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1、必修必修4 4第三章三角恒等变换第三章三角恒等变换教材分析教材分析理工附中理工附中 郗玲玲郗玲玲教材的地位和作用教材的地位和作用教材主要内容教材主要内容教学目标、重点和难点教学目标、重点和难点学情分析学情分析公式在三角恒等变换中的应用公式在三角恒等变换中的应用教学建议教学建议 三角函数三角函数为什么放在必修为什么放在必修4?4? 三角函数的学习是学生高中第二次认识三角函数的学习是学生高中第二次认识 “ “函数函数” ” . . 第一次认识是（必修第一次认识是（必修1 1）二次函数和幂、指、对函数的学习，）二次函数和幂、指、对函数的学习，第三次认识是（选修第三次认识是（选修2-12-1）函数的导
2、数的学习）函数的导数的学习. . 三角函数的研究方法融几何（单位圆与三角函数线）与三角函数的研究方法融几何（单位圆与三角函数线）与代数（图象）于一身，是数形结合的一个很好的体现代数（图象）于一身，是数形结合的一个很好的体现. . 三角恒等变换的本质是三角函数性质外延拓展三角恒等变换的本质是三角函数性质外延拓展. . 对于三角函数会有怎样的性质？对于三角函数会有怎样的性质？ 教材的作用和地位教材的作用和地位教材的作用和地位教材的作用和地位恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简. . 三角恒等变换是高中学习恒等变换的重要内容之一，它
3、揭示三角恒等变换是高中学习恒等变换的重要内容之一，它揭示那些外形不同但实质相同的三角函数之间的内在联系那些外形不同但实质相同的三角函数之间的内在联系. .有关三角函数有关三角函数的具体问题的具体问题三角函数基本性质三角函数基本性质三角恒等变换公式三角恒等变换公式化简化简课标课标与与大纲大纲比较：比较：教学内容：课标对半角公式、积化和差与和差化积公式有所弱教学内容：课标对半角公式、积化和差与和差化积公式有所弱 化化, , 仅作为两角和与差公式的训练载体，不要求仅作为两角和与差公式的训练载体，不要求 以其为变形依据进行求值和恒等变换。以其为变形依据进行求值和恒等变换。 教材的作用和地位教材的作用和
4、地位教材主要内容教材主要内容和角公式、倍角公式和半角公式、积化和差公式与和差化积公式和角公式、倍角公式和半角公式、积化和差公式与和差化积公式. .教学重点教学重点1 1理解并掌握两角和与差、倍角的正弦、余弦、正切公式的理解并掌握两角和与差、倍角的正弦、余弦、正切公式的 推导过程，了解公式间的内在联系。推导过程，了解公式间的内在联系。2 2应用和与差、倍角公式解决一些简单三角恒等变换的问题应用和与差、倍角公式解决一些简单三角恒等变换的问题. .3 3学习三角变换的基本思路和方法，体会三角变换的特点，学习三角变换的基本思路和方法，体会三角变换的特点， 提高分析、推理、运算能力提高分析、推理、运算能
5、力. .教学难点教学难点1 1用向量推导两角差的余弦公式的过程；用向量推导两角差的余弦公式的过程；2 2利用两角和的正弦公式化简利用两角和的正弦公式化简 ；3 3运用两角和与差的正弦、余弦公式推导和差化积、积化和运用两角和与差的正弦、余弦公式推导和差化积、积化和差公式的过程差公式的过程. . 学情分析学情分析2 2学生在第一章中，已经接触了三角恒等变换即同角学生在第一章中，已经接触了三角恒等变换即同角三角函数关系式和诱导公式，体会了化归思想以及对称三角函数关系式和诱导公式，体会了化归思想以及对称变换在推导公式中作用，在解题中初步掌握了化简、求变换在推导公式中作用，在解题中初步掌握了化简、求值与
6、证明三角恒等式的基本思路值与证明三角恒等式的基本思路. .学情分析：学情分析：3.3.学生在学习过程中遇到最大困难就是学生在学习过程中遇到最大困难就是变换中怎样变换中怎样预测变换目标，怎样选择变换公式，怎样构思变换预测变换目标，怎样选择变换公式，怎样构思变换途径。途径。因此，把重点放在公式的理解和功能性认识上，培因此，把重点放在公式的理解和功能性认识上，培因此，把重点放在公式的理解和功能性认识上，培因此，把重点放在公式的理解和功能性认识上，培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧养学生的推理能力和运算
7、能力上，降低变换的技巧性要求。性要求。性要求。性要求。 学情分析学情分析1 1注重公式的生成过程注重公式的生成过程, ,让学生在公式的导出中体验数让学生在公式的导出中体验数学的发现和创造过程学的发现和创造过程. .教学建议教学建议 能力是在知识构建过程中形成的，只有理能力是在知识构建过程中形成的，只有理解了知识的本质及生成的过程，才能准确把握和灵解了知识的本质及生成的过程，才能准确把握和灵活应用，所谓的解题技巧在没有理解它的生成过程活应用，所谓的解题技巧在没有理解它的生成过程时容易忘记。时容易忘记。 教学建议教学建议2 2研究三角恒等关系式的必要性研究三角恒等关系式的必要性本章所研究内容的本质
8、是什么？为什么要研究三角本章所研究内容的本质是什么？为什么要研究三角恒等关系式？恒等关系式？D教学建议教学建议3 3了解本章知识整体框架了解本章知识整体框架？教学建议教学建议4 4核心公式的生成核心公式的生成 1.1.三种不同版本教材在推导两角和与差的三种不同版本教材在推导两角和与差的余弦公式所采取的不同方法余弦公式所采取的不同方法. .2.2.学生的方法学生的方法. .( (传统教材传统教材) )构造全等三角形利用两点间距离公式推导构造全等三角形利用两点间距离公式推导xyxy（人教（人教B B版）版）coscos（-）公式）公式用向量的知识来推导用向量的知识来推导BAyxo-111-1 co
