推荐第9章维纳滤波

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1、第九章维纳滤波第九章维纳滤波(Wiener Filtering)7/22/20247/22/20241 1主要内容主要内容9.1 9.1 概述概述9.2 9.2 波形线性均方估计的正交原理波形线性均方估计的正交原理9.3 9.3 维纳维纳- -霍夫（霍夫（Wiener-Horf)Wiener-Horf)积分方程积分方程9.4 9.4 非因果的维纳滤波问题非因果的维纳滤波问题9.5 9.5 因果的维纳滤波器因果的维纳滤波器9.6 9.6 预测问题预测问题9.7 9.7 后验维纳滤波与互补维纳滤波后验维纳滤波与互补维纳滤波9.8 9.8 维纳滤波器的应用维纳滤波器的应用7/22/20247/22/

2、20242 2在在实实际际应应用用中中，有有用用信信号号往往往往会会受受到到一一些些外外界界干干扰扰，我我们们实实际际观观察察到到的的是是受受到到噪噪声声干干扰扰了了的的信信号号。如如何何最最大大限限度度地地抑抑制制噪噪声声，并并将将有有用用信信号号分分离离出出来，是信号处理中经常遇到的问题来，是信号处理中经常遇到的问题。 9.1 概述概述7/22/20247/22/20243 3在在传传输输或或测测量量信信号号s(n)时时，由由于于信信道道噪噪声声或或者者测测量量噪噪声声w(n)，接接收收或或测测量量到到的的数数据据x(n)将将与与s(n)不不同同。设设噪噪声声是是加加性性的的: 即即:x(

3、n)=s(n)+w(n)7/22/20247/22/20244 4如如果果s(n)和和w(n)的的频频谱谱是是分分离离的的，那那么么设设计计一一个个具具有有恰恰当当频频率率特特性性的的线线性性滤滤波波器器即即能能有有效效地地抑抑制制噪噪声声并并提提取取信信号号，这这就就是是前前面面经经典典数数字字信信号号处处理理理理论论中中详详细细讨讨论论过过的的数数字字滤滤波波器器的的设设计计问问题题.但但是是如如果果s(n)和和w(n)的的频频谱谱互互相相重重叠叠,或或者者s(n)和和w(n)是是随随机机信信号号，它它们们的的频频谱谱根根本本就就不不存存在在，问问题题就就要要复复杂杂得得多多，这这就就是是

4、本本章要讨论的内容。章要讨论的内容。7/22/20247/22/20245 5随随机机性性是是生生物物医医学学信信号号的的特特点点之之一一，在在本本章章中中主主要要讨讨论论噪噪声声中中随随机机信信号号的的线线性性估估计计问问题题。维维纳纳滤滤波波适适用用于于平平稳稳随机过程。随机过程。观观察察x(t)中中既既含含有有随随机机信信号号s(t)又又含含有有噪声噪声n(t)。7/22/20247/22/20246 6经经处处理理器器处处理理后后得得一一估估计计值值 作作为为对对所所希希望望取取得得的的信信息息d(t) 的的估估计计值值， d(t)可可能能是是s(t)，也也可可能能是是预预测测值值s(

5、t+a)，导导数数ds(t)/dt等。等。估估计计的的任任务务就就是是要要求求 与与d(t) 的的差差值值在一定判据意义下取得极小值。在一定判据意义下取得极小值。7/22/20247/22/20247 7处理器处理器判判据据极小极小9-1估计原理方框图估计原理方框图7/22/20247/22/20248 8根根据据待待估估计计量量d(t)d(t)的的形形势势，波波形形估估计计问问题可分为三类：题可分为三类：1.1.滤滤波波问问题题：由由t t00t tf f一一段段时时期期内内的的观观察察x(t), x(t), t t0 0ttttf f，估估计计t=t=t tf f瞬瞬间间信信号号s(t)s

