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1、华东师大版八年级上册华东师大版八年级上册数学数学1 五种运算：加、减、乘、除、乘方；结果分别叫五种运算：加、减、乘、除、乘方；结果分别叫做和、差、积、商、幂；做和、差、积、商、幂； 加减互为逆运算、乘除互为加减互为逆运算、乘除互为逆运算。逆运算。知识回顾知识回顾1.1.有理数中你已经学会了哪几种运算？哪些互为逆运有理数中你已经学会了哪几种运算？哪些互为逆运算？算？2.2.已知正方形的边长为已知正方形的边长为5cm5cm，正方形的面积是多少？，正方形的面积是多少？ 你用有理数你用有理数你用有理数你用有理数的哪一种运算求的哪一种运算求的哪一种运算求的哪一种运算求得？得？得？得？ 反之，已知正方形的
2、面积是反之，已知正方形的面积是25cm25cm2 2，这个正方形的，这个正方形的边长是多少？边长是多少？ 如果一个正方形的面积是如果一个正方形的面积是50cm50cm2 2，你能用，你能用我们学过的运算求出它的边长吗？我们学过的运算求出它的边长吗？2华东师大版八年级上册华东师大版八年级上册数学数学（第（第1课时）课时）3已知边长求面积：已知边长求面积：52=25( (平方运算平方运算) )已知面积求边长：已知面积求边长：2=50?( (开平方运算开平方运算) )(1).平方根平方根 定义：定义：定义：定义：如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a a，那么这个数叫做，那么这个数叫做a a的平
3、方根的平方根。 或或: :如果如果x x2 2=a=a，那么那么x x叫做叫做a a的平方根的平方根. .(a(a的平方根是的平方根是x)x)注意：注意：由定义知由定义知a0，即只有非负数才有平，即只有非负数才有平方根。方根。45 52 2=25=25(5 5) )2 2=25=2555是是2525的一个平方根的一个平方根5 5也是也是2525的一个平方根的一个平方根5 5都是都是2525的平方根的平方根；（2525的平方根是的平方根是5 5） 一个正数的平方根有两个，它们互为相反一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；数；0 0的平方根是的平方根是0 0；负数没有平方根。；负数没有平方根。
4、你能得出你能得出你能得出你能得出什么结论？什么结论？什么结论？什么结论？平方根的性质平方根的性质平方根的性质平方根的性质0 02 2=0,=0, 这说明这说明0 0的平方根是的平方根是0 05平方根的记法平方根的记法平方根的记法平方根的记法2525负负的那个平方根记作的那个平方根记作: : 2525的的平方根平方根记作记作: : 2525正正的那个平方根记作的那个平方根记作: : 2525正的平方根是正的平方根是5 5记作记作: :2525负的平方根是负的平方根是-5-5记作记作: :2525的平方根是的平方根是5 5记作记作: :一般地，正数a的平方根记作：6注意：注意：“ ”读作：正负根号
5、读作：正负根号a a，它表示，它表示a a的平方根；的平方根；“ ”中的中的a a叫做被开方数，被开方数叫做被开方数，被开方数a0a0；“ ”叫做叫做2 2次根号，它是开平方运算的运算符号，次根号，它是开平方运算的运算符号， 还有还有3 3次根号次根号“ ”，4 4次根号次根号“ ”等。等。aa被开方数被开方数根指数根指数根指数根指数2省略省略7开平方开平方开平方开平方求一个求一个非负数非负数非负数非负数的平方根的的平方根的运算运算运算运算，叫做开平方，叫做开平方. . 如在如在x x2 2=100=100中，求中，求x x的值的运算就是把的值的运算就是把100100开平方。开平方。x=x=1
6、010是开平方的结果，叫做是开平方的结果，叫做100100的平方根。记作：的平方根。记作：注意：注意：开平方是一种运算，平方根是开平方的结果；开平方是一种运算，平方根是开平方的结果；开平方与平方互为逆运算开平方与平方互为逆运算。因此，可由平方运算因此，可由平方运算 来求某些正数的平方根；来求某些正数的平方根；8熟记熟记1 12020整数的平方：整数的平方：11112 2=121=12112122 2=144=14413132 2=169=16914142 2=196=19615152 2=225=22516162 2=256=25617172 2=289=28918182 2=324=3241