9、s(-)=cos(-)=coscos+sinsincoscos+sinsinx xy yP PP P1 1M MB BO OA AC C+1 11 1（人教（人教A A版）借助三角函数线来推导版）借助三角函数线来推导coscos（-）公式）公式cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin又又 OMOBBMOM cos(-) OBcoscosBMsinsin2.2.学生的方法学生的方法. .由特殊的两个锐角的正余弦由特殊的两个锐角的正余弦组合，与和角正弦比较组合，与和角正弦比较猜想任意两个角和角的正弦表示为任意两个角和角的正弦表示为这两角的正余弦组合这两角的正余弦组合证明构
10、造两个角及它们的和角，利构造两个角及它们的和角，利用三角形相似得证用三角形相似得证教学建议教学建议教学建议教学建议5 5突出向量特色突出向量特色用向量证明和角公式是课标所要求的，也是用向量证明和角公式是课标所要求的，也是B B版教材编写的版教材编写的一个特色一个特色. .平面向量安排在三角恒等变换之前，把向量作为工具用于平面向量安排在三角恒等变换之前，把向量作为工具用于研究三角恒等变换研究三角恒等变换. 研究和差化积公式时一方面可以用方程的思想引导学生独研究和差化积公式时一方面可以用方程的思想引导学生独立推导和差化积公式，另一方面仍然可以用向量的方法来立推导和差化积公式，另一方面仍然可以用向量
11、的方法来研究。研究。6.6.引导学生分析公式特征和作用引导学生分析公式特征和作用. .教学建议教学建议公式特征：公式左边为一个角一个三角函数的一次形式，右边公式特征：公式左边为一个角一个三角函数的一次形式，右边是关于两个角的正余弦二次形式；左边为一项，右边为两项，是关于两个角的正余弦二次形式；左边为一项，右边为两项，并且余余，正正的和，这可以联想两个向量数量积的坐标表示并且余余，正正的和，这可以联想两个向量数量积的坐标表示. .公式的作用：从公式左边到右边，可以把角分解，把非特殊角公式的作用：从公式左边到右边，可以把角分解，把非特殊角三角函数转化为特殊角三角函数；从右边到左边，可以化简为三角函
12、数转化为特殊角三角函数；从右边到左边，可以化简为一个角的一个三角函数，可以求函数的最值、周期、单调性等一个角的一个三角函数，可以求函数的最值、周期、单调性等等等. .公式特征：公式特征：左边为倍角余弦一次式，右边为单角正余左边为倍角余弦一次式，右边为单角正余弦的二次式弦的二次式.公式的作用：公式的作用：从左边到右边，降角升次；从右边到左从左边到右边，降角升次；从右边到左边，升角降次边，升角降次. 公式特征：公式特征：左边为一个角的正切一次式，右边的分子左边为一个角的正切一次式，右边的分子式两个角的正切的和与差，分母含有两角的正切的乘式两个角的正切的和与差，分母含有两角的正切的乘积；分子与分母的
13、中间符号相反积；分子与分母的中间符号相反.公式的作用：公式的作用：公式变形可以将两个角的正切的乘积与公式变形可以将两个角的正切的乘积与正切的和与差进行相互转化正切的和与差进行相互转化.教学建议教学建议7.7.挖掘公式的几何意义挖掘公式的几何意义和（差）角公式是圆的旋转对称性的代数表示，它和（差）角公式是圆的旋转对称性的代数表示，它的几何意义是旋转变换的几何意义是旋转变换. . 8.8.融入算法，引导学生总结公式应用的算法融入算法，引导学生总结公式应用的算法. .教学建议教学建议 算法程序化思想是本次课改最突出的一大特算法程序化思想是本次课改最突出的一大特色。而公式的应用本身就蕴含着算法的色。而
14、公式的应用本身就蕴含着算法的“程序化的思程序化的思想想”。因此在教学时要有意识地引导学生根据算理总。因此在教学时要有意识地引导学生根据算理总结应用公式解决问题的算法。结应用公式解决问题的算法。 比如，引入辅助角将式子化为比如，引入辅助角将式子化为“一角一函数一角一函数”的的算法：算法：教学建议教学建议公式在三角恒等变换中的应用公式在三角恒等变换中的应用（1 1）在三角恒等变换解题过程中，常用一些数学思）在三角恒等变换解题过程中，常用一些数学思想有方程的思想，化归的思想，常用一些方法有换想有方程的思想，化归的思想，常用一些方法有换元法、代入法、消元法、配方法、构造法等元法、代入法、消元法、配方法
15、、构造法等. .（2 2）常见题型常见题型: :一是利用公式进行化简与求值一是利用公式进行化简与求值; ;二是利二是利用公式证明三角恒等式用公式证明三角恒等式; ;三是三角问题的综合应用三是三角问题的综合应用. .（3 3）三角函数的化简、计算、证明的）三角函数的化简、计算、证明的基本思路基本思路是是: :一角一角, , 二名二名, , 三结构三结构. .角的变换角的变换 解题时注意已知角与特殊角的变换、已知解题时注意已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换和差角的变换. . C常数变换常数变换幂的变换幂的变换幂的变换幂的变换例：化简：例：化简：解：原式解：原式= = = = = = =结构的变换结构的变换 两角和与差的正切公式，积化和差、和差化两角和与差的正切公式，积化和差、和差化积公式，引入辅助角：化为一角一函数积公式，引入辅助角：化为一角一函数, ,转化为二次转化为二次函数型函数型. . 结构的变换结构的变换结构的变换结构的变换结构的变换结构的变换