6、(t)的的值值s(t)s(t)。即：即：d(t)=s(t)d(t)=s(t)。2.2.预预测测问问题题：由由t t00t tf f一一段段时时期期内内的的观观察察x(t), x(t), 估估计计ttt tf f的的某某一一时时刻刻待待估估计计信信号号的的可可能能值值。即：即：d(t)=s(t+a)d(t)=s(t+a)，a0a0。3.3.平平滑滑问问题题：由由t t00t tf f一一段段时时期期内内的的观观察察x(t), x(t), 估估计计t t0 0tt0a0，设设只只用用t t时时刻刻的的观观察察值值x(t)x(t)对对d(t)d(t)作作线线性性估估计：计：按最小均方误差判据做估计，

7、即求按最小均方误差判据做估计，即求 。7/22/20247/22/20241414解：解：根据正交原理，估计误差：根据正交原理，估计误差：应和观察值应和观察值x(t)=s(t)x(t)=s(t)正交，即：正交，即：7/22/20247/22/20241515例例 9.2设设观观察察中中没没有有噪噪声声，即即x(t)=s(t)，又又待待估估计计量量是是信信号号的的预预测测值值d(t)=s(t+a)，a0，设设估估计算子采用：计算子采用：按按最最小小均均方方误误差差判判据据做做估估计计，即即求求估估计计系系数数a和和b。7/22/20247/22/20241616解：解：此时正交原理表现为：此时正

8、交原理表现为：7/22/20247/22/20241717由于由于Rss(t)是奇函数，所以是奇函数，所以Rss(0)=0把上式化简得到：把上式化简得到：7/22/20247/22/20241818代入均方误差式中，得到：代入均方误差式中，得到：因因为为Rss(0)0,此此式式最最后后一一项项大大于于零零，所所以以，它它要要比比例例9.1的的 LMS要要小小，主主要要是是他他利利用用了了更更多的测量信息，估计效果更好些。多的测量信息，估计效果更好些。7/22/20247/22/202419199.3维纳维纳-霍夫（霍夫（Wiener-Horf)积分方程积分方程观察观察x(t)由信号由信号s(t

9、)和噪声和噪声n(t)相加组成，相加组成，观察时间观察时间t t00t tf f，则：，则： x(t)=s(t)+n(t), x(t)=s(t)+n(t), tt0 0，t tf f 待估计过程是待估计过程是d(t)d(t)，x(t)x(t)经线性处理得经线性处理得到估计为：到估计为：要求估计均方误差最小，试求要求估计均方误差最小，试求h(t)h(t)7/22/20247/22/20242020根据正交原理可知：根据正交原理可知：即即t时刻的估计误差要和时刻的估计误差要和t t00t tf f区间所有时刻区间所有时刻 的观察值的观察值x(x( ) )正交，推得：正交，推得：7/22/20247

10、/22/20242121这这就就是是h(t)h(t)应应满满足足的的条条件件, ,称称为为维维纳纳- -霍霍夫夫积积分分方方程程，只只要要相相关关函函数数R Rxdxd和和R Rxxxx已已知知，就就可可以由此解出以由此解出h(t).h(t).而而h(t)h(t)一经解出，就有：一经解出，就有：问问题题是是维维纳纳-霍霍夫夫方方程程是是一一个个积积分分方方程程，未未必必能求出解析解答。能求出解析解答。7/22/20247/22/202422229.4 非因果的维纳滤波问题非因果的维纳滤波问题对对于于滤滤波波问问题题，利利用用从从t t0 0=-=-一一直直到到t tf f=t=t时时刻刻为为止