7、9192 2=361=36120202 2=400=4009例例 求求256256和和 的平方根的平方根. .解：解：即即由平方运算入手由平方运算入手由平方根定义叙述由平方根定义叙述由根号表示由根号表示101.1.下列各数中，没有平方根的数是（下列各数中，没有平方根的数是（ ） A. A.( (5)5)2 2 B.2 C. (B.2 C. (5)5)2 2 D.0D.02.2.计算计算 的平方根的平方根, ,下列表达式正确的是下列表达式正确的是( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D.3.3.下列说法正确的是下列说法正确的是 ( (填番号填番号) ) 0 0的平方根是的平方根
8、是0 0；4 4是是1616的一个平方根；的一个平方根；1616的平方根是的平方根是 4；1的平方根是的平方根是1；任何数的平方根都有两个。任何数的平方根都有两个。4.4.在在 中中,a,a的取值范围是的取值范围是 . . 5.5.如果如果a a的平方根是的平方根是6 6，那么，那么a=a= 。1111.111.1平方根与立方根平方根与立方根平方根定义平方根定义 平方根的性质平方根的性质平方根的记法平方根的记法开平方开平方 1.平方根平方根12华东师大版八年级上册华东师大版八年级上册数学数学（第（第2课时）课时）13知识回顾知识回顾11.111.1平方根与立方根平方根与立方根平方根定义平方根定
9、义 平方根的性质平方根的性质平方根的记法平方根的记法开平方开平方表示表示4949正的那个平方根；正的那个平方根；表示表示4949负的那个平方根；负的那个平方根；表示表示4949的平方根；的平方根；说出下列各式分别表示什么意义：说出下列各式分别表示什么意义： 1.平方根平方根14算术平方根算术平方根算术平方根算术平方根 由于正数有两个平方根，并且它们互为相反数。因此，只要求出正的那个平方根，就能得出负的那个平方根。正数正数正正注意：注意：注意定义中两个注意定义中两个“正正”的含义；的含义；“平方根平方根”与与“算术平方根算术平方根”的区别是什么；的区别是什么；0 0的算术平方根是的算术平方根是0
10、 0。正数正数a a的算术平方根记作：的算术平方根记作： (a0) (a0) 算术平方根与绝对值、偶次幂都是非负数。算术平方根与绝对值、偶次幂都是非负数。 定义：定义： a a的的 的平方根，叫做的平方根，叫做a a的算术平方根。的算术平方根。 15例例1 1 求求169;441169;441的算术平方根的算术平方根. .解：解： 21 212 2=441=441169169的算术平方根是的算术平方根是131313132 2=169=169441441的算术平方根是的算术平方根是2121注意：注意： 求大于求大于400400的整数的算术平方根的整数的算术平方根, ,可先可先将该数用短除法分解质
11、因数将该数用短除法分解质因数, ,再观察它是哪一个整再观察它是哪一个整数的平方。数的平方。16例例2 2 求下列各数的值求下列各数的值 解：解：注意：注意： 已经用根号表示的平方根或算术平方根，已经用根号表示的平方根或算术平方根，按运算顺序用计算题的格式直接算出结果。按运算顺序用计算题的格式直接算出结果。 结果一定结果一定要注意化简要注意化简! !17填一填填一填 1. 平方根恰好是本身的数是平方根恰好是本身的数是_; 算术平方根恰好是算术平方根恰好是 本身的数是本身的数是_. 0 0 、1 2. 4的平方是的平方是_; 4的平方根是的平方根是_. 16 2 3 2 5 -6 7 5. 81的
12、算术平方根是的算术平方根是_; (-9)2的平方根是的平方根是_.9 81 9 7. 若一个正数的两个平方根是若一个正数的两个平方根是m和和m-4, 则则m =_; 且这个正数值是且这个正数值是_. 3 9 2 4 3. 9的算术平方根是的算术平方根是_; 的平方根是的平方根是_. 4. =_; =_; =_. 6. 若若x2=9, 则则x =_; 若若 =9 , 则则x =_;若若 =9, 则则x =_.18课堂小结课堂小结11.111.1平方根与立方根平方根与立方根平方根定义平方根定义 平方根的性质平方根的性质平方根的记法平方根的记法开平方开平方算术平方根算术平方根19 2.立方根立方根
13、定义：定义：定义：定义：如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a a，那么这个数叫做，那么这个数叫做a a的立方根的立方根。 或或: :如果如果x x3 3=a=a，那么那么x x叫做叫做a a的立方根的立方根. . 读作：读作：3 3次根号次根号a a 注意注意: :a a的立方根记作的立方根记作: : a a的立方根是的立方根是x x记作记作: : 平方根可省略根指数平方根可省略根指数, , 但两次以上的根但两次以上的根指数不能省略指数不能省略. . 202727的立方根是什么的立方根是什么? ?的立方根是什么的立方根是什么? ?00的立方根是什么的立方根是什么? ?试一试试一试 对照平
