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1、物理竞赛复赛模拟卷物理竞赛复赛模拟卷1.试证明：物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系：2222E p c E0310-27kg，电离能E 13.6eV 2.181018J。17( P)(2.在用质子1轰击固定锂3Li)靶的核反应中， 1计算放出粒子的反应能。 24. 如图 11-136 所示，光滑无底圆筒重 W，内放两个重量均为 G 的光滑球，圆筒半径为 R，球半径为 r，且 rR2r，试求圆筒发生倾倒的条件。如果质子能量为 1 兆电子伏特， 问在垂直质子束的方向观测到粒子的能量有多大？有关原1子核的质量如下：147H，He；2， ；3Li，7.015999.p2p3p
2、1图 51-21rO1O2AG图 11-136B15. 两个完全相同的木板，长均为L，重力均为G，彼此以光滑铰链A 相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连，如图甲所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处施加外力？所施加的最小外力为多大？6. 如图 11-505 所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、L，G1L，G7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行， 传送带把 A 点处的零件运送到 B 点处， A、B 两点之间相距 L=10m，从A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s，能送到B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到 B 点，要让零件
3、用最短的时间从 A 点传送到 B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍，2g10m/s则零件传送时间为多少？AF12甲1G乙x2FABF1G8. 一物体以某一初速度 v0开始做匀减速直线运动直至停止， 其总位移为 s， 当其位移为丙2/3s 时，所用时间为 t1；当其速度为 1/3v0时，所用时间为 t2，则 t1、t2有什么样的关系？2vv0DBC29，其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上，且 9 可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如下图， 绞接点 3 承受有竖直向下的压力 P/2，点 1 承受有竖直向下的压
4、力 P，求绞接点 3 和 4 间杆的内力。1v03OAtt2t1图 12-31p32P18l469ll25ll图 11-5057l9一根长为 1m 具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后，12.1用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球，b 远大于 a，内外表涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外外表的反射。 图 33-114 所示是经过球心的截面图。2如果外半径 b 趋于 a 时，第1问中的答案还能成立？为什么？把玻璃管提升起来
5、并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。10 静止的原子核衰变成质量为 m1,m2,m3的三个裂片，它们的质量损为m。假设三裂ba片中每两片之间速度方向的夹角都是 120，求每个裂片能量。13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球，今有两束相距为 2d(dR)对称地即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离射到球上，试就球的折射率 n 的取值范围进行讨论1n 取何值时两束光一定在球内相交？11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液2n 取何值时两束光一定在球外相交？3如果 n、d、R 均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。体，即液体中的
6、每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1，液体对绿光的折射率为 n2。当容器壁的内、外半径之比r:R 为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？i1BddAOn2n1i2OC3iD14一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h，求空间的电势分布。1.试证明：物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系：2222E p c E0q2222证明：E p c mc2mc222m0c m c c 242 m c E00222212c2c 2224m0c222c c222222222E p c EE E0读者可试为之，从0入手证明它等于p c。17( P)(2.
7、在用质子1轰击固定锂3Li)靶的核反应中， 1计算放出粒子的反应能。 215电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R，CD 为通过半球顶点 C 与球心 O的轴线，如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧，离 O 点距离相等的两点，已知 P 点的电势为 Up，试求 Q 点的电势 UQ。4如果质子能量为 1 兆电子伏特， 问在垂直质子束的方向观测到粒子的能量有多大？有关原1子核的质量如下：147H，He23；， ；Li，7.015999.解： 1核反应方程如下：144Li P He122He静质量M0M1M3M273p2p3p1动 能E0E1E3E2由总质量和总能量
8、守恒：图 51-21M0E0E3E1E2 M M M 123c2c2c2c2由反应能 Q 的定义得：Q (E2 E3) (E0 E1)2(M M )(M M )c0123(7.015999 1.007825) 24.002603931.517.35兆电子伏特227821uc (1.6610千克)(2.99792510 米/秒)其中：6 931.510兆电子伏特兆电子伏特42 设锂靶是静止的， 根据动量守恒， 可知， 反应所产生的两个相同的粒子 2He核 ，2 M1M2E1E2M2M1 1cosE 1E 应沿入射质子的方向对称分开，如图 51-21 所示。由动量守恒定律有p1 p2 p3矢量p1