11、止的的全全部部观观察察来来估估计计t t时时刻刻的的信信号号s(t)s(t)。此时有：。此时有： t t0 0=-,t=-,tf f=t=t d(t)=s(t) d(t)=s(t) 于是维纳于是维纳- -霍夫方程变为：霍夫方程变为：7/22/20247/22/20242323做变量替换，做变量替换，t-t- = = ,t-,t- = = , ,得到：得到：或：或：此时：此时：7/22/20247/22/202424249.4.1 9.4.1 连续时间形式的解连续时间形式的解如如果果不不要要求求滤滤波波器器是是因因果果的的，可可以以把把观观察察时时间间的的上上限限t tf f扩扩展展到到-,-,

12、也也就就是是利利用用x(t)x(t)在在全全时时间间轴轴上上的的值值来来进进行行估估计。此时维纳计。此时维纳- -霍夫方程为：霍夫方程为：7/22/20247/22/20242525把它做付氏变换有：把它做付氏变换有：如果如果n(t)n(t)和和s(t)s(t)统计独立，则有：统计独立，则有：做反傅里叶变换得到滤波器的冲击响应做反傅里叶变换得到滤波器的冲击响应h(t)h(t)7/22/20247/22/20242626例例9.39.3 设信号的功率谱是：设信号的功率谱是：噪声是白色的，其功率谱是常数噪声是白色的，其功率谱是常数而且噪声与信号统计独立，求维纳滤波器而且噪声与信号统计独立，求维纳滤

13、波器的频率特性和冲击响应。的频率特性和冲击响应。 7/22/20247/22/20242727解：解：此时有此时有求付里叶反变换得到：求付里叶反变换得到：它显然是非因果的，物理不可实现的它显然是非因果的，物理不可实现的th(t)o7/22/20247/22/20242828在离散情况下，在不要求物理可实现的在离散情况下，在不要求物理可实现的条件下。可以类似推出以下结论：条件下。可以类似推出以下结论：维纳维纳-霍夫原方程为：霍夫原方程为：现在放宽为：现在放宽为：9.4.2 9.4.2 离散时间形式的解离散时间形式的解7/22/20247/22/20242929 因此滤波器的频率特性是：因此滤波器

14、的频率特性是：实际中一般采用实际中一般采用Z Z变换的传递函数变换的传递函数将将H H( (z z) )做做反反演演Z Z变变换换得得到到冲冲击击响响应应h h( (n n) )7/22/20247/22/20243030可见可见H(ej ) 决定于信号与噪声的功率谱密度决定于信号与噪声的功率谱密度;当当噪噪声声为为零零时时,即即Snn(ej ) =0; H(ej ) =1，信信号全部通过；号全部通过；当当信信号号为为零零时时,即即Sss(ej ) =0; H(ej ) =0 ，噪噪声被全部抑制掉声被全部抑制掉;因此维纳滤波器确有滤除噪声的能力。因此维纳滤波器确有滤除噪声的能力。非因果维纳滤波

15、器的幅频特性如下图所示。非因果维纳滤波器的幅频特性如下图所示。7/22/20247/22/202431317/22/20247/22/202432320非因果维纳滤波器的幅频特性非因果维纳滤波器的幅频特性wSss(ej )Snn(ej )H(ej )17/22/20247/22/20243333例例9.49.4 设信号的自相关函数是：设信号的自相关函数是：噪声是白色的噪声是白色的设计非因果的维纳滤波器设计非因果的维纳滤波器7/22/20247/22/20243434传递函数：传递函数：解：解：此时有此时有7/22/20247/22/20243535它是非因果的，而且是无限长的，可以它是非因果的

16、，而且是无限长的，可以取短近似，如只取取短近似，如只取4项为：项为：7/22/20247/22/202436369.5因果的维纳滤波器因果的维纳滤波器非非因因果果维维纳纳滤滤波波器器需需要要用用全全时时间间上上的的观观察察值值来来估估计计s(n),s(n),所所以以不不能能实实时时实实现现，即即使使采采用用把把h(n)h(n)截截短短的的近近似似估估计计，也也必必须须延延迟迟若若干干拍拍，待待x xn+kn+k输输入入后后（k k是是截截短短范范围围) )才才能能做做出本次估计。出本次估计。维纳滤波器的时域解维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiene

