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1、内容回顾内容回顾 1. 概率论中的基本概念：概率论中的基本概念：样本点，样本点，样本空间，样本空间，随机事件随机事件 2. 随机事件的四种关系和三种运算以及随机事件的四种关系和三种运算以及De Morgen律律 3.概率的统计定义：概率的统计定义： 频率越大，事件发生的可能性越大频率越大，事件发生的可能性越大 4. 概率的公理化定义：概率的公理化定义：非负性，规范性，可加性非负性，规范性，可加性 5. 概率的五条性质概率的五条性质2024/7/221古典概型古典概型一、古典概型的定义二、古典概型的公式三、应用第三节第三节基本内容：2024/7/2222024/7/223注注: :2 2 判断判
2、断古典概型的两个依据：古典概型的两个依据： 的有限性；的有限性； 各基本事件各基本事件的的等可能性等可能性. .3 3 加法原理、加法原理、乘法原理、乘法原理、排列与组合在古典概型排列与组合在古典概型中起着重要的作用中起着重要的作用.1 1 古典概型与样本空间古典概型与样本空间 的建立有关；的建立有关；2024/7/224预备知识：预备知识：1.1.加法原理：加法原理：完成完成1 1件事，有件事，有n类办法类办法. . 在第在第1 1类类办法中办法中有有m1种不同的方法，种不同的方法， 在第在第2类中有类中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类中有类中有mn种不同的方法，种不同的方法，
3、那么完成这件事共有那么完成这件事共有2.2.乘法原理：乘法原理：完成完成1 1件事，需要分成件事，需要分成n个步骤个步骤. . 做第做第1步步有有m1种不同的方法种不同的方法, 做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有2024/7/2253.3.排列：排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn)个元素的所有个元素的所有排列的个数，排列的个数， 叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数记为记为4.4.组合：组合：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m
4、 (mn)个元素并成一个元素并成一组，组，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数，记为个元素的组合数，记为2024/7/226 例例1 1：从0, 1, 2,9共10个数字中任取一个.假定每(1) 7个数字全不同；(2) 不含4和7；出7个数字，试求下列各事件的概率:个数字都以1/10的概率被取中,取后还原,先后取三、常见的古典概型三、常见的古典概型1.1.随机取数模型随机取数模型2024/7/227解解: :样本空间所包含的基本事件总数：107.(1) A表示“7个数字全不同”.A所包含的基本事件数：(2) B表示“ 不含4和7”.2024/7/2282.2.分房模型
5、分房模型解：1 先求样本空间所含的样本点总数.有n个人，每个人都以同样的概率 1/N被分配在N (nN) 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1) 某指定n间房中各有一人；(2) 恰有n间房，其中各有一人；(3)某指定房中恰有m (m n)人.例例2:2:2024/7/229分析分析 把n个人随机地分到N个房间中去, 每一种分法就对应着一个样本点(基本事件)，由于每个人都可以住进N间房中的任一间，所以每一个人有N种分法, n个人共有 Nn 种分法, 即基本事件总数：2 (1) 设 A表示“某指定n间房中各有一人”则 A所含样本点数：2024/7/2210(2) 设B表示“恰有n间房，其中
6、各有一人”这n间房可以从N个房间中任意选取, 共有 各有一人的分法有 n!种, 所以事件B所含的样本点数：种分法. 而对于每一选定的n间房,其中分析分析 对于事件B，由于未指定哪n个房间,所以2024/7/2211求其中恰有2件次品的概率.例例3 3：设一批产品共100件, 其中共有95件正品和5件次品,按放回抽样放回抽样方式从这批产品中抽取10件样本,放回地抽取10件样品共有基本事件数设事件A1表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,解：事件A1包含的基本事件数：3.3.产品检验模型产品检验模型2024/7/2212基本事件的相当于从100件样品中取10件作组合,求取出的10件样本中恰有2件
7、次品的概率.例例4.4. 上题按不放回抽样不放回抽样方式从这批产品中抽取10件样品,解解1 1：从这批产品中不放回抽样抽取10件样品总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,则事件A2包含的基本事件数为按古典概型的概率公式,2024/7/2213则事件A2包含的基本事件数为解解2 2：第一次抽取有100种不同取法, 第二次抽取有99种不同取法, , 第10次抽取有91种不同取法因此基本事件的总数为设事件A2表示“取出的10件样品中恰有2件次品”,按古典概型的概率公式,2024/7/2214 (2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为 (
