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1、第10讲 用样本估计总体考纲要求考点分布考情风向标1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题2013年新课标第18题考查求平均数及茎叶图；2014年新课标第19题考查求中位数及茎叶图；2014年新课标第18题完成频率分布直方图、平均数
2、及方差及用样本估计总体思想应用；2016年新课标第19题考查用样本估计总体思想应用；2017年新课标第2题考查样本数据平均数、中位数、标准差等1.由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有所涉及，包括样本的频率分布(折线图、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算.复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习.2.高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁.因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础1.用样本估计总体通常我们对总
3、体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征.2.统计图(1)频率分布直方图.求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差.决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 512 组，组距_.将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组.列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表.将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反映各个数据在每组所占比例的大小.绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距
4、，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的频率组距，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形的面积总和等于_.1(2)频率分布折线图和总体密度曲线.频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端的中点，就得频率分布折线图.总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线.(3)茎叶图.当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录和表示都带来方便.3.用样本的数字特征估计总体
5、的数字特征(1)众数、中位数、平均数.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.平均数：样本数据的算术平均数， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.最中间(2)样本方差、标准差.标准差(其中 xn 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，x是_).标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差接近总体方差.平均数1.(2017 年江西南昌二模)图 9101 是一样本的频率分布直
6、)方图.若样本容量为 100，则样本数据在15,20)内的频数是(图 9101A.50B.40C.30D.14解析：因为15,20)对应的小矩形的面积为 10.0450.150.3，所以样本落在15,20)的频数为 0.310030.故选 C.答案：C2.(2015 年重庆)重庆市 2013 年各月的平均气温(单位：)数据的茎叶图如图 9102，则这组数据中的中位数是(图 9102A.19B.20C.21.5D.23解析：由茎叶图可知总共 12 个数据，处在正中间的两个数是第 6 和第 7 个数，它们都是 20，由中位数的定义可知：其中位数就是 20.故选 B.B3.(2015 年广东)已知样
7、本数据 x1，x2，xn 的均值 x 5，则样本数据 2x11，2x21，2xn1 的均值为_.11解析：因为样本数据 x1，x2，xn 的均值 x 5，所以样本数据 2x11,2x21，2xn1 的均值为 2 x 125111.4.(2016 年上海)某次体检，6 名同学的身高(单位：米)分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是_(单位：米).1.76解析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这 6 个数的中位数是 1.75 与 1.77 的平均数，显然为 1.76.考点 1 样本的
8、数字特征例 1：(1)(2017 年新课标)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，xn的平均数 B.x1，x2，xn的标准差C.x1，x2，xn的最大值 D.x1，x2，xn的中位数解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选 B.答案：B(2)(2017 年湖南衡阳四中统测)10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a，中位数为 b，众数为 c，则有()A.
9、abcC.cabB.bcaD.cba解析：生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，总和为 147，平均数 a1471014.7；样本数据 17 出现次数最多，为众数，即 c17；从小到大排列中间 2 个数的平均数，即中位数 b15.171514.7，cba.答案：D丙班成绩分数708090100人数4664甲班成绩分数708090100人数5555(3)甲、乙、丙三个班各有 20 名学生，一次数学考试后，三个班学生的成绩与人数统计如下表：乙班成绩分数人数7068049041006若s1，s2，s3 分别表示甲、乙、丙三个班本次考试成绩的标准差，则()A.s2s
10、1s3 B.s2s3s1 C.s1s2s3 D.s3s1s2解析：三个班本次考试成绩的均值都为 85，由标准差的几何意义得，标准差越小，数据偏离于均值的平均程度越小，因此 s2 最大，s3 最小.故选 A.答案：A考点 2 茎叶图的应用例 2：(2014 年新课标)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 个市民，根据这 50 个市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图(如图 9103).图 9103(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 分的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门
11、的评价.解：(1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 66,68，故样本中位数为6668267.所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67.(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于90 分的比率分别为5500.1，8500.16.故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 分的概率的估计值分别为 0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门
12、的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差别较大.(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)【互动探究】1.(2017 年山东)如图 9104 所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位)A数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为(图 9104A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7解析：甲组中位数为 65，所以乙组中位数也为 65，故 y5，乙组平均数为 66，所以 5662657470x665，x3.故
13、选 A.2.如图 9105 所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为 85，乙同学的六科成10绩的众数为 84，则 xy_.图 91053.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶图(如图)A9106)，则这组数据的中位数和平均数分别是(图 9106A.91.5 和 91.5B.91.5 和 92C.91 和 91.5D.92 和 92质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115) 115,125)频数62638228考点 3 频率分布直方图的绘制及其应用例 3：(2014 年新课标)从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些
14、产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)如图 9107，在表格中作出这些数据的频率分布直方图：图 9107(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)频率分布直方图如图 D84：图 D84(2)质量指标值的样本平均数为x 800.06900.261000.381100.22120 0.08100.质量指标值的样本方差为s2(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104.
15、所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104.(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68，由于该估计值小于 0.8.故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个要点：纵轴表示频率组距；频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.
16、【互动探究】4.某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图 9108.以组距为 5 将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是()图 9108ACBD分组频数频率频率组距0,5)10.050.015,10)10.050.0110,15)40.200.0415,20)20.100.0220,25)40.200.0425,30)30.150.0330,35)30.150.0335,4020.100.02合计201.000.20解析：根据题意，列频率分布表得：故选 A.答案：A5.(2016 年宁夏固原模拟)某小区共有
17、1000 户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图 9109，则该小区居民用电量的中位数为_，平均数为_.图 9109解析：中位数为：150(170150)0.10.0220155.该组数据的平均数为 x 0.005201200.01520140 0.020 20 160 0.005 20 180 0.003 20 200 0.00220220156.8.答案：155156.86.(2015 年江西南昌模拟)某中学为了检验 1000 名在校高三学生对函数模块掌握的情况，进行了一次测试，并把成绩进行统计，得到的样本频率分布直方图如图 91010，则考试成绩的众数大约为() 图
18、91010A.55B.65C.75D.85解析：由直方图可得众数大约为7080275.C难点突破函数思想在统计中的应用在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查统计与概率的知识，这也是近几年高考出题的热点.例题：(2016 年新课标)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 91011：记 x 表示 1 台机器在三
19、年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数.图 91011(1)若 n19，求 y 与 x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于0.5，求 n 的最小值.(3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？解：(1)当 x19 时，y3800；当 x19 时，y3800500(x19)500x57
20、00.所以 y 与 x 的函数解析式为(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19.(3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：1100(380070430020480010)4000.若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000,10 台的费用为4500，因此
21、这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：1100(400090450010)4050.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.【规律方法】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.【互动探究】D7.茎叶图(如图 91012)记录甲、乙两人在 5 次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为()图 91012A.110B.710C.310D.15解析：由题意，得基本事件总数为 10，设未记录的成绩为90 x(xN,0x9)，则88899091928383879990x，即 x8，满足要求的有 2 个，所以所求概率为 .15