17、r Time domain solution of the Wiener filterfilter）7/22/20247/22/20243737设设计计维维纳纳滤滤波波器器的的过过程程就就是是寻寻求求在在最最小小均均方方误误差差下下滤滤波波器器的的单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)h(n)或或传传递递函函数数H(Z)H(Z)的的表表达达式式，其其实实质质就就是是解解维维纳纳霍夫（霍夫（WienerWienerHorfHorf）方程。）方程。我我们们从从时时域域入入手手求求最最小小均均方方误误差差下下的的h(n)h(n)。这里只讨论因果可实现滤波器的设计，既：这里只讨论因果可实现滤波器的设计，既：

18、7/22/20247/22/20243838在此主要介绍两种方法：在此主要介绍两种方法：1.FIR型型：限限制制处处理理器器的的形形式式，只只用用最最近近的的p+1个个观观察察值值x(n),x(n-1), ,x(n-p)来来估估计计s(n),即：即：2.预预白白化化处处理理，把把观观察察序序列列值值x(n)白白化化。变变成成白白噪噪声声w(n)，再再对对w(n)做做可可实实现现的的最最优优滤波，如图：滤波，如图：X(n)d(n)预白化预白化H2w(n)白色白色7/22/20247/22/202439399.5.1 FIR9.5.1 FIR型处理型处理由正交原理得：由正交原理得：7/22/202

19、47/22/20244040令令:m:m =n-m,=n-m,上式可改写为：上式可改写为：用矩阵表示：用矩阵表示： R RxxxxH=GH=G 7/22/20247/22/20244141只要只要R Rxxxx是非奇异的，就可以求得是非奇异的，就可以求得H:H: H=Rxx-1GR Rxxxx是对称且是对称且ToplitzToplitz型的型的这时的最小均方误差为：这时的最小均方误差为：7/22/20247/22/20244242随随机机信信号号都都可可以以看看成成是是由由一一白白色色噪噪声声W(n)W(n)激激励励一一个个物物理理可可实实现现的的系系统统或或模模型型的的响响应应，如图所示：如

20、图所示：信号模型图信号模型图9.5.2 9.5.2 预白化处理预白化处理7/22/20247/22/20244343预白化方法是基于如下事实：预白化方法是基于如下事实：当当x(n)是方差是方差 x2=1的白噪声时，有：的白噪声时，有： Rxx(m-n)=1 当当m=n =0 其它其它 所以上式直接就可以得出：所以上式直接就可以得出： h(m)=Rxs(m) m=0 离散维纳离散维纳-霍夫方程为霍夫方程为:7/22/20247/22/20244444 对白色的对白色的x(n)而言，它的维纳解是而言，它的维纳解是Rxs(m)的的 m0的部分的部分也可以写成也可以写成:h(m)=Rxs(m) u(m

21、)它的付氏变换写作：它的付氏变换写作： Sxs(ej )+或用或用Z变换表示：变换表示： H(z)= Sxs(z)+符号符号 . +表示原函数表示原函数m0部分对应的付部分对应的付氏变换和氏变换和Z变换。变换。7/22/20247/22/20244545X(n)S(n)+n(n)d(n)=s(n)预白化预白化H2(z)w(n)白色白色H1(z)E.2极小极小优化优化-+预白化算法处理框图预白化算法处理框图7/22/20247/22/20244646复习一个复习一个Z变换的性质变换的性质如果如果h(n)=h(-n),则有则有:H(z)=H(z-1);那么，如果那么，如果z1是是()的极点，的极点

