( )1 1coslim( )limxxxxf xx ， （1 分）0( )(0)1coslim(0)00xxxxx 于是，当时，在处连续，且 （1 分）1a)(xf0x0)0(f （2） 当时， （1 分）0x 2( )sin )( ( )cos )( )xx xxxfxx 当时， （1 分）0x ( )xfxe 当 时，已知具有二阶导数，且，0x ( )x1)0(0)0(1)0( 由200(
10、 )cos(0)( )cos(0)limlimxxxxfxxxfxx =1 （1 分）00( )sin( )(0)sin(0)1limlim22222xxxxxxxxx （1 分）11lim)0(0xefxx因为，所以. (0)(0)1ff(0)1f由此得 （12( )sin )( ( )cos ),0( )1,0,0xxx xxxxxfxxex分）4.(本题 8 分)设在具有连续导数，且满足方程， )(xf), 1 xdttftxfx1221)()1 ()(求.)(xf解： （1 分）0)()1 ()()(222xfxxfxxxf记 ，易见 （1 分）)(xfy 1) 1 (y yxxyx) 12(22 （2 分）dxxxxydy2212 （1 分）Cxxxy1ln2ln （1 分）xxxxxexCCey121ln2 由可知， （1 分）1) 1 (y1C综合可得 （1 分）xxexy121