9、, p2, p3合成的三角形，两底角皆为，又因M2 M3，因而有E2 E3已知反应能兆电子伏特，且Q E2 E3E1其中E11兆电子伏特，可得E E1232(Q E1)12(17.351)兆电子伏特即反应所生成的粒子其能量为兆电子伏特。粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为，因此P23 P221 P22p1p2cos由于P2 2ME，得：M3E3 M1E1 M2E22M1M2E1E2cos代入反应能 Q 的定义式：Q E2 E3 E1M32M31M3将上式中质量数改为质量比得Q A2 A121A2AE 1A1AE E1E2cos3231A3其中A11，A2 A3 4，代入上式：Q 2E324
10、E1E1E2cos2E Q3cos24E1所以E1E229.17517.35341 019.175.0825所以85 16由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到42He的能量近似就是兆电子伏特。310-27kg，电离能E 13.6eV 2.181018J。解：处于基态的氢原子能量为E1 E112，第二激发能量为E2 E122.被氢原子吸收的最小能量子为E E2 E1 E11212243E 1.161018J我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，则5碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是2.初动能和末动能之差为m22m(2)2m2224这个值应等于最小的能量子m
11、2E 4因此4Em 6.26104ms在非弹性碰撞后，两个原子的速度为2 3.13104ms此题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有6.26104:3108 2.09104 2.0910200两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率4. 如图 11-136 所示，光滑无底圆筒重 W，内放两个重量均为 G 的光滑球，圆筒半径为 R，球半径为 r，且 rRn2时i2D图 33-105因为n1n2， 所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90的临界折射，因此当r r0时，所看到的壁厚不可能为零了，当r r0时，应考虑的是图
12、 33-105 中 ABCD这样一种临界情况，其中 AB 光线的入射角为 90，BC 光线的折射角为r1，此时应该有i1B因为是要求r :R的最小值，所以当n1n2时，应考虑的是图33-104 中 ABCD 这样一种临界情况，其中 BC 光线与容器内壁相切，CD 光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有AOn2n1图 33-104i2CDsin90n1sinr1n2在直角三角形 OBE 中有sinr1 OE/OB因为图 33-104 和图 33-105 中的i2角是相同的，所以OE r0，即11sin90n1r0/rn2将r0Rn1代入，可得当r/R 1/n2由折射定律sini ns
13、inr所以R nbsinrsinr ab，n 2时，可看到容器壁厚为零。i 90 Abra上面的讨论，图 33-104 和图 33-105 中 B 点和 C 点的位置都是任意的。故所得条件对眼的12.1用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心球，b 远大于 a，内外表涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？ 注意： 被吸收掉的光束的横截面积， 指的是原来光束的横截面积， 不考虑透明物质的吸收和外外表的反射。 图 33-114 所示是经过球心的截面图。图 33-114a又因为B所以R na 2a22S R 2aO即被吸收掉的光束横截面积为
14、2a。b2图 33-1162 在 b 趋于a到达一定程度时， 从第 1 问的结果可知， 当 b 减小到b na 2a时，b2 2a2， 即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉， 此时极限光线的入射角i 90，而 R=b，如图 33-116 所示。如果 b 再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线 即入射角i 90 的折射线并不与内球外表相切，所以被吸收光束截面积为2a的结论不再成立。被吸收光束截面积22此时为b 2a，参见图 33-117 所示。2i 90 bra2如果外半径 b 趋于 a 时，第1问中的答案还能成立？为什么？分析： 1如图 33-115 所示，不被
15、a球吸收的极限光线是与a球相切的光线 AB，因此2被吸收掉的光束横截面积应该是以 R 为半径的一个圆盘，面积为S R。利用折射定律和相关几何关系式不难求出 R 而得解。2在 b 趋于a的过程中，当 b 减小到一定程度时，入射到 b 球面上的所有光线折射后可能都会与a球面相交，此时如果 b 再度减小，则依据第1问计算出的结果就不能成立。解： 1如图 33-115 所示，CO 为穿过球心的光线，与 CO相距为 R 的光线在 b 球面折射后折射光线 AB 恰好与a球相切，则有讨论： 1此题第1问可以改为求经过空心球折射后的光束iAErBbaiO在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平
16、行图 33-117RCDFR入射到空心球的光束只有 AE 区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图33-115所示。 与a球相切的光线 AB 光 b 球于 D， 过 E 点的光线入射角为90， 因折射率为2，图 33-115所以该折射光线的折射角为45，即折射光线刚好交于 b 球于 F 点。设DOF ，D 到直线 OF 的距离为R，且R bsin，2而出射光束截面积S R。由几何关系易知 2r r，R bsini12即 2arcsinarcsin(n)abab，所以可求出S。又由折射定律有r 1i22如果把问题改为空心球的内外表没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外