22、，1/Z1一定是一定是H(z)的极点的极点;同样，零点也有这样的性质；同样，零点也有这样的性质；还有如果还有如果h(n)是实函数，则是实函数，则(z)极点一定极点一定是共轭对称的是共轭对称的7/22/20247/22/202447471.预白化滤波器预白化滤波器H1(z)的设计的设计 对对x(n)的可实现白化滤波器的可实现白化滤波器H1(z)可如下求得可如下求得:7/22/20247/22/20244848 2.2.最优滤波器最优滤波器H H2 2(z)(z)的设计的设计 因为因为W(n)W(n)是白色的，所以：是白色的，所以：7/22/20247/22/20244949最后得总滤波器最后得总

23、滤波器:7/22/20247/22/20245050证明：证明：7/22/20247/22/20245151 例例9.5 9.5 设设x(n)=s(n)+n(n),sx(n)=s(n)+n(n),s、n n统计独立统计独立, ,且：且： 设计可实时实现的维纳滤波器。设计可实时实现的维纳滤波器。 解：解：7/22/20247/22/20245252因此得：因此得： 可见：可见： 7/22/20247/22/20245353括弧中的因子可按下式做部分分式分解：括弧中的因子可按下式做部分分式分解：前一项对应与前一项对应与n 0部分，后一项对应与部分，后一项对应与n00部分，故部分，故: :7/22/

24、20247/22/20246161因此因此: :得得: :或用或用IIRIIR方式实现：方式实现：7/22/20247/22/202462629.6.2 用有限项用有限项FIR滤波器实现滤波器实现此时此时: :由正交原理：由正交原理：得维纳得维纳- -霍夫方程组霍夫方程组: :7/22/20247/22/20246363用矩阵形式表示用矩阵形式表示: :这里的自相关阵仍是对称且这里的自相关阵仍是对称且ToeplitzToeplitz型的。型的。7/22/20247/22/20246464 例例9.79.7 用用p=2p=2的的FIRFIR结构给例结构给例9.59.5设计维纳一设计维纳一 步预测

25、器。步预测器。7/22/20247/22/20246565故得故得: :解得：解得：故故7/22/20247/22/202466669.7 9.7 后验维纳滤波与互补维纳滤波后验维纳滤波与互补维纳滤波9.7.1 9.7.1 后验维纳滤波后验维纳滤波维维纳纳滤滤波波是是以以信信号号和和噪噪声声的的相相关关函函数数或或功功率率谱谱已已有有先先验验知知识识为为前前提提的的。如如果果这这些些统统计计特特性性未未知知，就就需需先先作作出出它它们们的的估估计计，然然后后再再据据以以设设计计维维纳纳滤滤波波器器。但但是是从从严严格格意意义义上上说说，这这时时所所得得结结果果并并不不是是真真正正的的维维纳纳滤

26、滤波波器器，所所以称之为后验以称之为后验“维纳维纳”滤波。滤波。7/22/20247/22/20246767从频域上应用后验维纳滤波的核心问题是由从频域上应用后验维纳滤波的核心问题是由各次观察各次观察x xi i(n)(n)中分解出信号的谱估计中分解出信号的谱估计 和噪声的谱估计和噪声的谱估计 。通常可采用下述步。通常可采用下述步骤：骤：1.1.先对各次观察求均值，设做先对各次观察求均值，设做N N次观察：次观察： 式中，式中，s(n)s(n)是确定性的诱发响应，是确定性的诱发响应，n ni i(n)(n)是第是第i i次刺激后记录中的噪声。次刺激后记录中的噪声。7/22/20247/22/2

27、0246868 则平均诱发响应：则平均诱发响应：然然后后求求 的的功功率率谱谱。如如果果s(n)s(n)和和n ni i(n) (n) 统计独立，各次噪声也互相独立，则统计独立，各次噪声也互相独立，则: :7/22/20247/22/202469692.2.再分别对每一次观察再分别对每一次观察x xi i(n) (n) 求功率谱求功率谱: :并求这些功率谱的平均值并求这些功率谱的平均值: :7/22/20247/22/202470703.3.联立解联立解 1 ,2 1 ,2中最后两式，便可求得中最后两式，便可求得S Sssss(e(ej j ) ) 和和S Snnnn(e(ej j ) ) 的