14、方根的对照平方根的性质，你能总结出性质，你能总结出立方根的性质吗立方根的性质吗? ?立方根的性质立方根的性质立方根的性质立方根的性质 正数的立方根是一个正数正数的立方根是一个正数; 0; 0的立方根是的立方根是0 0本身本身; ;负数的立方根是一个负数负数的立方根是一个负数. . 注意：注意： 只有非负数才有平方根只有非负数才有平方根, ,但任何数都有立但任何数都有立方根；正数有两个平方根方根；正数有两个平方根, ,，但任何数都只有一个立但任何数都只有一个立方根方根. .21开立方开立方开立方开立方求一个求一个数数数数的立方根的的立方根的运算运算运算运算，叫做开立方，叫做开立方. . 如在如在
15、x x3 3=64=64中，求中，求x x的值的运算就是把的值的运算就是把6464开立方。开立方。x=4x=4是开立方的结果，叫做是开立方的结果，叫做6464的立方根。记作：的立方根。记作：注意：注意： 开平方、开立方都属开方运算，它们是开平方、开立方都属开方运算，它们是开方运算中最常见的两种运算。开方运算中最常见的两种运算。 开立方与立方互为逆运算开立方与立方互为逆运算。22熟记熟记1 11010整数的立方：整数的立方：1 13 3=1=12 23 3=8=83 33 3=27=274 43 3=64=645 53 3=125=1256 62 2=216=2167 73 3=343=3438
16、 83 3=512=5129 93 3=729=72910103 3=1000=100023例例1 1 求下列各数的立方根求下列各数的立方根 0.008 0.008 17281728解：解： ( (12)12)3 3= =1728172817281728的立方根是的立方根是121224例例2 2求列各式的值求列各式的值: : 解：解：= =4 4( (0.3)0.3)=1.2=1.2251.1.平方根等于它本身的数是平方根等于它本身的数是 ; ;算术平方根等于它本身数是算术平方根等于它本身数是 ; ;立方根等于它本身的数是立方根等于它本身的数是 . .2.2.若若4a+14a+1的平方根是的平
17、方根是5 5，则，则a a的算术平方根是的算术平方根是 . .3.363.36的平方根是的平方根是 ; ; 的平方根是的平方根是 . .4.4.已知已知y= + +3y= + +3，求，求xyxy的算术平方根。的算术平方根。5.5.已知已知: ,: ,则则x=x= ， y=y= . . 6.6.估算估算6868的立方根的大小在的立方根的大小在( )( ) A.2 A.2与与3 3之间之间 B.3B.3与与4 4之间之间 C.4C.4与与5 5之间之间 D.5D.5与与6 6之间之间26 已知已知已知已知a+3a+3a+3a+3与与与与2a2a2a2a15151515是是是是x x x x的平方
18、根的平方根的平方根的平方根, , , ,求求求求x x x x的值。的值。的值。的值。a+3a+3a+3a+3与与与与2a2a2a2a15151515是是是是x x x x的平方根，的平方根，的平方根，的平方根，(a+3)+(2a(a+3)+(2a(a+3)+(2a(a+3)+(2a15)=015)=015)=015)=0解解解解得得得得:a=4:a=4:a=4:a=4当当当当a=4a=4a=4a=4时时时时, , , ,a+3=4+3=7a+3=4+3=7a+3=4+3=7a+3=4+3=72a2a2a2a15=215=215=215=24 4 4 415=15=15=15=7 7 7 77
19、 7 7 7是是是是x x x x的平方根的平方根的平方根的平方根x=(7)x=(7)x=(7)x=(7)2 2 2 2=49=49=49=49解：解：解：解：:x:x:x:x的值是的值是的值是的值是4949494927 求下列各式中的求下列各式中的求下列各式中的求下列各式中的x x x x (2x-1) (2x-1) (2x-1) (2x-1)2 2 2 2=25 (1=25 (1=25 (1=25 (1x)x)x)x)3 3 3 3 =0=0=0=0解：解：解：解： (2x-1)(2x-1)(2x-1)(2x-1)2 2 2 2=25=25=25=252x-1=2x-1=2x-1=2x-1=5 5 5 5由由由由2x-1=52x-1=52x-1=52x-1=5得得得得 x=3x=3x=3x=3由由由由2x-1=2x-1=2x-1=2x-1=5 5 5 5得得得得 x=x=x=x=2 2 2 2x=3x=3x=3x=3或或或或x=x=x=x=2 2 2 2 原方程化简成：原方程化简成：原方程化简成：原方程化简成：(1(1(1(1x)x)x)x)3 3 3 3= = = =解得解得解得解得：1-x=1-x=1-x=1-x=2829