8、1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为 设一批产品共N件, 其中有M件次品, 从这批产品中随机抽取n件样品，则产品检验模型产品检验模型2024/7/2215就是从N件产品中任取次取出的产品是次品的概率.例例5.5. 设一批产品共N件, 其中有M件次品,每次从这批产品中任取1件产品, 取出后不放回, 求第解解: :到第i次取出的产品时,i件样品的排列, 所以基本事件的总数为设事件Ai表示“第i次取出的产品是次品”,它包含的基本事件数为2024/7/2216 注：注：放回抽样或不放回抽样中放回抽样或不放回抽样中, ,无论哪次抽取次无论哪次抽取次品的概率都
9、一样品的概率都一样, ,即取出次品的概率与先后次序即取出次品的概率与先后次序无关无关. .按古典概型的概率公式, 得2024/7/2217同类型的问题还有：5) 扑克牌花色问题；扑克牌花色问题；4) 鞋子配对问题；鞋子配对问题；6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题英文单词、书、报及电话号码等排列问题.1) 中彩问题；中彩问题；2) 抽签问题；抽签问题；3) 分组问题；分组问题；2024/7/221819解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.例：某接待站在
10、某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。2024/7/2219条件概率条件概率 概率乘法公式概率乘法公式一、条件概率二、概率乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式基本内容：第四节第四节2024/7/2220条件概率是概率论中的一个重要概念，什么是条件概率？同时，我们将发现它也是用来计算复杂模型中
11、概率的重要工具。2024/7/22212024/7/2222 所谓所谓 “事件事件A1已发生已发生”,是指是指A1 中某一个样本点已出现。中某一个样本点已出现。 那么，那么，“在事件在事件A1已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件A2再发生再发生”， 必然是这个已出现的样本点又属于必然是这个已出现的样本点又属于A2(属于属于A1A2).例：设在例：设在10个同一型号的元件中有个同一型号的元件中有7个一等品个一等品,从这些元件中从这些元件中不放回连续取两次不放回连续取两次,每次取一个元件每次取一个元件,求在第一次取得一等品求在第一次取得一等品的条件下的条件下,第二次取得一等品的概率第二次取得一
12、等品的概率.分析：分析： 设设Ai表示表示“第第 i 次取得一等品次取得一等品” (i=1, 2),在新的样本空间在新的样本空间 中求事件中求事件A1A2的概率的概率所以所以A1发生的条件下发生的条件下,A2发生的概率看成是发生的概率看成是2024/7/22232.条件概率的定义条件概率的定义为事件A在事件B发生的条件下的条件概率条件概率.设A与B是两个随机事件,若P(B)0,则称2024/7/22243. 条件概率的性质条件概率的性质(3) 可列可加性：逆事件的条件概率:(1) 非负性： 0P(A|B) 1;(2) 规范性：对于可列无穷个互不相容事件故条件概率满足概率的5条性质，如2024/
13、7/2225例例6.6. 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件中不放回连续取两次,求在第一次取得一等品的条件下, 第二次取得一等每次取一个元件,品的概率.解：解：设Ai表示“第 i 次取得一等品” (i=1, 2),则解解1：解解2：若按事件A1发生条件下缩减后的样本空间来计算, 则2024/7/2226例例7 7在肝癌普查中发现, 某地区的自然人群中, 每十万人中平均有40人患原发性肝癌，有34人出现甲胎球蛋白高含量，有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量。从这个地区的居民中任选1人，若他患有原发性肝癌记为事件A，甲胎球蛋白高含量记为事件B，则由条件概率的定义有：这两个条
14、件概率有何现实意义？2024/7/2227二、概率乘法公式二、概率乘法公式定理定理1：对事件A和B，若P(B)0, 则或若P(A)0 , 则此两个公式都称为概率乘法公式概率乘法公式.推广推广: 设 A1, A2 , , An 为n个随机事件,P(A1A2 An-1)0,则有若2024/7/2228(2)三次中至少有一次取得一等品的概率.设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回连续取三次， 每次取一个元件,求(1) 三次都取得一等品的概率；例例7.7.解：解：设Ai表示“第 i 次取得一等品” (i=1, 2, 3),2024/7/2229A三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率
15、公式与贝叶斯公式B1B2B3BiBn2024/7/2230如图如图AB1B2B3BiBn化整为零化整为零各个击破各个击破2024/7/22312024/7/2232以上这类问题在医药领域相当重要， 显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。 实际上因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。2024/7/2233贝叶斯公式贝叶斯公式 (或逆概率公式或逆概率公式)AB1B2B3BiBn2024/7/2234肝癌普查问题肝癌普查问题甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。 设A=肝癌患者,B=AFP检验反应为阳性;由过去的资料已知：假阳性率又已知在人群中肝癌的发