28、估计：的估计：7/22/20247/22/20247171据此，得后验据此，得后验 维纳维纳 滤波器如下：滤波器如下：（i i）用于对单次观察进行滤波：）用于对单次观察进行滤波：（iiii）用于对平均诱发响应）用于对平均诱发响应x(n)x(n)进行滤波：进行滤波：7/22/20247/22/20247272许许多多研研究究者者用用这这种种滤滤波波方方法法对对各各种种平平均均诱诱发发响响应应进进行行了了滤滤波波，但但效效果果报报道道不不一一。有有的的效效果果较较好好，有有的的却却不不甚甚见见效效。其其原原因因除除了了谱谱估估计计不不是是真真实实值值，因因此此所所得得得得H( )只只能能是是近近似

29、似的的估估计计外外，还还由由于于“维维纳纳”滤滤波波的的其其它它假假设设也也未必能满足。其中：未必能满足。其中：1. 过程不是平稳的过程不是平稳的;2.“信信号号和和噪噪声声是是相相加加的的”这这一一假假设设是是一一个个有有用用模型，但刺激愈接近阈值不正确；模型，但刺激愈接近阈值不正确；3.信信号号与与噪噪声声未未必必统统计计独独立立。实实际际上上刺刺激激对对作作为噪声的自发活动往往也有一些作用。为噪声的自发活动往往也有一些作用。7/22/20247/22/20247373为为了了改改进进后后验验“维维纳纳”滤滤波波的的效效果果。又又做做出了许多改进方案，介绍如下：出了许多改进方案，介绍如下：

30、1.1.交交替替集集均均法法 此此法法除除按按前前式式求求外外, ,又又按按下下式计算另一种平均值：式计算另一种平均值： 即即：每每当当序序号号i i 为为偶偶数数时时，就就将将观观察察值值取取负负号号，通通过过这这样样的的“相相加加”，S(n)S(n)将将被被平平均掉，因此均掉，因此 的功率谱将只反映噪声：的功率谱将只反映噪声：7/22/20247/22/20247474便可得便可得 维纳维纳 滤波器。滤波器。 这个方法的优点式计算量大为下降：只需要这个方法的优点式计算量大为下降：只需要求两次功率谱求两次功率谱 一次对一次对 ，一次对，一次对 ，而采用前法却需要求而采用前法却需要求N+1N+

31、1次功率谱次功率谱 对每个对每个x xi i(n) (n) 求求 ，还要对，还要对 求求 。但理。但理论分析可以证明，所得谱估计方差较大是这种论分析可以证明，所得谱估计方差较大是这种方法的缺点。方法的缺点。7/22/20247/22/20247575 2.2.谱平滑：谱平滑：把把前前面面得得到到的的功功率率谱谱 和和 加加以以平平滑滑，然然后后再再代代维维纳纳滤滤波波公公式式，可可以以改改善善滤滤波波效效果果。设设施施加加在在 和和 上上的的谱谱窗窗口口分分别别是是1 1(e(ej j ) )和和2 2(e(ej j ) )，则则平平滑滑后后的的谱谱分别是分别是: :7/22/20247/22

32、/20247676然后把它们代入维纳滤波公式，得：然后把它们代入维纳滤波公式，得：窗窗口口长长度度要要比比较较数数据据长长度度短短，其其具具体体值值要要在在方方差差和和偏偏差差之之间间取取折折中中。时时窗窗宽宽则则谱谱窗窗窄窄，因因此此平平滑滑作作用用小小，偏偏差差小小，方方差差大大。反反之之，时时窗窗窄窄则则谱谱窗窗宽宽，平平滑滑作作用用显显著著，因此偏差大，方差小。因此偏差大，方差小。7/22/20247/22/202477779.7.2 互补维纳滤波互补维纳滤波维维纳纳滤滤波波器器得得基基本本假假设设是是信信号号为为随随机机的的，但但是是实实际际工工作作中中信信号号常常有有些些确确定定性