17、的截面积大小是多少。因为距中心光线CO 越远的光线，在两球面上的入射角越大， 因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图 33-118 所示。设角为光由介质射入空气的临界角，在ABO 中，有sinrsin()1abnb，n0sinr sini由上两式解得n0 2cosriCABr又由图中的几何关系可以得到R R2 d2DiOcosr R R d22 d22又由sini nsinr，由图可知AD bsini。利用以上几个关图 33-11822系式可得AD a，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积S ADaR R2 d22R点评：从
18、本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球，今有两束相距为 2d(dR)对称地即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离射到球上，试就球的折射率 n 的取值范围进行讨论1n 取何值时两束光一定在球内相交？2n 取何值时两束光一定在球外相交？3如果 n、d、R 均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。图 33-1231d22 2 12R21d2n02 2 122Rd由上式可见，对于某一个确定的比值R，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一个确定的值 n0与
19、之对应。这样，我们可以假想，假设球的实际折射率 n 不等于 n0时，则两ddO光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同， 即两光线不是交于球面上。 当n n0时，两光线将比图示情况偏折得更厉害 图中角 r 将更小 ， 两光线的交点必在球内； 当n n0时，i两光线将比图示情况偏折得少一些图中的角 r 将大一些 ，两光线的交点必在球外。dd0 1R假设以R作为一个变量来讨论上述问题，由于，故由此确定的 n0的范围是13分析：设当球的折射率为 n0时，两束光刚好交于球面上，如图 33-123 所示。令光线射入球中时的入射角为 i，折射角为 r，则由图中的几何关系有2 n02。d解： 1当n 2
20、时，对于任何R来说，都有n n0，即不管球的半径和两光线间的距由球面上 U=0，即 r=a 处。U=0，有qa h 2rahcos22qa2h22ahcos离如何，两光线都必定在球内相交。上式含有参量q与h，因而问题化成能否找到两个参量q和h， 使上式对于任意的都d2当n 2时，对于任何R来说，都有n n0，即不管球的半径和两光线间的距离能满足。两边平方如何，两光线都必定在球外相交。2n 2 2 1dq2a2 h2 2q2ahhcos q2a2 h2 2q2ahcos0，则只需比较 n 与 nR23对于任意给定的 n、R 和 d0的大小即可确定两光线的交点是在球内还是在球外：要使此式对任意都成
21、立，必须当n n0时，两光线的交点在球内；当n nq2a2 h2 q2 a2 h2q2h q2h0时，两光线的交点在球面上；当n n0时，两光线的交点在球外；得出q和h14一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h，求空间的电势分布。分析：分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此处导体是一导体球，而非平板。 我们自然地猜想， 球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？假设可以， 该电荷应在何处？h a2ahq hq解：解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势如图41-85a 来看，h hq q感应电荷与-电荷 q相当。据对称性， q应在 z 轴上，设其距球心h。
22、如图 41-85b 。点电荷+q 与像电荷 q在 P 点的电势为U kqqr2 h2 2ahcosr2 h2 2rhcos14q图 41-85aZqhrqrPhr0O图 41-85b其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在q 处，其对球内空间作用与感应电荷相同第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一结果有很好的应用。虽然它看起来显而易见 。球外空间电势为从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷 q 在球心的电势。实际上，由于球外表带电总量为零，这一点是显而易见的。2E kq /h0h 如果 q 移到无限远，即，同时增大 q，使在球心处的电场保持有限。a
23、2h 32 q h a q/h qh这时，像电荷的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷q和 qqqU K222h r 2rhcosh22a r 2hrcosa球内空间电势为零。在球心形成一个电偶极子，其偶极矩为a33 P q h E0 40a E0k。无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场E0可看作是均匀的。因此一个绝缘的金属球在匀强电场E0中受到感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一a3E0K个处在球心，电偶极矩为的偶极子。讨论：讨论：假设导体球绝缘，并且原来不带电，则当导体球放在点电荷q 的电场中时，球将感应等量的正负电荷，球外空间的电场由点电荷 q 及球面上的感应正负
24、电荷共同产生。这时感应电荷的奉献，除了负电荷根据上面的讨论可由球内 Z 轴上的象 q代替外，还应有一个感应正电荷的像q，为了保持球面等势，这个像的位置位于球心。那么15电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R，CD 为通过半球顶点 C 与球心 O的轴线，如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧，离 O 点距离相等的两点，已知 P 点的电势为 Up，试求 Q 点的电势 UQ。分析：分析：此题关键是将其转化为空间对称情形，而后用电势叠加原理求解。解：解：设想一匀匀带电、带电量也是 q 的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均U匀带电球面，由对称性可知，右半球在 P 点的电势p等于左半球在 Q 点的电势，即qqqU Krrr0对于球面上任意一点qqrr而r0 a，所以U Kqq K 常数ah15UpU0 (1)UUUUQpp (2)所以pUUpp正是两个半球同时存在时 P 点的电势。而因为均匀带电球壳内部各处电势都相k2q等，其值等于R，k 为静电力恒量，所以得UpU2qp kR (3)由(2)、(3)两式得UQ k2qRUp16