16、病率为的可能性有多大？今有一人AFP检测结果为阳性，现问该人患肝癌真阳性率2024/7/2235解解：由贝叶斯公式知由全概率公式知已知设A=肝癌患者,B=AFP检验反应为阳性;2024/7/2236购买该厂的一件产品，购买该厂的一件产品，将该厂所有产品混合投放市场，将该厂所有产品混合投放市场，(1)求这件产品是次品的概率；求这件产品是次品的概率；已知各条生产线的产量分别占该厂总产量的已知各条生产线的产量分别占该厂总产量的25%, 例例8.8.某厂有某厂有、三条生产线生产同一种产品，三条生产线生产同一种产品，35%,40%; 各条生产线的产品的次品率分别是各条生产线的产品的次品率分别是5%,4%
17、, 2%,某消费者某消费者(2)(2)若这件产品确实是次品若这件产品确实是次品, , 问这件次品最可能是问这件次品最可能是哪一条生产线生产的？哪一条生产线生产的？设事件A表示“消费者购得一件次品”，表示“这件产品是第i 条生产线的产品” (i=1, 2, 3)事件Bi显然显然B1, B2, B3是互不相容的是互不相容的, 且且解：解：2024/7/2237(1)按全概率公式得设事件A表示“消费者购得一件次品”，表示“这件产品是第i 条生产线的产品” (i=1, 2, 3)事件Bi显然显然B1, B2, B3是互不相容的是互不相容的, 且且解：解：2024/7/2238解(2)：按贝叶斯公式得所
18、以这件次品最可能是第条生产线生产的.(2)若这件产品确实是次品, 问这件次品最可能是哪一条生产线生产的？2024/7/2239(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中确实无残次品的概率.解解：(1)例例9(9(研研).).玻璃杯整箱出售， 每箱12个， 假设各箱中有0, 1, 2 个残次品的概率分别为 0.85, 0.10, 0.05.顾客购买一箱玻璃杯时， 售货员任取一箱, 而顾客开箱随机察看4个, 若未发现残次品, 则买下该箱玻璃杯;否则不买. 求(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率；设事件A表示“顾客买下该箱玻璃杯”,事件Bi表示“顾客察看的该箱玻璃杯中有i个残次品”, 那么那么B0 0, ,B1,B
19、2互不相容互不相容, 且且2024/7/2240根据全概率公式得(2)根据贝叶斯公式得计算条件概率2024/7/2241 条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及条件概率、概率乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式的关系：贝叶斯公式的关系：条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式2024/7/2242内容小结内容小结1. 会计算古典概型的概率;2. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算. 2024/7/2243作业作业习题一（P27）：11、 13、15、18、21、222024/7/2244备用题备用题1.
20、1. 鞋子配对问题鞋子配对问题取走两只, 求下列事件的概率.(1)每人取走的鞋恰为一双的概率;(2)每人取走的鞋不成一双的概率.解解 设第一个人从2n只中取任取2只, 第2个人从2n-2只中任取2只, ,第n个人取走最后2只. 有n双不同的鞋混放在一起, 有n个人每人随机2024/7/2245(1)每个取走一双鞋的事件数为于是依乘法原理, 基本事件的总数为2024/7/2246因为第一个人可以从n只右脚鞋中取一只, 又可以从n只左脚中取一只 (只要2只鞋不成双), 其余类推.于是(2)每个人取走的2只鞋都不成双的事件数为(n!)2.2024/7/22472.2.生日问题生日问题全班共有学生30
21、人，求下列事件的概率：(1) 某指定30天，每位学生生日各占一天；(2) 全班学生生日各不相同；(3) 全年某天恰有二人在这一天同生日；(4) 至少有两人的生日在10月1日.解解日 房，N=365(天),2024/7/2248(1) A=“某指定某指定30天，每位学生生日各占一天天，每位学生生日各占一天”,(2) 设B=“全班学生生日各不相同”,(3) 设 C=“全年某天恰有二人在这一天同生日”,2024/7/2249(4) 设 D=“至少有两人的生日在10月1日”,D1=“恰有一人的生日在10月1日”,D2=“无一人的生日在10月1日”,2024/7/22503.3.电话号码问题电话号码问题
22、设电话号码由7位数字组成 (第一位数字不为0),试求下列事件的概率:(3)7位数字不含0和9;(4)7位数字不含0或9;解解: : 由0,1, ,9这十个数可以形成9106个不同的电话号码.(1)7位数字为3501896;(2)7位数字完全相同;(5)7位数字含0不含9.2024/7/2251于是,有2024/7/22524. 某种动物解：设A表示“这种动物能活20岁以上”;活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？B表示“这种动物能活25岁以上”;则有故由出生算起活20岁以上的概率为0.8，2024/7/2253Bj表示“报名表是取自第j区的考生”, j=1,2,3.5.5. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.求先抽到的一份是女生表的概率p.解: 设Ai表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2根据题意得2024/7/2254