33、性结结构构，并并非非纯纯粹粹随随机机，因因此此应应用用效效果果未未必必好好。因因此此对对它它简简单单应应用用维维纳纳滤滤波波效效果果未未必必好好，因因为为这这样样处处理理所所得得的的 充充其其量量也也只只是是真真实实 S(t) 在在最最小小均均方方误误差差意意义义下下的的逼逼近近，不不是是真真实实S(t) 。对对这这类类S(t) 是是确确定定性性信信号号的的情情况况，采采用用互互补补维纳滤波可能是更合理的方案。维纳滤波可能是更合理的方案。7/22/20247/22/20247878以以做做两两次次观观察察为为例例。如如果果设设计计滤滤波波器器时时，H H1 1(z)(z)和和H H2 2(z)

34、(z)是是分分别别独独立立设设计计的的, ,如如图图(a)(a)然然后再把处理结果相加，效果就未必好后再把处理结果相加，效果就未必好. .H2(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n)7/22/20247/22/20247979如果设计时多引入一个限制条件，如果设计时多引入一个限制条件，如：如： 效果就会好些，效果就会好些，如图如图(b)(b)。1-H1(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n)x2(n)x1(n)7/22/20247/22/20248080因为此时因为此时:H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n) +n

35、1(n)-n2(n)7/22/20247/22/20248181 可见处理结果中信号可见处理结果中信号s(n)s(n)成分不变。成分不变。H H1 1(z)(z)的的任任务务是是把把n n1 1-n-n2 2变变成成对对n n2 2的的最最优优抵抵消消。由由于于n n2 2和和n n1 1-n-n2 2都都是是随随机机信信号号, ,所所以以应应用维纳滤波的效果就比较好。用维纳滤波的效果就比较好。7/22/20247/22/202482829.89.8维纳滤波器的应用维纳滤波器的应用（Application Application of Wiener filterof Wiener filter

36、）要要设设计计维维纳纳滤滤波波器器必必须须知知道道观观测测信信号号和和估估计计信信号号之之间间的的相相关关函函数数，即即先先验验知知识识。如如果果我我们们不不知知道道它它们们之之间间的的相相关关函函数数，就就必必须须先先对对它它们们的的统统计计特特性性做做估估计计，然然后后才才能能设设计计出出维维纳纳滤滤波波器器，这这样样设设计计出出的的滤滤波波器器被称为被称为“后验维纳滤波器后验维纳滤波器”。7/22/20247/22/202483839.8.1.9.8.1.在在生生物物医医学学信信号号处处理理中中比比较较典典型型的的应用就是关于诱发脑电信号的提取。应用就是关于诱发脑电信号的提取。大大脑脑诱

37、诱发发电电位位（Evoked Evoked PotentialPotential，EPEP）指指在在外外界界刺刺激激下下，从从头头皮皮上上记记录录到到的的特特异异电电位位，它它反反映映了了外外周周感感觉觉神神经经、感感觉觉通通路路及及中中枢枢神神经经系系统统中中相相关关结结构构在在特特定定刺刺激激情情况况下下的的状状态态反反应应。在在神神经经学学研研究究以以及及临临床床诊断、手术监护中有重要意义。诊断、手术监护中有重要意义。7/22/20247/22/20248484EPEP信信号号十十分分微微弱弱，一一般般都都淹淹没没在在自自发发脑脑电电（EEGEEG）之之中中，从从EEGEEG背背景景中中

