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1、清华中学清华中学 初中数学八年级上册初中数学八年级上册（苏科版）（苏科版）9.59.5三角形的中位线（三角形的中位线（三角形的中位线（三角形的中位线（1 1）学习目标：学习目标：1 1、能识别三角形的中位线、能识别三角形的中位线; ; 能证明三角形中位线定理能证明三角形中位线定理; ;2 2、能用三角形中位线定理解决其它相关问题、能用三角形中位线定理解决其它相关问题; ;3 3、在自主探索与合作交流中、在自主探索与合作交流中, , 经过猜想、验证过程经过猜想、验证过程, , 进一步发展推理论证能力进一步发展推理论证能力. . 1、如图如图, ,点点O O为为ABCDABCD对角线的交点对角线的
2、交点, ,过过O O的直线的直线EFEF与边与边ADAD、BCBC分别相交于分别相交于E E、F, F, 图中全等三角形最多有图中全等三角形最多有_对对. . 2.2.已知：如图，已知：如图，E E、F F是是ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上的点，上的点， 且且AE=CF.AE=CF. (1) BE (1) BE与与DFDF有什么关系有什么关系? ? (2) (2) 证明你的结论证明你的结论. . 3.3. 已知：四边形已知：四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，给出下列给出下列5 5个条件：个条件：ABCDABCD；OA=OCOA=OC；A
3、B=CDAB=CD；BAD=DCBBAD=DCB；ADBC.ADBC.（1 1）从以上从以上5 5个条件中任意选取个条件中任意选取2 2个条件，能推出四边形个条件，能推出四边形ABCDABCD是是平行四边形的有（用序号表示）：平行四边形的有（用序号表示）：如如与与 . .（2）对由以上）对由以上5个条件中任意选取个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明请选取一种情形举出反例说明 一、三角形中位线的概念：一、三角形中位线的概念： (1)(1)在在ABCABC中中, ,请你画出请你画出ABAB边上的中线边上的中
4、线CD;CD; ABC(2)(2)对于对于ABCABC来说来说, , 中线中线CDCD是由怎样的两点连接而成的是由怎样的两点连接而成的? ? (3)(3)若若E E为为ABCABC周边周边 ( (折线折线BA-AC-CB) BA-AC-CB) 上的一点上的一点, ,连接连接DE,DE,当当E E运动到运动到ACAC边中点时边中点时, , 线段线段DEDE称为称为ABCABC的的中位线中位线 (4) (4) 三角形中位线与中线有什么区别三角形中位线与中线有什么区别? ?(5)(5) 当当E E在在ABCABC周边上运动时周边上运动时, ,还有哪些位置使线段还有哪些位置使线段DEDE成为三角形成为
5、三角形ABCABC的的中位线中位线? ? 识图练习：识图练习： (1)1) 如图如图, ABC, ABC中中,D,D、E E、F F三等分三等分AB,GAB,G、H H、K K三等分三等分AC ,AC , 则则ABC ABC 的的中位线中位线是是_;_; DG DG是是_的的中位线中位线. .(2)(2)读句画图并填空读句画图并填空ABCABC的中线的中线BDBD、CECE相交于点相交于点O,FO,F、G G分别是分别是OBOB、OCOC的中点的中点则则FGFG是是_的的中位线中位线; ;DEDE是是_的的中位线中位线. . 二、三角形中位线定理 已知已知; ;如图如图, , ABC ABC中
6、中,D,D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点的中点, , (1)(1)猜想猜想DEDE与与BCBC在位置和数量上各有什么关系在位置和数量上各有什么关系? ? (2)(2)证明你的猜想证明你的猜想. . 思路：转化方向思路：转化方向平行四边形平行四边形F如何将三角形纸片剪拼成平行四边形呢？如何将三角形纸片剪拼成平行四边形呢？F证明：证明：延长延长DE到到F，使使EF= =DE，连接连接CF请同学完成下面的证明请同学完成下面的证明还有其他的转化方法吗？还有其他的转化方法吗？请你来尝试请你来尝试定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于
7、第三边的一半例例1 已知：如图，梯形已知：如图，梯形ABCD中，中，ADBC，E，F分分别是别是AB，DC的中点的中点求证：求证：EFBC，EF= 1/2（BC+AD）ABCDEFG思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明ABCDEFG证明：证明：连接连接AFAF并延长，交并延长，交BCBC的延长线于点的延长线于点G GADADBCBC，D D =FCGFCG在在ADFADF和和GCFGCF中，中， D D=FCG FCG ， DFDF= =CF CF ， AFDAFD=GFCGFC， ADFADFGCFGCF（ASAAS
8、A）AFAF= =GFGF，ADAD= =GCGC( (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等) )又又AEAE= =EBEB，EFEF是是ABGABG的中位线的中位线EFEFBCBC，EF EF =1/2 =1/2 BG BG = 1/2= 1/2( (BC+CGBC+CG ) )( (三角形中位线定理三角形中位线定理) )ADAD= =GCGC，EFEF= 1/2( (AD+BCAD+BC) )思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明ABCDEFMN证明：证明：过点过点F作作MNAB，交，交AD的延长
9、线于点的延长线于点M，交，交BC于点于点NADBC，四边形四边形AMNB是平行是平行四边形，且四边形，且MDF=FCN AB=MN在在DFM和和CFN中，中， MDF=FCN ， DF=CF ， DFM=CFN ， DFMCFN(ASA)DM=CN，MF=FN=1/2 MN又又AE=EB=1/2 ABAE=EB=MF=FN四边形四边形AEFM，EBNF是平行四边形是平行四边形AM=EF=BC，EFBCAD EF=1/2 (AD+BC)归纳与概括归纳与概括:你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括梯形中位线的性质吗梯形中位线的性质吗?ABCDEF已知已
10、知ABC，分别连接三边中点分别连接三边中点D，E，F（如图），如图），你能得到哪些结论呢你能得到哪些结论呢? ABCDEF我们可以从线段的数量关系、我们可以从线段的数量关系、三角形是否全等、是否有平行三角形是否全等、是否有平行四边形等不同的角度来寻找四边形等不同的角度来寻找连接连接AF，你有什么发现呢你有什么发现呢?若请你添加一个条件若请你添加一个条件,你又有什么发现呢你又有什么发现呢?剪拼三角形剪拼三角形三角形中三角形中位线定理位线定理梯形中位梯形中位线性质线性质1 12.从实验操作中发现添加辅助线的方法从实验操作中发现添加辅助线的方法3.转化思想的应用转化思想的应用将三角形问题转化为平行四边形问题，将三角形问题转化为平行四边形问题，将梯形中位线问题转化为三角形中位线将梯形中位线问题转化为三角形中位线小明有一个解不开的迷：他任意画了三个小明有一个解不开的迷：他任意画了三个ABCABC（不全等），不全等），发现只要向图中的角平分线发现只要向图中的角平分线BGBG、CFCF作垂线作垂线AGAG、AFAF，连接两连接两垂足垂足F F、G G，则，则FGFG总是与总是与BCBC平行，但他不会证明，你能解开平行，但他不会证明，你能解开这个迷吗？这个迷吗？
