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1、7.2 估计量的评价标准估计量的评价标准 上一节我们看到，对于总体上一节我们看到，对于总体X的同一个的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量这就提出一能会产生多个不同的估计量这就提出一个问题，当总体的一个参数存在不同的估个问题，当总体的一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎样评价一个估计量的统计性能呢？下面给样评价一个估计量的统计性能呢？下面给出几个常用的评价准则出几个常用的评价准则一无偏性一无偏性 对于待估参数，不同的样本值就会得到不同对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的
2、估计值这样，要确定一个估计量的好坏，就的估计值这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量对此，一个自然而基本大量抽样的结果来衡量对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差也就是说，的衡量标准是要求估计量无系统偏差也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同换的估计值平均起来应与待估参数的真值相同换句话说，我们希望估计量的均
3、值（数学期望）应句话说，我们希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性无偏性(Unbiasedness)的要求的要求定义定义7.1 设是来自总体设是来自总体X的一个样本，的一个样本， 是总体参数是总体参数 的一个估计量，若的一个估计量，若 （7-7） 则称则称 是是 的的无偏估计量无偏估计量(Unbiased Estimator) 一个估计量如果不是无偏的就称它是一个估计量如果不是无偏的就称它是有偏估计量有偏估计量 称为估计量称为估计量 的的偏差偏差. 无偏估计的实际意义就是无系统偏差估无偏估计的实际意义就是无系统偏差估计量是否无偏是评价估
4、计量好坏的一个重计量是否无偏是评价估计量好坏的一个重要标准要标准 若若 ，但有，但有 ，则称，则称 是是 的的渐近无偏估计渐近无偏估计 二有效性二有效性 比较两个无偏估计量优劣的一个重要比较两个无偏估计量优劣的一个重要标准就是观察它们哪一个取值更集中于待标准就是观察它们哪一个取值更集中于待估参数的真值附近，即哪一个估计量的方估参数的真值附近，即哪一个估计量的方差更小，这就是下面给出的差更小，这就是下面给出的有效性有效性(Effectiveness)概念概念定义定义7.2 设设 与与 都是总都是总体参数体参数 的无偏估计，若的无偏估计，若 （7-8） 则称则称 比比 更有效更有效三三 相合性相合
5、性 在在 的所有无偏估计量中，如果存在一的所有无偏估计量中，如果存在一个估计量个估计量 ，它的方差最小，则此估计量，它的方差最小，则此估计量应当最好，并称此估计量应当最好，并称此估计量 为为 的的最小最小方差无偏估计方差无偏估计，也称其为，也称其为最有效的最有效的可以可以证明，对于正态总体证明，对于正态总体 ， 是是 的最小方差无偏估计有效性的意义是，用的最小方差无偏估计有效性的意义是，用 估计估计 时，除无系统偏差外，还需考虑估时，除无系统偏差外，还需考虑估计的精度计的精度 估计量估计量 的无偏性和有效性都是在样的无偏性和有效性都是在样本容量本容量n固定的情况下讨论的由于估计量固定的情况下讨
6、论的由于估计量 和样本容量和样本容量n有关，我们自然希望当有关，我们自然希望当n很大很大时，一次抽样得出的的时，一次抽样得出的的 值能以很大的概值能以很大的概率充分接近被估参数率充分接近被估参数 ，这就提出了，这就提出了相合相合性性(Consistency)（一致性）的要求（一致性）的要求定义定义7.3 设设 是总体参数是总体参数 的估计的估计量，如果对任意量，如果对任意 都有都有 （7-9） 则称则称 是是 的的相合估计量相合估计量（或（或一致估计量一致估计量） 由第五章定义由第五章定义5.2及（及（7-9）知，）知， 是是 的相合估计就意味着的相合估计就意味着 依概率收敛于依概率收敛于 .
7、 根据大数定律，无论总体根据大数定律，无论总体X服从什么分布，服从什么分布，只要其只要其k阶原点矩阶原点矩 存在，则对任意存在，则对任意 都有都有 所以样本的所以样本的k阶原点矩阶原点矩 始终是总始终是总体体k阶原点矩阶原点矩 的相合估计的相合估计. 进一步地进一步地, 可可以证明：只要相应的总体矩存在，矩估计以证明：只要相应的总体矩存在，矩估计必定是相合估计特别地，必定是相合估计特别地， 总是总是 的相合估计的相合估计, 样本方差样本方差 和样本的二阶中和样本的二阶中 心矩心矩 都是总体方差都是总体方差 的相合估计，的相合估计， 和和 又都是又都是 的相合估计的相合估计 由相合性定义可以看出，若由相合性定义可以看出，若 是是 的的相合估计，当样本容量很大时，一次抽样相合估计，当样本容量很大时，一次抽样得到的得到的 值便可作为值便可作为 的较好近似值的较好近似值