38、提提取取诱诱发发电电位位一一直直是是个个难难题题：EPEP的的幅幅度度比比自自发发脑脑电电低低一一个个数数量量级级，无无法法从从一一次次观观察察中中直直接接得得到到；EPEP的的频频谱谱与与自自发发脑脑电电频频谱谱完完全全重重迭迭，使使得得频频率率滤滤波波失失效效；在在统统计计上上EPEP是是非非平平稳稳的的、时时变变的的脑脑诱诱发电位。发电位。通通过过多多次次刺刺激激得得到到的的脑脑电电信信号号进进行行叠叠加加来来提提取取EPEP，这是现今最为广泛使用的，这是现今最为广泛使用的EPEP提取方法。提取方法。7/22/20247/22/20248585为为了了解解决决诱诱发发电电位位提提取取问问

39、题题，研研究究者者利利用用维维纳纳滤滤波波来来提提高高信信噪噪比比，先先后后有有WalterWalter、DoyleDoyle、WeerdWeerd等等对对维维纳纳滤滤波波方方法法进进行行了了改改进进。在在频频域域应应用用后后验验维维纳纳滤滤波波的的核核心心就就是是由由各各次次观观察察信信号号中中分分解解出出信信号号的的谱谱估估计计和和噪噪声声的的谱谱估估计计，通通过过设设计计出出的的滤滤波波器器来来提提高信噪比。高信噪比。7/22/20247/22/202486869.8.2. 9.8.2. 介介绍绍时时频频平平面面的的维维纳纳滤滤波波（timetimefrequency frequency

40、 plane plane wiener wiener filteringfiltering，简简称称TFPWTFPW）在在高高分分辨辨心心电图（电图（HRECGHRECG）中的应用。）中的应用。 7/22/20247/22/202487871.1.设一共有设一共有N N次观测样本：次观测样本： 其其中中S(t)S(t)是是周周期期确确定定的的心心电电信信号号；W Wi i(t)(t)是是第第i i次次记记录录时时的的噪噪声声，包包括括肌肌电电、测测量量仪仪器器噪噪声声等等，假假设设每每次次记记录录的的噪噪声声之之间间互互不不相相关关；x xi i(t)(t)是是观观测测信信号号；信信号号和和噪

41、噪声相互独立。声相互独立。对对每每次次观观测测用用短短时时傅傅立立叶叶变变换换求求时时频频表表示（示（TFRTFR）：）： 7/22/20247/22/20248888对对N N次观测的时频表示（次观测的时频表示（TFRTFR）求平均：）求平均：样本平均为：样本平均为：样本平均的时频表示（样本平均的时频表示（TFRTFR）为：）为： 7/22/20247/22/20248989可以得到一个基于样本平均的简单时可以得到一个基于样本平均的简单时-频频平面后验维纳滤波器：平面后验维纳滤波器：7/22/20247/22/20249090. .在时频域上对式进行修正，给出更实在时频域上对式进行修正，给出

42、更实际的表示：际的表示：IFIF是干扰项；是干扰项；7/22/20247/22/20249191式式中中COVCOV表表示示信信号号和和噪噪声声之之间间的的互互协协方方差差，也也就就是是考考虑虑了了信信号号和和噪噪声声并并非非相相互互独独立立；IFIF是是干干扰扰项项；表表示示样样本本平平均均的的噪噪声声功功率率；表表示示样样本本噪噪声声功功率率的的平均。平均。7/22/20247/22/202492927/22/20247/22/20249393TFPWTFPW的模拟实验结果的模拟实验结果原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声7/22/20247/22/20249494TFPWTFPW的模拟实验结果的模拟实验结果原信号是正弦波，观测信号混有白噪声原信号是正弦波，观测信号混有白噪声7/22/20247/22/20249595TFPWTFPW滤滤波波中中由由于于有有二二次次TFRTFR中中的的相相关关噪噪声声以以及及IFIF项项，滤滤波波器器可可能能包包含含虚虚部部，也也就就是是包包含含信信号号的的相相位位信信息息，直直接接在在时时频频平平面面上上考虑相位问题还需要进一步研究。考虑相位问题还需要进一步研究。7/22/20247/22/20249696